3　卫星运动采用的数学模型——受摄二体问题[1]～[8]

太阳系各大行星和小行星的运动、各大行星的自然卫星的运动，以及人造目标天体轨道器（人造地球卫星、月球卫星、火星卫星等环绕型探测器）的运动，主要外力源只有一个。其中，各大行星和小行星的运动，主要外力源是太阳引力；自然卫星运动的主要外力源是相应的大行星；轨道器运动的主要外力源则是相应的目标天体。对于上述各类运动问题，除主要外力源外，其他各种外力作用相对较小，这就可以将一般N（N≥3）体系统转化成一个受到“干扰”的二体系统，相应的数学问题通常就称为受摄二体问题。为了区别，将这一“受摄二体系统”中对应主要外力源的天体称为“中心天体”，用符号P0表示，相应的质量记作m0，而另一个待研究其运动的天体用符号p表示，质量记作m，所要研究的问题，就是上述大小行星、自然卫星和人造卫星（环绕型探测器）在相应中心天体引力作用和若干摄动因素影响下的运动轨道问题。

对于受摄二体问题的轨道运动，可归结为一个常微初值问题，即

其中G是万有引力常数，是应考虑的各种摄动加速度，对应k＞1个摄动源。这里的坐标系原点是在中心天体P0的质心上，是运动天体在该坐标系中的位置矢量，相应的初值条件为

通常引用符号μ：

对于小天体（包括各种环绕型探测器）而言，相应的运动天体p的质量m＝0，那么运动方程（1）即变为下列形式：

其中μ＝Gm0是中心天体的引力常数，例如研究人造地球卫星的运动，中心天体是地球，常用的符号μ＝Gm0＝GE就是地心引力常数，其值为3.98603×1014（m3/s2）。对于一个地球低轨卫星，如果在300 km高的近圆轨道上运行，地球中心引力加速度（μ/r2）约为9m/s2，而自然存在的各种摄动加速度中最大的地球动力学扁率项的相对大小为10-3，运动方程（4）对应的就是一个典型的受摄二体问题，相应的运动轨道是一个缓慢变化的椭圆。如果该卫星的质量有1t，并同时存在持续的100N大小的推力（这一卫星相当于一个机动平台），相应的机动加速度为0.1m/s2，这仍可看作一种摄动力，其相对大小也仅达到10-2，比月球环绕地球运动受到太阳的引力摄动（2×10-2）还小一些。对于这样一个空间机动平台的运动，采用受摄二体问题模型来研究它的运动规律仍然有效。

3.1　二体问题与开普勒运动

受摄二体问题的参考模型即简单的二体问题，相应的常微初值问题如下：

初值条件同上，即（2）式。这是一个已完全解决的可积系统，对应的是众所周知的开普勒运动，其运动轨道为二次圆锥曲线——椭圆、抛物线和双曲线，轨道方程的形式如下：

其中f是真近点角，e是偏心率，这里的符号p是半通径，对椭圆、抛物线和双曲线三种情况分别有

（7）式和（9）式中的a是轨道半长径，（8）式中的q是近星距。

该问题中另一个关键性的积分直接体现运动体在轨道上的“位置”，即近点角与时间t的关系。同样，对上述椭圆、抛物线和双曲线三种情况有不同的形式，即

上述三式就是著名的开普勒方程的三种形式，可以说开普勒运动的名称就与此有关。公式中的τ是运动体过近星点的时刻，f，E和M各称为真近点角、偏近点角和平近点角，n是平运动角速度，由下式定义：

从上述内容可知，二体问题与开普勒运动通常是不加区分的，不过要说明的是：无论是二体问题，还是开普勒运动，都应包含上述三种轨道，即椭圆、抛物线和双曲线，只是人们通常关注的焦点是椭圆轨道罢了，因为这种轨道形式是太阳系中天体的主要运动形态。

3.2　受摄二体问题的处理

对于受摄二体问题运动方程（1）的处理，至今还没有其他更有效的方法，参考轨道仍采用开普勒轨道，实际运动则为缓慢变化的开普勒轨道，相应的运动状态，在任何时刻都可以用瞬时开普勒轨道（如瞬时椭圆轨道）来刻画。具体处理方法，即在上述参考模型解的基础上利用常数变易法转化为小参数方程，从而根据常微分方程解析理论（邦加雷定理）构造所需要的解析解（或称分析解）——小参数幂级数解，具体采用一阶、二阶或高阶解来表达。在常数变易中，基本参数通常是采用二体问题完整解中具有明确轨道几何意义的积分常数——6个开普勒根数a，e，…，M，不妨记作σ：

该式上标T表示转置。在二体问题中，开普勒根数为不变的积分常数。在中心天体坐标系中，这6个轨道根数定义为

a：轨道半长径，e：偏心率，i：轨道倾角，

Ω：轨道升交点经度，ω：近地点幅角，M：平近点角

其中前3个a，e，i为角动量，而后3个Ω，ω，M则为角变量（Ω和ω是慢变量，M是快变量）。

受摄二体问题（1），经常数变易后转化为下列小参数方程：

其中ε是对应摄动加速度的小参数，该方程有多种形式，将在后面有关章节中具体阐述，相应的初值条件是

这里σ0即初始根数。

采用经典摄动法（或各种改进的摄动法）即可构造相应的受摄轨道根数变化的小参数幂级数解，取到k阶（对小参数ε而言）的形式如下：

其中σ（0）是参考轨道，即无摄轨道根数。这一解的构造方法（摄动法）沿用至今，对变化椭圆和双曲线轨道均适用。

关于受摄二体问题（1），在天体力学和卫星轨道力学的发展过程中，也确实尝试过其他解决途径，如采用区别于上述无摄轨道作为参考轨道去构造摄动解的“中间轨道”法。所谓中间轨道，即比无摄运动轨道更接近真实轨道的一种包含部分摄动效应的运动轨道。早年的月球中间轨道解（对应Hill问题）就是一个成功的例子。同样在建立人造地球卫星的轨道解中，针对地球非球形引力位的特征，亦有过采用中间轨道解的工作，但这些轨道解实际上仍旧对应一种包含了部分摄动效应的变化椭圆，并无实质性的内涵，也没有必要去称其为非开普勒轨道。而且，无论是月球绕地球运动的Hill解，还是在地球卫星轨道力学中所寻找出的中间轨道解，都难以得到直接应用，还得借助变化椭圆轨道的处理方式去进一步考虑“剩余”摄动。因此，直到目前为止，在解决受摄二体问题中，开普勒轨道仍旧是最理想的参考轨道。

对于上述受摄二体问题（1），在实际问题处理中，经常数变易转化后的摄动运动方程中，第六个变量（或轨道根数）并未采用真正意义上的无摄运动的第六个积分常数τ（τ即运动天体过近星点的时刻），亦未采用，而是选择了平近点角M。其原因很简单，一是因为在受摄运动中，τ和M0已无实用意义，而平近点角M的几何意义明确，引用方便；二是因为

它是两个根数a和τ的组合，在相应的摄动运动方程中出现的就不再涉及摄动函数R中隐含a（通过M）的问题，因此时M本身是独立的，这可简化摄动运动方程的具体表达形式。