4 什么是天元术？

天元术是一元高次方程的求解方法。因为古人在设未知数立方程的时候，用“天元”来代表未知数，因此得名。

天元术起源于中国传统的开方术。在《九章算术》中，就有用算筹开平方和开立方的方法，还给出了一些简单的二次方程计算题，比如求x²+34x=71000的解。在唐代王孝通的《缉古算经》中，已经出现了解未知数系数大于零的一元三次方程的方法。但是当时的解法是几何方法，不仅需要高超的数学技巧，还要经过复杂的推导和大量的文字说明才能完成。

北宋的贾宪提出了增乘开方法，用这种方法开平方和开立方要比此前的方法简便得多，并且它的运算原则可以推广到求任何高次幂和高次方程正实根的近似值。南宋的秦久韶在《数书九章》中已经可以求解十次方程的一个正根。

《测圆海镜》书影

天元术大约产生于13世纪初，现存最早的有关天元术的著作是金元数学家李冶的《测圆海镜》。全书共有170道题，全都是以一个直角三角形及其内切圆为基础，来研究各种条件下如何用天元术求圆直径的问题。

李冶列方程分为三个步骤，首先立天元一，也就是设未知数x；然后根据题目中的已知条件列出两个等值且至少有一个天元的多项式；最后两式相消成一个高次方程。

天元术是一种半符号代数学，它的产生是中国古代方程理论基本摆脱几何思维的标志。天元术很快就被推广到求解多元高次方程组。此后又出现了“二元术”和“三元术”，元代数学家朱世杰的《四元玉鉴》探讨了四元高次方程组的解法，即“四元术”。