3.1　受摄二体问题的数学处理

首先考虑无摄运动（即二体问题），此时，相应的运动方程为

第2章已给出该问题的解，可归结为下列形式：

其中

六个积分常数c1，c2，…，c6即六个轨道根数，对于椭圆运动，即a，e，i，Ω，ω，τ。第六个根数τ为运动天体过近星点的时刻，若用平近点角M代替τ，则解（3.4）和（3.5）中将不显含t，但这些解并不是直接以M的形式出现，而是以真近点角f或偏近点角E的形式出现。

回到方程（3.1），，解（3.4）和（3.5）式当然不满足该方程。如果要使这一无摄运动解的形式仍满足受摄运动方程（3.1），则c1，c2，…，c6不再是常数，应为t的函数，这就是常微分方程求解中的常数变易法。根据这一原理导出的原积分常数cj（j＝1，2，…，6）所满足的微分方程，就称为通常所指的“摄动运动方程”。尽管本书主要是为读者提供相应问题的算法，但为了使读者深入了解轨道力学领域中这一最重要的基本原理，有助于对算法的准确理解，有必要对摄动运动方程建立过程中如何引用常数变易原理作必要的阐述，简述如下：

（3.4）式对t求导数得

由于要求（3.5）式亦满足受摄运动方程，故应有

此式再对t求一次导数，并让其满足受摄运动方程（3.1），即

而，由此可知，常数变易的两个条件应为

这是关于的代数方程组，其系数和都是cj和t的已知函数，这些偏导数在第2章中均已给出。原则上可由这一方程组导出dcj/dt的显形式：

此即所需要的摄动运动方程。但上述关于dcj/dt的线性代数方程组（3.10）的系数和比较繁杂，直接推导很麻烦，在一些天体力学书籍[1]～[2]中有详细的推导过程，推导方法大致可分为两类，一类是针对保守力以摄动函数R的偏导数形式代替摄动加速度进行推导，另一类则是直接以摄动加速度的三个分量形式（如径向、横向和轨道面法向分量）进行推导。作者曾在本章参考文献[3]和[4]中给出了后一类形式的简单推导方法，读者如有需要，可阅读这两篇文献之一中的有关内容，下一节将直接列出结果。

在列出受摄运动方程的具体形式之前，有一个重要概念问题必须作一阐明。关于常数变易的含义及其在求解受摄运动方程中的作用，其最主要的一点是：无摄运动解的表达形式（3.4）和（3.5），即第2章中的表达式（2.33）和（2.42），仍适用于受摄运动，它是受摄运动的瞬时根数与位置矢量和速度矢量之间的一个严格关系式，所不同的只是无摄运动中cj（j＝1，2，…，6）是常数，而在受摄运动中，cj＝cj（t）是时间t的函数。既然如此，受摄运动的轨道即可看成一个变化的椭圆（或二次圆锥曲线），第2章中给出的椭圆运动的各种几何关系和偏导数关系，在受摄运动中全部成立。但要注意，对时间t的导数却不再成立，特别是面积积分的形式应正确地理解为

只是在无摄运动中，该积分才退化为二体问题中的表达形式（2.26）：