第五节　两颗璀璨的数学流星

在卡尔丹《大术》发表后，破解五次方程之谜成了数学中最迷人的挑战之一。然而，两个多世纪中，寻找五次方程根式解的努力全以失败告终。作为努力的成果之一，人们找到一种数学变换，可以把一般五次方程简化为简单的 的形式。不幸的是，这种似乎更易处理的形式仍然是难以逾越的障碍。“四周的城墙已经增高，问题仍躲在最后的城堡里，绝望地捍卫着自己。谁会成为迫使它投降的幸运之人？”19 世纪，数学史上两位非凡的数学天才在数学天空中飞过，他们留下的数学遗产终于给出了问题的完美解答。

序幕

1770 年，被拿破仑誉为“数学科学高耸的金字塔”的法国数学大师拉格朗日（1736—1813）发表其杰出论文《关于方程的代数解法的思考》，为陷于困境中的这一研究开辟了一条新路。

在文章中，拉格朗日致力于寻找对二次、三次、四次方程普遍适用的根式解法。他想将这种解法推广到五次方程以解决问题。拉格朗日几经努力终于发现：一个已知方程的根，可由另外一个辅助方程的根的对称函数来表示。这个辅助方程被拉格朗日称为预解式。他发现利用预解式，二次、三次与四次方程都可以实现降次，从而它们的求解问题可顺利解决。但当完全相同的过程运用到五次方程时，意外发生了。在低于五次方程中发挥漂亮作用的方法在五次方程上遭到彻底失败。拉格朗日由此总结道：“因此，用这些方法推导出五次方程的解——最著名的和重要的代数问题之一——是不可能的。”

虽然拉格朗日未能获得成功，但其意义深远的尝试已把一种激动人心的新思想引入了研究。特别是，他引入了置换的新思想，并指出了方程的解的置换特点可能与方程是否有公式解有关。后来的研究证实了拉格朗日的预见，人们发现根的置换理论确实是解代数方程的关键所在，是“整个问题的真正哲学”。

下一个在冲击这一问题时做出贡献的是意大利数学家鲁菲尼（1756—1822）。1799 年，在两卷厚达 516 页的论文《方程的一般理论》中，鲁菲尼声称自己证明了：一般五次方程不能通过一个公式解出。然而，他的证明极其复杂。后来，他又多次改进自己的证明。1813 年，他发表了一篇最终证明，打算给出更严格和不怎么深奥的证明。

然而，不幸的是，鲁菲尼的证明看来鲜为人知，而且未被普遍接受。他曾几次寄论文给拉格朗日，但未得到回复。数学界对他曲折而复杂的证明持怀疑态度，当他于 1822 年去世后，他的工作几乎被遗忘了。

高斯在发表代数基本定理第一个证明的同一年，曾表达过他对五次方程根式解的看法：“在许多几何学者的努力后得到一般方程代数解的希望仍然渺茫，似乎越来越可能这种解是不存在和矛盾的。”接着，他加了一句让人感兴趣的注解：严格证明五次方程不可能有公式解也许不是那么困难。关于这个主题，高斯再也没有发表过其他言论，也没有给出这个“不那么困难的”证明。

于是，到 19 世纪初，在经过众多数学家的顽强努力后，用根式解高于四次方程的问题仍悬而未决，“它好像在向人类的智慧挑战”。接过攻坚的接力棒，迎接挑战的是两位年轻的数学天才：阿贝尔与伽罗瓦。

阿贝尔：天才与贫困

1802 年 8 月 5 日，阿贝尔出生在挪威一个小村庄里，父亲是村子里的穷牧师。13 岁时，阿贝尔进入奥斯陆一所教会学校学习。15 岁时，他遇到了他一生中最幸运的事：霍尔姆伯成为他的老师。这位本人缺乏创造力，却知道并能鉴别数学杰作的数学家发现了阿贝尔的数学天赋。在他的热心指导下，阿贝尔令人惊讶的数学才能开始得到展现。霍尔姆伯后来回忆道：“阿贝尔沉迷数学，他以惊人的热忱和速度向这门科学进军。在短期内他学了大部分的初级数学，在他的要求下，我私人教授他高等数学。过了不久，他自己读法国数学家泊松的作品，看德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书。他已经开始研究几门数学分支。”就这样，阿贝尔很快掌握了经典著作中最难懂的部分，包括高斯的《算术研究》。从那以后，真正的数学就不仅是他的严肃工作，而且成为他着迷的爱好。若干年后，有人问起他是怎样设法迅速地赶到前面去的，他回答：“靠学习大师，而不是学习他们的学生。”

阿贝尔 18 岁的时候，父亲去世了，照顾母亲、精神不正常的哥哥和五个弟妹的家庭重担落到了阿贝尔一人身上。在艰难困苦中，他坚持不断地工作。中学最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负非凡的冒险：解决一般五次方程的根式求解问题。开始时他以为自己找到了求解公式，他的老师霍尔姆伯找不出论证的破绽。后来，这篇文章被寄给一位丹麦数学家。这位丹麦数学家也没有发现论证本身的错误，但他明智地建议阿贝尔用一个例子说明自己的方法。接受建议的阿贝尔很快发现自己的推理中确实存在漏洞，这促使他几年后走到一条相反的道路上。1824 年，阿贝尔成功证明了一般五次方程及高于五次的方程不存在根式解。

1825 年，在朋友们的帮助下，阿贝尔得到政府的资助得以拜访欧洲其他国家的数学家。然而，从这些已成名的数学家那里，阿贝尔没有得到太多有益的帮助。唯一幸运的是在柏林他遇到了一位业余数学爱好者克列尔，这是他一生中第二个对他的事业有极大帮助的人。克列尔在 1826 年创办了世界上第一本专门从事数学研究的定期刊物《纯数学与应用数学杂志》。阿贝尔在该杂志前三卷上共发表了 22 篇论文。论文的内容涉及广泛，包含了方程论、无穷级数、椭圆函数论等多方面的内容。

1826 年，在巴黎的阿贝尔完成了一篇非凡的论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》，他抱着极大期望把文章提交给法国科学院。这一“也许称得上这个世纪最伟大的数学发现”（雅可比语）、“给数学家们留下了够他们忙上五百年的东西”（埃尔米特语），被交给勒让德、柯西审阅。年老的勒让德感到论文手稿“几乎看不清楚”“简直无法辨认”，年富力强的柯西则“忙于孵自己的蛋”，根本无暇检查阿贝尔已孵出的大蛋，一篇杰作完全被忽视了。寄出论文后满怀希望等待的阿贝尔，几年中一点儿论文的消息也没听到。直到 1830 年，为了弥补过失，法国科学院授予阿贝尔（和雅可比一起）数学大奖。然而，可怜的阿贝尔已经永远无法领取这个奖了。

1827 年，由于债台高筑又未能找到合适的职位，阿贝尔返回祖国挪威。此后的生活变得更为悲惨。起初他没有找到任何固定的工作，只能以私人授课维持生计。1828 年他总算在一所大学里担任代课教师，但不久后，这个受贫穷打击的人又“穷得就像教堂里的老鼠”。一直缠绕他的贫困和伤心，把他的身体搞垮了，他得了肺结核病。1829 年 4 月 6 日，年仅 27 岁的阿贝尔走完了自己短暂的一生。

阿贝尔去世后两天，热心的克列尔寄来一封信说，他将被任命为柏林大学的数学教授。可以改变他贫困处境的机会终于来了，然而，这一切已经太迟了。一个极富数学才华的青年已经怀着对生命的眷恋、对数学的无限热爱，离开了这个世界。一颗光辉夺目、明亮无比的流星在 19 世纪的数学天空中一闪而逝。

姗姗来迟的荣誉在阿贝尔死后终于降临。为了纪念自己国家最伟大的天才数学家，挪威政府于 2002 年 8 月 5 日，阿贝尔诞辰 200 周年之际，设立了阿贝尔奖。阿贝尔也出现在一些小型张邮票上面。挪威著名雕塑家古斯达夫·维克朗（1869—1943）还于 1908 年完成了著名的阿贝尔雕塑（如下面的右图所示）。

数学则以其特有的方式为阿贝尔树立了更为长久的纪念碑。今天，任何一个学习高等数学的人都会在许多定理和理论中遇到阿贝尔的名字。作为对他多项成就的肯定，数学中以阿贝尔命名的术语、概念和定理有几十个。在其短暂的数学生涯中，他留下了多方面的非凡贡献：他求解了第一个积分方程；他为无穷级数理论奠定了严密的基础；他是椭圆函数论的奠基人之一，等等。此外，在与我们主题相关的方面，他首次成功证明了一般五次和高于五次的方程不存在根式解。这项了不起的成就，是年仅 22 岁的阿贝尔在 1824 年经过几个月的紧张工作后获得的。由于不知道鲁菲尼的工作，阿贝尔的证明非常迂回复杂。后来他又发表了两个更精简的证明。

阿贝尔没有忽略自己这一发现的重要性，他自费印刷了《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》的论文。但为了节约费用，阿贝尔将文章压缩为仅仅 6 页。然后他把自己的小册子寄给几位数学家，决定用这一证明作为自己的“名片”，认为这“将可能是我最好的介绍”。但他为自己过分的节俭付出了代价。对大多数数学家而言，这几乎像密码一样的论文太晦涩了。其中的一份小册子寄给了伟大的高斯。但高傲的高斯大概不相信这位尚名不见经传的小人物能在如此短的文章中解决他自己也未能解决的世界难题，或许他以为这是一位哗众取宠的年轻人的闹剧，于是根本没看一眼就把阿贝尔的伟大成果抛到了一边。在高斯死后，人们在他的遗物中发现阿贝尔的论文甚至没有被裁开。数学文献中最伟大的杰作之一当时竟然没有读者！在这一不幸的事件中，受损失的不单是阿贝尔，还有整个数学学科。

阿贝尔的工作，终结了人们一直探索中的代数方程根式求解问题。自意大利数学家成功找到了三次、四次方程的求根公式后，得陇望蜀的数学家们在随后两个多世纪中一直苦苦寻觅五次方程的求根公式。然而 200 多年里，许多著名数学家的努力都徒劳无功。但许多人仍然相信这样的公式是存在的，缺乏的只是巧妙的思路。拉格朗日在失败后怀疑这样的公式可能不存在，随后鲁菲尼又给出了一个有漏洞的复杂证明。最后阿贝尔出现了，他的证明给出了革命性的观念：人们一直寻求的东西没有找到，只是因为它们根本就不存在。他严格证明了一般的五次及高于五次的方程没有根式解。换言之，只使用加减乘除或开根号这几种代数运算，无法用一个公式表示出五次及五次以上方程的解。阿贝尔的否定性回答在数学史上是一个里程碑式的认识。

阿贝尔的工作指出，高于四次的一般方程不能用根式解出，但这并没有否定还有许多种特殊类型的高次方程确实可以用根式解出。在用根式解特殊类型的高次方程方面，高斯做出过重要贡献。他曾在 1801 年的《算术研究》中详尽考察了所谓的分圆方程 （ 为素数）。他证明这类方程总能归为解一串较低次的方程，从而可以用根式求解。阿贝尔也考虑了一类能用根式求解的特殊方程，现在称为阿贝尔方程。在此过程中，他还引入了两个重要概念：“域”和给定域中的“不可约多项式”。因早逝，阿贝尔未能解决用根式求解的全部方程的问题。

于是，当阿贝尔在方程求解方面做出伟大发现后，关于用根式解方程的全部问题在新的基础上提出来了：找出一切能用根式解出的那些方程。换句话说，就是找出方程能用根式解出的充分与必要条件。这个问题最终由一位与阿贝尔有着同样天赋和同样不幸命运的传奇人物伽罗瓦彻底解决。下面且让我们先去了解一下他的一生。

伽罗瓦：天才与愚蠢

1811 年 10 月 25 日，伽罗瓦出生于巴黎。他的父母都是很有教养的人。他最初是在家接受母亲的启蒙教育，一直到 11 岁。1823 年 10 月，伽罗瓦进入一所久负盛名的中学。15 岁时，他陷入对数学如饥似渴的学习中。他的一位老师说：“他被数学迷住了心窍。”他的学业报告单也表明，他对所有别的课程都不重视，而单单专心于他新找到的这门心爱的学科。他的一位老师对此评价说：“该生只宜在数学的最高领域中工作。这个孩子完全陷于数学的狂热之中。我认为，如果他的父母允许他除了数学不再学习任何东西，将对他是最有好处的。否则，他将在这里浪费时间，并且他所做的只会使他的老师们痛苦，而他自己则被惩罚压垮。”

伽罗瓦的数学天赋不断得以展现。他读几何书就像看小说那样容易，据说勒让德的《几何原理》这本老师打算要讲两年的新教材，他只用 2 天就掌握了。而学习代数学不久，他就开始研读拉格朗日的原著了。伽罗瓦的天才与努力使他的数学水平很快超过了他的老师。于是，他直接学习当代大师们写的最新著作。他迅速地汲取那些最复杂的思想。如同阿贝尔一样，学习和研究数学大师的经典著作，是伽罗瓦获得成功的重要途径。如同阿贝尔一样，不了解鲁菲尼与阿贝尔工作的伽罗瓦开始了一次野心勃勃的尝试。16 岁时，他花了 2 个月时间尝试解五次方程。与阿贝尔惊人相似的是，最初他也自信找到了公式，但随后他也发现了错误。这个挫折同样促使他在几年后走向一条相反的道路。

期间，伽罗瓦这个厌倦了正规学习的神童和他那愚钝的教师之间的冲突日益增长了。在学校的记事中记载着：“这个学生只是怕受惩罚才完成作业，上两周他破例地做了些功课……他经常佯作雄心勃勃、与众不同，性格的怪僻又使他和同学格格不入。”

1828 年 6 月，准备不充分的伽罗瓦第一次参加巴黎综合工科学校的入学考试，这是法国最好的学校。结果“在某个领域的知识太多，而其他领域的知识太少了”的他落榜了。这次失败使他非常痛苦，无奈下他回到原来的学校继续读书。幸运的是，他遇到了一位杰出的数学教师理查德，这位老师之于伽罗瓦正如霍尔姆伯之于阿贝尔。这位数学教师意识到伽罗瓦的天才并且努力帮助他、鼓励他。

1829 年 4 月，伽罗瓦发表了第一篇论文。5 月，他向科学院提交了一篇包含基本发现的论文。不幸，这份论文因审稿人柯西的疏忽大意而丢失。很快，打击接踵而至。7 月 2 日，他的父亲，一位自由主义派的镇长因屈服于政敌的恶意攻击自杀身亡。8 月 3 日，服丧期间的他再次参加他所渴望进入的巴黎综合工科学校的入学考试。但这次考试同样注定不会有好结果。在他考试的口试阶段，主考官对一个对数级数的结果提出了质疑。伽罗瓦没有解释他的想法，而是说这个结果很显然，这就轻视了考官的智力。当发现自己的面试很糟时，据说被激怒的伽罗瓦把黑板擦扔到了主考官的脸上。很自然地，他又一次落榜了。最后他不得不考入高等师范学校。

这一连串打击与厄运，在伽罗瓦心上留下了深深的印记。但他仍狂热地继续着他的数学研究，让自己完全沉浸在数学中。1830 年，他完成并发表了三篇数学论文，其中两篇涉及他在代数方程理论方面革命性的工作。1830 年 2 月，他将自己的《论方程可用根式解的条件》一文提交给法国科学院，以角逐该科学院的数学大奖。伽罗瓦的论文，包括柯西在内的许多数学家都曾认为很可能得奖。霉运当头，当时担任科学院常务秘书的傅里叶把论文带回家中，但未及审阅就去世了。结果伽罗瓦的论文再次丢失。1830 年 6 月，法国科学院把这项大奖授予阿贝尔和雅可比，伽罗瓦的论文因为丢失而未能正式参赛，于是，伽罗瓦在这次竞争中莫名其妙地失败了。

命运真是太残酷了。这个不幸的孩子在激怒之中宁愿相信重复发生的事件不是偶然失误而是有意迫害。愤于世道不公的伽罗瓦开始卷入革命的潮流中。1831 年 1 月 3 日，因为激进的革命立场，他被学校正式开除。不能再上学了，他决定用他编写的代数教材自己开班教学生谋生。但不幸的是，他无法吸引住他的学生。于是，他应征加入了国民警卫队的炮兵部队。1831 年 1 月，在数学家泊松的建议下，伽罗瓦把《关于用根式解方程的可解性条件》一文重新提交给法国科学院。与此同时，他继续从事着共和党人的事业。不久他被捕了，但被无罪释放。7 月 11 日，科学院对他的论文做出判决，负责审阅的泊松没能理解伽罗瓦全新的思想，结果他声称伽罗瓦的“论证既不够清晰，又不够详尽，使我们无法判断其严格性”。最后一线希望也破灭了，这一次的受挫基本宣告了伽罗瓦数学生命的终结。他又投身于政治动乱之中。结果他第二次被捕，并被判入狱 6 个月。1832 年 3 月，他被假释。不久，伽罗瓦陷入爱河，这是他的第一次爱情——实则却是继许多悲剧后的又一次悲剧。因为很快他就为此卷入一场无谓的决斗。5 月 29 日，决斗前夕，深信自己将在这场决斗中死去的伽罗瓦写了三封信。最长的第三封信是他的科学遗言，在总共 7 页匆匆写就的这封信中，伽罗瓦整理了自己的数学思想和数学发现。这份理论纲要非常简洁，但内容极其丰富，只是在后来人把它展开的时候，其重要性才渐渐为人所理解。而且提要预见了很久以后的发现，这证明了伽罗瓦深刻的洞察力。信中还有一些后人至今读来仍无比惋惜的文字：“这些题目并非我已经研究的全部……我没有时间了，我的思想在那个领域未能得到充足的发展——那个领域是巨大的……我不得不承认，在我有兴趣的领域里，我已宣布但尚未证明、从而使人怀疑的定理确实是太多了。”其中最令人难忘，也是最悲伤的话语是“我没有时间了”。

在信的末尾，他要求他的朋友“请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。我相信最终会有人发现，将这一堆东西解释清楚对他们是有益的”。

1832 年 5 月 30 日，星期三的早晨，在决斗中他受了重伤，一个农民发现了他并把他送到医院。他对来陪伴他的弟弟说：“不要哭。在 20 岁就死去，需要我全部的勇气。”次日上午 10 时伽罗瓦停止了呼吸。关于决斗的原因，有各种不同的说法流传。历史学家曾争论这场决斗是一场悲惨的爱情还是政治迫害造成的，但无论是哪一种，一位杰出的数学家在他 20 岁时被杀死了，他研究数学才只有 5 年时间，而其全部工作仅仅写在 61 页小纸上。

后来，他的朋友与弟弟尽职地把他的数学论文抄送给高斯、雅可比及其他一些数学家，但是这些数学家的反应却无案可查。1832 年，他的工作在《百科评论》上发表了，但没有对当时的数学发展产生影响。

直到 1843 年，数学家刘维尔开始认识到伽罗瓦思想的价值。1846 年，他将伽罗瓦的论文发表在极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上。在对伽罗瓦论文的介绍中，刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝做了反思：“过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的……但是现在一切都改变了，伽罗瓦再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西……我的热心得到了好报，在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个定理的方法是美妙和完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦。”人们终于承认了“19 世纪数学中一位最悲惨的英雄创造的杰作”。伽罗瓦生前几乎不为人所理解的工作，在其死后十几年终于焕发出灿烂的光辉。

下面，就让我们去简单领略一下这位数学天才迸发出的天才思想吧。

光辉的证明

为理解伽罗瓦美妙的思想，我们先来介绍几个相关的概念。

第一个概念是由阿贝尔已经提出过的数域：一个至少含有两个数的数集 ，如果对数的加减乘除（除数不为零）四种运算是封闭的，即 中任意两个数的四则运算还是 中的数，则 称为数域。另外，若数域 中的数都属于数域 ，则 称为 的子域， 为 的扩域。

按照数域的定义，显然，有理数、实数、复数都构成数域。而且容易知道，任意数域都包含有理数域；也就是说，有理数域是最小的数域，而实数域、复数域都是有理数域的扩域。除这几个最为常见的数域外，还有无数其他数域。我们这里仅举后面章节中会用到的一类数域为例。

一切形如 （其中 、 为有理数）的实数的全体构成一数域。证明这一点，只需说明任意两个这种类型数的和差积商结果仍具有这种形式。此外，容易明白这一数域包含有理数域，因此它是有理数域的扩域。同样，一切形如 （其中 、 为有理数）的实数的全体也构成一数域。一般地，设 是一个数域， ，则 仍是一个数域，而且它是 的（二次）扩域。

进而，（简记为 ）可继续扩张：设 ，则 仍是一个数域，我们把它简记为 ，则它是 的（二次）扩域。根据域论知识，可知它还是 的四次扩域。按照这种方式，我们可逐步扩张：，其中 ，它称为 上的 级二次扩张塔。下面，我们举一个例子来理解一下这种扩域的形成方式。

考察 。令 ，则 是一个数域，且它是 的二次扩域。然后，取 ，则 仍然是一个数域，且它是 的二次扩域，是 的四次扩域。而我们考察的 。

有了域与扩域的概念后，我们再来介绍一下数域上的不可约多项式。

系数都是 中的数的多项式，称为数域 中的多项式；对于数域 中的多项式 ，如果存在数域 中的多项式 和 ，使得 ，且 和 的次数都至少是一次的，则称多项式 为数域 中的可约多项式；反之，若 不能分解成 上两个次数较低的多项式乘积，则它称为数域 中的不可约多项式，也称既约多项式。

由这一定义可以明白，不能孤立地谈一个多项式是否可约，而应相对于给定的数域而论。比如， ，系数都属于有理数域 ，但它在 中不能分解为两个因式的乘积。因此，它是有理数域 中的不可约多项式。但是，正如我们已经熟知的， 在有理数域的扩域实数域中是可约多项式。事实上，因为 ，这表明它在数域 上即可分解，因此它在有理数域的扩域 中是可约的。

下面再来介绍“群”的概念。群可以理解为一类集合 ，集合中元素之间存在一种运算 ×，这种运算满足下列 4 条性质。

• （封闭性）对任意 、 ，都有 ；
• （结合律）对任意 、 、 ，都有 ；
• （单位元）对任意 ，存在 ，使 ；
• （逆元）对任意 ，存在 ，使 。

需要说明的是，上面运算用 表示，只是一种习惯。事实上，群中的运算是任意的，它叫什么名称，或者用什么符号表示都是可以的。同样地，上面的单位元采用的符号 1（群中的单位元也常用符号 表示），也只是一种习惯，它并不代表我们所熟知的自然数 1。对于不同的群而言，单位元其实是极不相同的。我们举一个简单例子，整数集关于通常意义上的加法运算即构成一个群。显然，封闭性（任意两个整数的和仍是整数）与结合律是满足的。这个群的单位元是整数 0（任何整数与 0 的和不变），而这个群中任意一个整数的逆元是其相反数（任何整数与其相反数的和等于该群的单位元 0）。

有了抽象群的概念后，我们再来看一类特殊的群：置换群。有必要补充一句，在数学的发展中，抽象群的概念是在置换群及更多种类群的发现之后才提出的。

为了解置换群，先要说明一下什么是置换。让我们从二次方程谈起。如我们所熟悉的，二次方程 有两个根 。由这两个根可以组成许许多多的表达式，比如 等。在这些表达式中，交换 的次序，即把 换为 ，同时把 换为 ，这就是一个置换。特殊地，把 换为 ，同时把 换为 ，这也是一个置换，称为恒等置换。置换还可以用另一种角度理解。 的排列有两种： 与 。从一个排列变到另一个排列，这一过程称为置换。显然，在这种情况下，可以得到两个置换，即 变为 ，以及 变为 。这两个置换可以分别表示为 与 。为简便，置换也可以考虑只用其下标，于是它们可分别表示为 与 。更为简便的是， 可以记为（12），其中括号的数字是环状排列的，意思是 1 变为 2，2 变为 1；而恒等置换 则可记为（1）。

再以三次方程三个根 为例。这三个根的不同排列共有 6 个，相应的置换也有 6 个。它们用简单的记法可表示为：（1）（12）（13）（23）（123）（132）。解释一下，（1）表示的是恒等置换。而（12）表示 1 变为 2，2 变为 1，3 变为自身 3，这种自己保持不变的情况，可以在表示中直接省略。于是可以明白，（13）表示的是 1 变为 3，3 变为 1，而 2 变为自身 2。而（123）表示的是 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 1。

两个置换之间可以做“乘法”。比如说，（123）·（23）代表的意思是，先作置换（123），再作置换（23）。于是这个乘积可如下求得：先看 1，由（123）知，1 变为 2，又由（23），知 2 变为 3，因此结果是 1 变为 3；同样，2 变为 3，3 变为 2，因此结果是 2 变为 2；而 3 变为 1，1 变为 1，所以 3 变为 1。因此，最后乘积的结果可以记为（13）。类似地，可以计算，（23）·（123）=（12）。通过这例子可以看到，置换的乘法运算不满足交换律。

现在，我们把这 6 个置换看作一个集合，把上面的“乘法”作为一种运算，于是，我们可以得到一个群。其一，集合中任两个置换（元素）乘积的结果仍在这一集合内，即这个集合关于乘法运算是封闭的。其二，容易验证结合律也是成立的。其三，恒等置换（1）是单位元。其四，任何一个置换都有逆元。比如，（123）的逆元是（132）。由此得到的群就称为置换群。因为群中元素的数目叫群的阶，于是，我们说集合 中 3 个对象的置换全体构成一个阶为 的置换群，并可记其为 ；类似地，2 个对象 的置换全体构成一个阶为 的置换群 。一般地， 个不同对象的所有置换共有 个，它们的全体构成一个群，这个群通常记为 。

在伽罗瓦的证明中，用到的就是这种置换群。除此之外，还有另一个伽罗瓦用到的有力数学工具，就是子群的思想。如果一个群的某些元素也可以构成一个群，那么这个群称为原来群的子群，原来的群称为母群。自然，任何一个群都至少有两个子群：它本身及由单位元一个元素组成的群，这两个群称为平凡子群。比如，对 来说，它只有两个平凡子群。对 来说，它除了有两个平凡子群外，还有一些子群，比如，(1), (1, 2, 3), (1, 3, 2) 这三个置换可组成 的一个 3 阶子群。

对一个有限阶的群来说，母群与子群的阶具有一种特别的关系，此关系被称为拉格朗日定理，即若设母群 的阶为 ，子群 的阶为 ，则 必整除 。而所得商数 叫 在 中的指数，记为 。

有了以上这些铺垫之后，我们可以走进伽罗瓦大脑的迷宫，去欣赏一下他的极有创造性的思想了。

让我们还是从比较简单的例子入手。我们上面已经提到 系数都属于有理数域 ，但它是有理数域 中的不可约多项式，然而它在有理数域的扩域 中是可约的。换一种等价的说法是，方程 的系数属于有理数域 ，但方程在 中无解，不过它在 的扩域 上有解。这个简单例子说明，一个方程在其系数所属的域（称为基本域）中无解，却可以在基本域的某个扩域中有解。我们把能将一个方程的所有解都包含在内的基本域的最小扩域称为此方程的根域或分裂域。显然， 的基本域是 ，而其根域是 。再以 为例，它的基本域是有理数域，在其上方程没有解，但在扩域 上有解。事实上，我们知道这一方程的两个解为 。对一般的二次方程 而言，其基本域可记为 。设其在基本域上不可约，那么在这个域中无法得到方程的解。但若把量 加入到基本域中，则在得到的扩域 中方程可解，事实上其解可以表示为： 。

下面再来考察三次方程 ，在它的基本域 上一般无法求解。但我们分别把量 与 加入到原来的域中，于是在得到的扩域 中方程可解。事实上，用前面介绍过的卡尔丹公式，我们知道 。

通过上面的例子，我们看到能用根号求解方程的求根公式特点是，一个代数方程（数字系数或字母系数）有根式解，相当于系数域 可以经过有限次添加根式而一扩再扩，直到扩充至根域 为止。或者说，相当于在系数域 与根域 之间存在一个有限的扩域序列： ，其中每一个 都是由 添加 中的数的根式而成的扩域。

于是，根式解问题可以转化为域的问题。然而，这种转化中的关键点在于，如何由基本域通过不断扩张最终得到根域。为了解决这一困难，伽罗瓦引入了重要思想，即把域的问题转变成群的问题。我们举简单的例子来说明一下。

考虑方程 ，其系数域为有理数域 。由韦达定理可知， ，这是以系数域（此处为 ）中的元素为系数，由方程的根形成的两个代数关系。容易明白，这两个代数关系在置换（1）、（12）下都保持不变。事实上，可以证明，以系数域中的元素为系数，方程的根所形成的全部代数关系，在这两个置换下都将保持不变。于是，我们说方程 在有理数域中的群由这两个置换构成。再考虑 在扩域 中的情况。在这种情况下，我们可以考察 。易知，这一代数关系在置换（12）下会发生改变。但显然，它在恒等置换（1）下保持不变。于是，我们说方程 在 中的群由置换（1）构成。

通过这个简单的例子，我们只是想点明几点。其一，对一个方程，我们可以引入伽罗瓦所称的“方程的群”（现在又称“伽罗瓦群”）的概念。所谓“方程的群”，是指一个方程的根形成的置换群中某些置换组成的“子群”。其二，扩大数域以后，方程的伽罗瓦群可以变小。其三，需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的。因此，伽罗瓦群作为方程的“对称外形”，刻画了方程根的对称性。特别地，一个方程的伽罗瓦群是方程假定解的最大置换群。具体来说， 次方程具有 个解。 个解的可能置换的最大数是 ，而包含所有置换的群就是群 。伽罗瓦证明了，对任何次数 ，总能找到一些方程，其伽罗瓦群为整个 ，比如，存在五次方程的伽罗瓦群是 。其四，一个方程在某数域中的群总是可以求出的。可以注意到，上面简单例子中，我们只是给出了结果，并没有认真解释结果的由来。限于篇幅，这里不打算对此做更多介绍。

更重要的一点是，我们可以看到在伽罗瓦域与伽罗瓦群之间存在一种对应关系，这种关系在一般情况下也是成立的。具体而言，设方程在系数域 上对应的伽罗瓦群为 ，于是，介于方程的系数域 与根域 之间的所有域恰好与群 的所有子群之间具有一一对应的关系。这被称为伽罗瓦扩域基本定理，整个伽罗瓦理论的核心就是这个基本定理，它是伽罗瓦理论的顶峰。原因在于，域是很复杂的研究对象（它里面包含四种运算和无穷多个数），而置换群（它里面只包含一种运算和有限多个元素）的问题相对而言容易解决。如有人比喻，如果把域的结构问题比作一座高山，从某种角度来看简直是悬崖峭壁，无处攀缘，从置换群的角度来看，山穷水尽之余却是柳暗花明的世界。而伽罗瓦的这一伟大发现表明，群的结果可反映域的结果，从而有可能通过研究较简单的置换群来解决更复杂的域的问题。

至此，我们看到作为一系列独创性思想的第一步，也是关键的一步，伽罗瓦先把研究代数方程过程中遇到的问题转化成域的问题，然后又把域中遇到的困难转化为群中一系列新问题，由此，全部问题归结为置换群及其子群结构的分析。关于群的研究，同样闪耀着伽罗瓦的天才与非凡的想象力与创造力。

首先，伽罗瓦在子群基础上引入了一种特殊的子群：正规子群。设 是群， 是 的子群，任取 ，若有 ，则称 是 的正规子群。 称为 应用 的变形，上述定义表明，用任何 对 中元素变形仍在 中，即 对变形有“不变”性，因此正规子群也称为不变子群。

一般来说，如果一个群具有正规子群，其中一个将是最大的（即有最高阶，或者说有最多的元素）。进一步，这个最大正规子群可能又有它自身的子正规子群，其中一个又有最高的阶。于是，我们可得到最大正规子群的一个完整系列： 。在得到这个最大正规子群的完整系列后，我们可以进一步做如下定义：令 （其中， 是群 中含有的元素数， 是群 中含有的元素数， 是群 中含有的元素数…… 是群 中含有的元素数，易知 为单位元群，因此 ），由此得到的指数序列 称为群 的组合因数。为方便理解，我们举例子说明一下。

先以置换群 为例。 只有一个子群即单位元群（1），显然这个子群也是正规子群。于是，我们得到的最大正规子群系列很简单：（1）和（12）；（1）。于是，置换群 的组合因数为： 。

再看一下置换群 ，这个群包含 6 个元素：（1）、（12）、（13）、（23）、（123）、（132）。可以验证，含有（1）、（123）、（132）3 个元素的群 H 是其正规子群，且是最大正规子群。进一步， 的最大正规子群是单位元群（1）。于是，我们得到 的最大正规子群系列是 、 、单位元群。置换群 的组合因数为 。

在群 组合因数概念基础上，伽罗瓦引入了可解群概念：若群 中的组合因数 全都是质数，则 称为一个可解群。“可解”之名来源于代数方程的可解性。事实上，经过千曲百折之后，我们已经走到了迷宫的出口。这就是伽罗瓦光辉的定理：一个方程有根式解的充分且必要条件是，这个方程的群是可解群。具体而言，如果一个方程在一个含有其系数的数域中，它的群是一个可解群，则此方程有根式解，而且仅在这一条件下方程有根式解。

下面我们应用伽罗瓦这一“美妙的定理”，来判定代数方程的可解性。

对于一般的二次方程 ，它有两个根 。此方程在一个含有其系数的数域中，它的群 中的元素只能是（1）和（12）。如上所述，置换群 的组合因数为 2。2 是质数，这表明群 是可解群。因此，由伽罗瓦定理，二次方程都有根式解。

对于一般的三次方程 ，它有 3 个根 。此方程在一个含有其系数的数域中，它的群 中的元素包含 6 个元素：（1）、（12）、（13）、（23）、（123）、（132）。如前所述，置换群 的组合因数为 2、3。因为 2 与 3 都是质数，这表明群 是可解群。因此，根据伽罗瓦定理，三次方程都有根式解。

对于一般的四次方程 ，它有 4 个根 。此方程在一个含有其系数的数域中，它的群 中包含 个元素。可以验证，这个群的最大正规子群 为 12 阶，而 的最大正规子群 为 4 阶， 的最大正规子群 为 2 阶， 的最大正规子群为 1 阶。因此，其组合因数是 2、3、2、2。它们都是质数，这表明群 是可解群。于是，根据伽罗瓦定理，四次方程都有根式解。

这样，我们应用伽罗瓦定理证明了人们已经熟悉的结论：不超过 4 次的代数方程都有根式解。下面我们继续考察一下 5 次及高于 5 次的代数方程。

为此，伽罗瓦首先证明了一个结论：当 时， 次代数方程在一个含有其系数的数域中，它的群除了单位元群 1 以外，只有一个不变子群 ，且其元素个数为 。于是，对一般的 次代数方程而言，其根有 个。所以在一个含有其系数的数域中，它的群 含有 个元素，由伽罗瓦证明的结论，此群的最大不变子群为 ，而 的最大不变子群是（1），所以组合因数为 。2 是质数，但容易知道 在 时一定不是质数，这表明， 在 时不是可解群。于是，根据伽罗瓦定理，当 时，一般的代数方程没有根式解。

多么简练、完美、奇妙的解决！异常简练，达到了不能再简练的地步；异常完美和奇妙，达到了无法更完美、更奇妙的程度。伽罗瓦令人拍案惊奇、叹为观止的解答，使代数方程的根式求解，这个在数学史上让人深感兴趣的问题终于得到圆满而彻底的解决。

结语

在本章，我们介绍了人类在代数方程根式求解方面的不懈努力与最终成功。让我们再简单回顾一下人类为此走过的历程。

早在河谷文明时期，人类（特别是古巴比伦人）已掌握了一次与二次方程的求解法则。到中世纪，阿拉伯数学家特别是花拉子密又将二次方程的理论系统化。文艺复兴时期及以后一段时间，欧洲数学家又在两方面获得了突破：一方面，成功解决了三次和四次代数方程的求根问题；另一方面，创建并逐步完善了符号代数。由此，次数不超过 4 的代数方程的解法都可以写成一个代数表达式，这个表达式可以由方程的系数通过有限次的有理运算（即加减乘除运算）或开方而得到。因此，我们说四次的一般代数方程都有根式解。

非常自然地，人们希望把这一结论推广到一般的五次及更高次方程中去，即获得五次或更高次代数方程的根式解。然而，两个多世纪的尝试都以失败告终。直到 1770 年，事情开始出现了转折。法国数学家拉格朗日在研究中发现适用于不超过四次代数方程的方法并不适用于解更高次方程，于是他猜测高次方程不能根式求解。另外在其探索中，他还提出置换的思想，并意识到置换理论是“整个问题的真正哲学”，但他未能继续前进。1799 年，意大利数学家鲁菲尼提出并证明了五次方程没有根式解，但其复杂又有缺陷的证明未得到数学界的重视。1824 年，年仅 22 岁的数学家阿贝尔迈出了决定性的一步，他严格证明了五次及高于五次的一般方程没有根式解。在这一非凡结果之后，剩下的问题是：什么样的特殊方程能够用根式来求解？在这方面，高斯研究并证明了分圆方程有根式解。在高斯研究基础上，阿贝尔也考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，并在其工作中引进了“域”的思想。阿贝尔因早逝而留下的未竟之业留给了另一位与其命运相似的年轻数学家。在 1829~1831 年完成的几篇论文中，伽罗瓦的天才一笔抒写了判别方程根式可解的充分必要条件，从而为方程根式可解性这一经历了三百年的难题画上了圆满的句号。

通过本章的介绍，我们看到，在一代代数学家所关注的这一基本问题的漫长求索过程中，古典代数学得到极大丰富与发展。更为重要的是，跑最后一棒的伽罗瓦为解决问题而创造性地引入了全新的“群”概念与“群论”思想。这开辟了代数学的新源泉，引发了代数学的革命性变化。在伽罗华之前，解方程始终占据着代数学舞台的中心，代数学曾只被认为是解方程的学问，而在他之后，代数学被引入一个新的轨道，代数学的面貌焕然一新。代数学不再限于研究方程，而是更多地把注意目标转向各种代数结构。由此，代数学跨过解方程的阶段，进入研究新的数学对象（群、环、域、格等）的阶段，逐渐形成数学的重要分支“近世代数”，又称“抽象代数”。追根溯源，群的引入正是在方程根式解这一古典问题的深入研究中获得的。因此，我们可以说，“数学抽象的顶尖艺术”——群论——是方程根式解问题带给数学的最伟大收获，一颗最大的金蛋。

我们还可以体会到一点，数学的抽象不是来自数学家的想象，而是来自成功攻克从经典数学继承下来的问题的需要。抽象的结构数学不是无源之水、无本之木。它的产生不但大大扩大了数学对象的领域，而且与经典数学结合在一起，对经典数学问题的解决有着极大促进作用。在下一章，我们就会进一步体会到群论这一“美丽而且深刻的智力创造物”作为一种“处理范围极广数学问题的无法估价工具”的伟力。在第三章，我们还会看到群概念在澄清和统一不同数学分支方面的作用。