2.2 坐标变换

空间中任一点p在不同坐标系中的表示是不同的^[13]。为了阐明从一个坐标系的表示到另一个坐标系的表示关系，需要讨论这种变换的数学问题。

2.2.1 平移坐标变换和旋转坐标变换

1.平移坐标变换

设坐标系{B}与坐标系{A}具有相同的方位，但坐标系{B}的原点与坐标系{A}的原点不重合，用位置向量表示坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置。平移坐标变换如图2-3所示，称为坐标系{B}相对于{A}的平移向量。如果点p在坐标系{B}中的位置为^BP，那么它相对于坐标系{A}的位置向量^AP可由向量相加得出，即：

式（2-10）称为平移坐标变换方程。

2.旋转坐标变换

设坐标系{B}与坐标系{A}有共同的原点，但两者的方位不同。旋转坐标变换如图2-4所示，用旋转矩阵表示坐标系{B}相对于坐标系{A}的方位，同一点p在两个坐标系{A}和{B}中的表示^AP和^BP具有如下变换关系：

式（2-11）称为旋转坐标变换方程。

我们可以类似地用描述坐标系{A}相对于坐标系{B}的方位。和都是正交矩阵，两者互逆。根据式（2-5）所示的正交矩阵的性质，可得：

对于最一般的情形：坐标系{B}的原点与坐标系{A}的原点并不重合，两者的方位也不相同。用位置向量表示坐标系{B}的原点相对于坐标系{A}的位置；用旋转矩阵表示坐标系{B}相对于坐标系{A}的方位。复合变换如图2-5所示，对于任一点p在坐标系{A}和{B}中的表示^AP和^BP，具有以下变换关系：

式（2-13）可以看成旋转坐标变换和平移坐标变换的复合变换。实际上，规定一个过渡坐标系{C}，使{C}的原点与坐标系{B}的原点重合，而过渡坐标系{C}的方位与坐标系{A}相同。根据式（2-11）可得到向过渡坐标系{C}的变换，即：

再由式（2-10）可得复合变换：

例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与坐标系{A}重合，首先坐标系{B}相对于坐标系{A}的z_A轴转60°，再沿坐标系{A}的x_A轴移动8单位，并沿坐标系{A}的y_A轴移动4单位。求位置向量和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}中的表示为^BP=[2，5，0]^T，求它在坐标系{A}中的表示^AP。

根据式（2-8）和式（2-1），可得和分别为：

由式（2-13）可得：

2.2.2 齐次坐标变换

已知某个坐标系中的某点坐标，那么该点在另一坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得^[14]。

1.齐次变换

式（2-13）对于点^BP而言是非齐次的，但是可以将其表示成等价的齐次变换形式，即：

式中，4×1的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为^AP或BP。可把式（2-16）写成矩阵形式，即：

式中，齐次坐标^AP和^BP是4×1的列向量，与式（2-13）中的维数不同，加入了第4个元素1。齐次变换矩阵是4×4的方阵，即：

同时表示了平移变换和旋转变换。式（2-16）和式（2-13）是等价的，实质上，可以将式（2-16）写成：

位置向量^AP和^BP到底是3×1的直角坐标，还是4×1的齐次坐标，要根据上下文关系而定。

例2.2 试用齐次变换方法求解例2.1中的^AP。

由例2.1求得的旋转矩阵和位置向量，可以得到齐次变换矩阵，即：

代入式（2-17）可得：

即用齐次坐标表示的点p的位置向量。

至此，我们可得空间某点p的直角坐标表示和齐次坐标表示，分别为：

式中，ω为非零常数，是一个坐标比例系数。

坐标系原点的向量，即原点向量，可表示为[0，0，0，1]^T。向量[0，0，0，1]^T是没有意义的^[15]。具有形如[a，b，c，0]^T的向量表示无限远向量，用来表示方向，即用[1，0，0，0]^T、[0，1，0，0]^T、[0，0，1，0]^T分别表示x、y和z轴的方向。

我们规定两向量a和b的点乘

为一标量，而两向量的叉乘（向量乘）为与此两相乘向量所决定的平面垂直的向量，即：

或者用面的行列式表示：

2.平移齐次坐标变换

空间某点可由向量ai+bj+ck表示，其中，i、j、k为x、y、z轴上的单位向量，该点可用平移齐次坐标变换表示为：

式中，Trans表示平移齐式坐标变换。

对已知向量u=[x，y，z，ω]^T进行平移齐次坐标变换所得的向量v为：

可把此变换看成向量（x/ω）i+（y/ω）j+（z/ω）k与向量ai+bj+ck之和。

用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变该变换矩阵的特性。

例2.3 考虑向量1i+2j+3k被向量2i-4j+6k平移齐次坐标变换得到的新的点向量：

如果用2乘以此变换矩阵，用-5乘以被平移齐次坐标变换的向量，则得：

它与向量[3，-2，9，1]^T相对应，与乘以常数前的点向量一样。

3.旋转齐次坐标变换

绕x、y或z轴分别进行角度为θ的旋转齐次坐标变换，可得：

式中，Rot表示旋转齐次坐标变换。下面我们举例说明这种变换。

例2.4 已知点u=6i+4j+2k，将它绕z轴旋转90°后可得：

图2-6（a）所示为旋转齐次坐标变换前、后点向量在坐标系中的位置。点向量u绕z轴旋转90°可得点向量v。点向量v绕y轴旋转90°可得点向量w，绕y轴旋转的变换也可以从图2-6（a）看出，并可由式（2-25）求出。

如果把上述两个旋转变换v=Rot（z，90°）u与w=Rot（y，90°）v组合在一起，则可得到式（2-27）。

因为

所以可得：

所得结果与前面一样。

如果改变旋转次序，首先使u绕y轴旋转90°，那么就会使u变换至与w不同的位置w₁，如图2-6（b）所示。从计算中也可得出w₁≠w的结果，这个结果是必然的，因为矩阵乘法不具有交换性质，即AB≠BA。变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是不同的：变换顺序“从右向左”，表示运动是相对固定坐标系而言的；变换顺序“从左向右”，表示运动是相对运动坐标系而言的。