2.4　轨道根数与位置、速度矢量之间的转换关系

2.4.1　由轨道根数σ（t）计算位置矢量和速度矢量

这是一个星历计算问题。关于轨道根数σ（t），如果其中时间根数采用真近点角f或偏近点角E，那么问题就很简单，由公式（2.33）和（2.42）便可直接计算和。但在实际应用中，往往被采用的时间根数却是平近点角M，而不是f或E。因此，由轨道根数σ计算和时就必须求解由（2.24）式表达的Kepler方程，给出所需要的偏近点角E。关于Kepler方程的解法，见后面第2.5节。

2.4.2　由和计算轨道根数σ（t）

（1）根数a，e，M的计算

a，e，M三个根数可以确定椭圆轨道的大小、形状和轨道器在轨道平面内相对近星点的位置，都是轨道平面内的量。根据活力公式（2.17），r的表达式（2.23），和的数量积以及Kepler方程的解，可给出分别计算a，e，M的表达式，即

这里用到和的表达式（2.33）和（2.42）式。上述各式中的r，v和由下式计算

（2）三个定向根数i，Ω，ω的计算

从第2.1节和2.2节中已了解到这三个根数确定了三个单位矢量，而这三个单位矢量又是由和确定的。那么由（2.33）和（2.42）式容易解出

而动量矩积分则给出

只需要Pz，Qz和Rx，Ry，Rz，即可计算i，Ω，ω。由表达式（2.39），（2.40）和（2.4），可给出

则

计算ω，Ω与E一样，均有确定象限问题，故必须用两个三角函数值，而对i只需用一个cosi值就够了，关于这一点，读者是容易理解的。

2.4.3　由和计算σ（t0）

这里t0可以是t1或t2，亦可取其他值，例如中间值t0＝（t1＋t2）/2。由和计算σ0＝σ（t0）的方法很多，下面介绍一种比较典型的方法。

首先由和计算和，然后按照上一节的方法计算σ0。根据关系式（2.45），有

其中F1，G1和F2，G2，即由公式（2.46）或（2.57）表达。相应的Δt分别为

由（2.125）式可解出

求解和实为一迭代过程，Fj，Gj（j＝1，2，…）的初值可取

其中

具体计算F，G时，可采用展开式（2.57）或封闭形式（2.46）～（2.49）。

获得和后，即可按照上一节的方法计算σ0，其过程不再重复。

2.4.4　开普勒方程的解法

根据（2.25）式定义的平近点角M，Kepler方程（2.24）式可写成

当e＝0时，对应圆轨道，有E＝M，这是一个简单关系式，而当e＝1时，则转化为Barker方程[9]～[10]。对于椭圆运动，则有0＜e＜1，Kepler方程实为一超越方程。

关于这一超越方程，其解法曾经出现过多种，当偏心率较小时，前面的级数展开式（2.87）即便于由（e，M）直接计算偏近点角E。但是对于各种不同的偏心率和不同的精度要求，最好有一种较通用的简单算法，按此要求，对于e不接近1的轨道，普通迭代法和简单的牛顿法（或称微分改正法）便是较理想的近似解法。

（1）简单迭代法

由于e＜1，下述迭代法是收敛的，

（2）牛顿法

记

根据

有

关于上述两种方法中初值E0的选取，本章参考文献[9]中有详尽的讨论，在一般情况下，可作简单的选取，即取E0＝M。对于e接近1的情况，读者可参阅有关文献。但必须注意，任何包含迭代过程的近似解法，对收敛的控制标准ε，即ΔEk＝Ek＋1-Ek≤ε中的ε值，既要考虑问题的精度要求，又要考虑所用计算机的实际有效字长，否则将会造成“死循环”。另外，对于e较大的问题，为了节省计算机时，最好能避开选取平近点角M作为第六个根数，这在采用数值方法求解以轨道根数作为基本变量的天体运动方程时是可以实现的，后面第6章将会介绍这一内容。