第二节　两位代数学之父

对于比较简单的多项式方程的求解方法，许多古代民族都在探索中得到了正确的结果。我们在上一节中介绍了古埃及人，特别是古巴比伦人在这方面取得的引人注目的成就。在本节中，我们将简要介绍一下古代中国与古印度在多项式方程求解中取得的成就。

此外，多项式方程的求解与代数学的发展有着极为紧密的联系。事实上，直到 19 世纪，求解 次方程一直是代数学研究的中心课题。因此，我们将在本节中介绍两位“代数学之父”，并着重介绍他们在多项式方程求解方面的贡献。

古希腊的丢番图与《算术》

丢番图（约 200—284），古希腊著名数学家，曾经居住在埃及的亚历山大城。一本《希腊诗文选》（约公元 500 年）收录了他奇特的墓志铭——关于他的生平事迹，后人主要是通过这一别开生面的记载了解的。

坟中安葬着丢番图，

多么令人惊讶，

这里忠实地记录了他所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，

又过十二分之一，两颊长胡，

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，

可怜迟到的宁馨儿，

享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用算术的研究去弥补，

又过四年，他也走完了人生的旅途。

由这一诗文，可得到方程 ，解这个一次方程，得 ，由此可知丢番图享年 84 岁。

丢番图最重要的作品是《算术》。作为一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》相比。《算术》最初有 13 卷，但没有完整保存下来。很长时间里，人们只见到它的 6 卷希腊文本。直到 1973 年，人们才奇迹般地发现了 4 卷先前不为人知的阿拉伯文译本。丢番图在数学上的地位基本上就是靠这并不完整的《算术》赢得的。

丢番图的著作实质上是一长串问题集，其中希腊文本有 189 个，阿拉伯文本有 101 个，共收录了 290 个题目。此外，还有十几个引理和推论，合起来共 300 多个问题。这些问题大都相当于现在“数论”（后面章节会做介绍）的内容。但此著作也涉及代数问题与代数思想，我们现在简单介绍一下。

对于一次方程，丢番图可能觉得太简单，没有必要单独论述，因此直接给出问题的答案。但他熟悉现在我们所使用的“移项”“合并同类项”等操作，由此可以推断，他解一次方程的思路与我们现在的解题思路是一致的。

其著作中出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题，这些例子足以说明丢番图熟练掌握了各种类型的二次方程的求解方法。但书中现存章节并没有给出二次方程的系统解法，所以人们不知道他是用什么方法解的。

值得一提的是，丢番图已经懂得负数运算的符号法则，他对负数的认识是超越时代的。不过，丢番图对负数解是排斥的。答案是 0 时，他也舍弃。对无理数解他也认为不合理。简单地说，丢番图的解答只限于正有理数解。有意思的是，对他来说，找到问题的一个答案就够了。当方程有两个正根时，他始终只取较大的一个。

可以说，在书的编排（问题集）与解题技巧等方面，丢番图与古巴比伦人采用了颇为相似的方式。因此，他的工作有时被说成是“盛开的巴比伦代数的花朵”。但在符号体系方面，丢番图做出了更重要的突破。

在第一节中，我们看到古代人在处理代数问题时，所有内容都用文字表述，就像写散文一样。在这一被称为“文辞代数”的阶段，除了偶尔出现的表示未知量的符号外，几乎不使用任何代数符号。与前人不同，丢番图开始有意识地使用符号体系。

我们来看一下他所创设的一些符号。比如说，他用 表示数的单位，取自希腊字“单位”的字头；未知数用特殊的符号 表示；“未知数的平方”记作 ，取自希腊字“幂”（ΔϒΝΑΜΙΣ）的前两个字母。同样，“未知数的立方”记作 ，取自希腊字“立方”（ΚϒΒΟΣ）的前两个字母。此外，他用 表示平方的平方， 表示平方的立方， 表示立方的立方。对这些乘幂的倒数，丢番图也给出了专名和符号。在他的符号体系中没有加号、乘号、除号，但特别给出了减法的符号 。

在写方程时，未知数的系数紧接在未知数后面，加通过并列来表达，所有的负项都放在减号的后面，若有常数项，就在希腊字“单位”的字头 后加上系数。举一个简单的例子，式子 用丢番图的符号体系可表示为 ：，其中 、、 分别表示数字 1、2、3。

可以看到，丢番图的符号多半采自相应文字的字头。这种以速记形式的缩写记号来表示经常出现的数量和运算的方式被称为缩写代数。当然，丢番图的缩写代数并不具有现代代数方程的简洁形式，不是特别容易读懂。然而，与前人相比，他在发展专门的符号体系方面毕竟向前迈进了一大步，将代数记号的发展推进到一个新的阶段：缩写代数。

在历史上，丢番图第一次系统地提出代数符号，这一努力为代数带来了重大变革，推动了代数学的发展。正如数学史家克莱因所说：“代数的进步是因为引用了较好的符号体系。对于它本身和分析的发展来说，这比 16 世纪的技术进步远为重要。事实上，采取了这一方式，才使代数有可能成为一门科学。在 16 世纪前，自觉运用一套符号以使代数的思路和书写更加紧凑、更加有效的人只有丢番图。”

丢番图对代数学发展做出的另一划时代贡献是，他将代数从几何形式中脱离出来，使它成为数学中的一个分支。

在丢番图之前，古希腊数学的兴趣集中在几何学上。古希腊人认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。于是，所有的数都以几何图形的量来表示，而且所有的代数问题都被改写成几何问题来处理。充分体现古希腊代数这一特点的有《几何原本》第二卷中的命题一，我们以此为例来看一下。

命题一：设有两线段，其中之一被截成若干部分，则由此两线段所构成的矩形的面积等于各个部分与未截线段所构成的矩形的面积之和。

若设 ，则这一几何命题用符号可以表示成 。因此，这一命题表述的意思其实相当于我们所熟知的乘法分配律。

古希腊这种用几何语言来表述的、可视化的代数学被称为几何代数学。很长时间里，古希腊人为了逻辑的严密性，给代数披上几何的外衣，把一切代数问题都纳入僵硬的几何模式之中。比如说，古希腊人曾借助这种几何方法间接求解了一些类型的二次方程。直到丢番图时代，代数才解放出来，摆脱了几何的羁绊，成为“自由人”，不再是几何的“仆从”。

最早使用代数符号体系，致力于方程的研究，把代数学从几何学中独立出来……由于对代数学发展所做出的这些划时代贡献，丢番图被一些数学史家誉为“代数学之父”。他的《算术》作为代数最早的巨著，代表了古希腊代数思想的最高成就。

中国古代数学中的代数方程

在四大河谷文明中，同样有着悠久历史的中国数学持续繁荣时间最为长久。从公元元年左右至 14 世纪，中国古代数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。在这一漫长的过程中，中国数学在多项式方程求解方面取得了众多进展。但与我们本章要介绍的寻求求根公式不同，中国古代数学因为倾向于实用，所以热衷于方程的数值求解，并在这方面取得了杰出的成就。我们这里只简略提一下。

成书于 1 世纪的经典著作《九章算术》的“少广章”中最早记载了开平方术和开立方术。用现代记号表述，开平方术相当于解方程 ，开立方术相当于解方程 。在这种开方过程中会遇到开不尽的情形，即遇到无理数。对此，中国古代数学家已能计算出这种不尽根数的近似值。魏晋时期的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时，更是明确提出“求微数法”，相当于用十进制小数任意逼近不尽根数。在《九章算术》的开平方术中，实际上还包含了二次方程 的数值求解程序，它被称为“开带从平方”。到唐代时，数学家王孝通在《缉古算经》中研究了“开带从立方”，书中他给出 28 个形如 的正系数方程，并得出其正有理根。这表明，王孝通已掌握了求三次方程正根的数值解法。这些方法在宋元时代发展为一般高次方程的数值求解。先是在 11 世纪，宋代数学家贾宪创造出一种新的开方法——增乘开方法，通过随乘随加导出减根方程，逐步求出高次方程的正根。其后，12 世纪北宋数学家刘益第一次突破方程系数为正的限制。在前人工作的基础上，南宋数学家秦九韶（约 1202—1261）总其大成，提出一套完整的逐步求出高次方程正根的程序“正负开方术”，用这种方法可以简便有效地求出形如 的高次方程的正根。这种求高次方程正根的一般方法现被称为秦九韶法，它与英国数学家霍纳 1819 年创立的霍纳法基本上一致。秦九韶法的提出，表明中国古代数学已经能解决任意次方程的数值求正根问题。

在求根公式方面，中国古代数学也获得了一些结果。公元 3 世纪三国时期的赵爽在为《周髀算经》作注时撰写了著名的《勾股圆方图注》，其中的一段文字相当于对形如 （系数为正）的方程给出了求根公式。12 世纪数学家刘益在《议古根源》一书中，给出了另一类二次方程 （系数为正）的求根公式。

代数”阶段向代数符号化阶段转变。早期的中国古代数学处于“文辞代数”阶段，这在《九章算术》中有非常典型的体现。在这本中国古代数学经典著作中，所有的内容——问题、解以及求解方法——都只用文字和数，而不用数学符号表示，其中没有“等号”，没有表示未知量的 ，也没有现在代数学使用的任何符号工具。但在宋元时期的数学著作中，开始做出了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力，这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，就是设未知数布列方程的一般方法。首先是“立天元一为某某”，“天元一”就表示未知数，相当于现在的 ，这相当于“ 设为某某”，然后根据问题给出的条件列出两个相等的多项式，再通过所谓的“同数相消”，把这两个多项式相减，得到一个一端为零的一元方程式。用天元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法非常类似。该方法后被元朝数学家朱世杰推广到最多有 4 个未知数的情形，即“四元术”。

李冶总结的天元术和朱世杰创立的四元术可看作是一种半符号代数，当然，这只是一种很不完备的符号代数。我们会在后面的介绍中看到，直到 16 世纪，在法国数学家韦达等人较系统地引入字母来表示数及常用的数学符号后，完善的符号代数才逐渐建立起来。

古印度数学中的代数方程

发源于印度河流域的印度文明，其历史可追溯到约公元前 3000 年，其数学发展的鼎盛繁荣时期是 5~12 世纪。其间，印度出现了许多有代表性的数学家，如婆罗摩笈多、婆什迦罗等。我们只简略介绍这一时期他们在多项式方程方面取得的杰出成就。

婆罗摩笈多（约 598—660）在其主要著作《婆罗摩笈多修正体系》中，给出了一次方程与二次方程的解法。对于一次方程，他给出的法则是：绝对项之差变号后，除以未知数（系数）之差就是方程的未知数（值）。这一法则相当于，一次方程 的解为 。对于二次方程，他给出“消去中项法则”：从平方项及简单项的另一端取绝对项。绝对项乘以平方项（系数）的 4 倍，加上中项（系数）的平方，（其和）的平方根，减去中项（的系数）把结果除以平方项（系数）的 2 倍，得中项（值）。这一法则相当于，二次方程 的解为 。

前面介绍中我们提到，古巴比伦人以及古希腊的丢番图等只考虑系数为正数的方程，这使得他们不得不把方程分成几种特殊情况来讨论。与之形成鲜明对比的是，婆罗摩笈多对系数有着十分深刻的理解，方程中的系数可为正数、负数或零。因此，婆罗摩笈多能像我们一样考虑方程的统一形式，得出一种更普遍、更现代、更有力的求解多项式方程的方法。此外，方程的解可以是正数，也可以是负数，可以是有理数，也可以是无理数。这都是相当先进的思想。

婆罗摩笈多的著作还有一个显著的特点，即代数符号的引入与应用。与丢番图的代数学一样，他的代数学也是简写代数。例如，他在一个数上面加一点来表示负数。当方程含有一个或多个未知量时，他称每个未知量为一种不同的颜色，并用颜色单词的缩写形式来表示未知数。他所使用的方法与代数学用字母 、 、 表示变量完全类似。采用缩写文字和符号来表示未知数和运算是印度人对代数学的一大贡献。

古印度最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗（1114—1185），继承并发展了婆罗摩笈多的工作。他对一次和二次方程做了更详尽的讨论，在其著作中还有一个三次方程和一个双二次方程的例子。特别是在二次方程上，他所做的工作与现在中学生所学的完全一样。正如我们所介绍的，各民族数学家为了走到这一步，花费几千年的时间去拓展数的概念、解的概念，以及解这些类型方程的计算技巧。

简单地说，古印度人在其数学的繁荣时期把多项式方程的求根问题推到了相当高的水平，并对代数学的发展做出了重大贡献。公元 8 世纪时，婆罗摩笈多的著作被带到巴格达，并被译成阿拉伯文，对当时阿拉伯的天文学和数学产生了一定影响。

古阿拉伯的花拉子密与《代数学》

阿拉伯文明是后起之秀。公元 7 世纪初，阿拉伯民族开始崛起。公元 8 世纪，阿拉伯数学开始进入兴盛繁荣期。当时的阿拉伯学者们广泛吸收希腊、印度与中国的数学成果，使阿拉伯数学在融合东西方数学的基础上发展出既含有西方因素也含有东方因素的折中数学。

当时阿拉伯最重要的数学活动中心在巴格达，阿拔斯王朝于 830 年在那里设立了著名的“智慧宫”，聚集了大批学者，其中最卓越的代表是花拉子密（约 783—850）。813 年，花拉子密被聘到巴格达工作，智慧宫建立后他成为主要领导人之一。在数学方面，他完成了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》。其中，《代数学》完成于 820 年左右，是花拉子密影响最大的著作，被誉为代数发展史上的里程碑。

花拉子密

《代数学》全书共三部分。在第一部分，他讲述了现代意义下的初等代数，系统讨论了一、二次方程的解法。

花拉子密先指出这些方程由三种量组成：根（指未知数，把未知数叫根始于花拉子密，把解方程求未知量叫作求根也来源于此）、平方（指未知数即根的平方）、数（指常数）。然后，花拉子密把所讨论的方程分为六种类型。

前三种类型分别是：“平方”等于“根”，“平方”等于“数”，“根”等于“数”。用现代符号可分别表示为： 。容易看到，这三种类型表示的是缺项的二次方程与一次方程。

后三种类型分别是：“平方”和“根”等于“数”，“平方”和“数”等于“根”，“根”和“数”等于“平方”。用现代符号可分别表示为： 。可以看到，这三种类型表示的是不缺项的二次方程。

为什么不像我们现代所做的，把二次方程统一表示为 （其中 ）呢？为什么要区分出这么多种类型？原因仍然在于，当时人们还不接受负数，所以方程的系数必须全取正数。因此，上述六种类型中出现的系数 、 、 全都要求是正数。这意味着，我们可以统一解决的二次方程，花拉子密却不得不分成各种不同类型分别进行处理。由此，即可体现出数学中引入负数的必要性。

花拉子密对每一种类型通过举例题的方式给出了求解的方法。令现代人非常陌生的是，花拉子密完全用文字来表述问题及求解，没有用任何字母和缩写符号。比如在第四章“平方和根等于数”中，花拉子密写道：“下面是‘平方和根等于数’的一个例子：1 个平方和 10 个根等于 39。因而，在此方程中的问题是：当平方是多少时，它与其 10 个根之和是 39 ？解这类方程的方法是，先求出问题中提到的根数的一半，这个问题中根数是 10，因而得到 5，将其自乘，得 25，把它同 39 相加，得 64，开平方得 8，从中减去根数之半即 5，余 3。数 3 就表示所求平方的一个根。当然，平方本身是 9。因而所要求的平方是 9。”

很难理解，是不是？其实，换用现代符号，花拉子密举的例子可表示为： 。其求解的步骤相当于：

用简洁的式子表示为： 。容易看到，这一求解过程与我们用求根公式解是一样的。但由于没有引入字母系数，对这种可以应用于 一般形式的解法，花拉子密只是给出了一个特例做说明。

如果出现 ，如何处理呢？花拉子密的办法是，方程两边同除以 ，转化成 ，这是已经解决的形式，于是原方程的解用现代符号可表示为：，与我们所熟悉的结论是相同的。花拉子密在书中以类似的方式，继续讨论了其他几种类型方程的解法。在充分讨

论了六种典型方程的解法之后，深受希腊几何学影响的花拉子密觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”，于是他又用几何方法给出它们的证明。以上述所讨论的方程 为例，花拉子密给出两种几何证明。

第一种证明是，在边长为 的正方形的四个边上向外作边长为 和 的矩形，再在四个角上补上边长为 的四个小正方形，从而把这个图补为边长是 的大正方形，如下面的左图所示。第二种证明是，在边长为 的正方形的两个相邻边上作边长为 和 的矩形，再补上一边长为 的小正方形，最终把图形补充为完整的大正方形，如下面的右图所示。

两种情况下，都可由已知得到大正方形的面积是 ，从而 。

在几何证明之后，花拉子密又明确提出了解方程需要的两种基本变换——“还原”（相当于现在的“移项”）与“对消”（相当于现在的“合并同类项”）。他指出，经过这两种变换，一般形式的一次和二次方程就都能转换成已经讨论过的六种标准方程。

在对方程根的了解方面，花拉子密最早认识到二次方程有两个根。不过，他只给出了正根，负根与零根则舍弃。他也认识到，当根的数目之半自乘的结果小于自由项时（相当于我们所说的判别式为负），开平方是不可能的，此时方程无根。

通过以上介绍，我们可看到这一著作中存在的缺陷：其一，不承认负数，方程的系数与方程的根都只取正数；其二，全部内容都是用语言文字来叙述的，没有使用代数符号，这与丢番图和古印度数学家相比都倒退了一步。

虽然如此，花拉子密毕竟完整解决了一次与二次方程的求解问题，并且其阐述条理清晰、详尽系统，使读者容易掌握解题方法。从那以后，解方程的概念逐步明朗起来，独立的代数学科亦由此确立下来，而花拉子密的工作则为这门新学科提供了方向。从这时起，解方程作为代数基本特征被长期保持下来。简言之，花拉子密的《代数学》奠定了以方程论为中心的古典代数学的基石，为“解方程的科学”的代数学开辟了道路。事实上，这门新学科的名称——代数学——本身就来源于此书。

《代数学》的阿拉伯文书名是 ilm al - jabr wa'l muqabalah，直译应为“还原与对消的科学”。al - jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项，相当于我们现在所说的“移项”；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项，相当于我们现在所说的合并同类项。这个长长的阿拉伯文名称传入欧洲后，“还原”（al - jabr）在 12 世纪被译为拉丁文 algebra，而书名的第二个字被省略。到 14 世纪，这门学科在欧洲被正式称为“algebra”。1859 年，清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作翻译时，创造性地把英文 algebra 译为代数学。“代数”这个中文名词，让人联想到这门学科的一大特征是用字母表示数，既简洁又形象，一直沿用至今。所以数学史家克莱因曾说：在代数学方面，阿拉伯人的第一个贡献是提供了这门学科的名称。

花拉子密的《代数学》在约 1140 年被译成拉丁文，后作为标准的代数学教科书在欧洲使用了数百年，其内容、思想和方法相当广泛地影响过后来的数学家。正是由于花拉子密在代数学上做出了如此巨大的贡献，因而著名的数学史家波耶认为“代数学之父”这顶桂冠更应属于花拉子密。