一、数学是什么

这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角等。用英文名词来说，那就是Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单、明了，几乎用不到再说明。若真要说明，问题却有很多。且先举罗素（Russell），他在所著的《数理哲学》中提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑一样。他说：“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true．”

将这句话粗疏地翻译出来，就是： “数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”

这样的定义，它的惝恍迷离，它的神奇莫测，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，要将已经发展到现在的数学的领域统括得完全，要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有别的更好的话可说了。所以伯比里慈（Papperitz）、伊特耳生（Itelson）和路易·古度拉特（Louis Couturat）几位先生对于数学所下的定义也和这个气味相同。

对于一般的数学读者，这定义，恐怕反而使大家坠入五里雾中，因此拨云雾见青天的工作似乎少不了。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他定义来相比较更容易明白。

在希腊，亚里士多德（Aristotle）那个时代，不用说，数学的发展还很幼稚，领域也极狭小，所以只需说数学的定义是一种“计量的科学”，便可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，初学数学的人是极容易明白、满足的。他们解四则问题，学复名数的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作量，虽然我们可以用一般的知识来解释，但真要将它的内涵弄明白，也不容易。因此用它来解释别的名词，依然不能将那名词的概念明了地表示出来。第二，就是用一般的知识来解释量，所谓计量的科学这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。像测量、统计这些学科，虽然它们各有特殊的目的，但也只是一种计量。由此可知，仅仅用“计量的科学”这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义，未免广泛了一点儿。

若进一步去探究，这个定义的欠缺还不止这两点，所以孔德（Comte）就加以修改而说：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长，用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。但若是测量行星轨道的广狭、行星的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺点完全补正，但总是较进一步了。

孔德究竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一个不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流和量或测量实在没什么关系。即如笛沙格（Desargues）所证明的一个极有兴味的定理：“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”

这个定理的证明，就只用到位置的关系，和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻巧地将孔德所给的定义攻破了。

到了1970年，皮尔士（Peirce）就另外给数学下了一个这样的定义：“数学是产生‘必要的’结论的科学。”

不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序井然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。

照这般说法，皮尔士的定义可以说是完整无缺吗？

不！依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”。若说是“必要”，那就很可怀疑。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？

更进一步说，现在的数学领域里面，固然大部分还是采用着老方法，但像皮亚诺（Peano）、布尔（Boole）和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，对于数学的基础的研究他们要掉一个方向去下寻根问底的功夫。

于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。

关于这定义的改正，我们可以举出康伯（Kempe）的来看，他说：“数学是一种这样的科学，我们用它来研究思想的题材的性质。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同，个别和复合的一个数的概念上面。”

这个定义，实在太严肃、太文气了，而且意味也有点儿含混。在康伯以后，布契（Bôcher）把它改变了一下，便这样说：“倘若有某一群的事件与某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”

在这个定义中，有一点最值得注意，布契提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用数咧、量咧这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。

假如我们只照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实和计算没有什么因缘。

也就因为这个缘故，我喜欢用“数学”这个词来译Mathematics，而不喜欢用“算学”。虽然“数”字也还不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。

倘使我们再追寻一番，我们还可以发现布契的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种功夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇东西不过想给一般的数学读者一点儿数学的概念，所以不再往里面穷追了。

将这个定义来和罗素所下的比较，虽然距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真是开玩笑吗？

我是很愿意接受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：“数学只是一种符号的游戏。”

假如，有人觉得这样太轻佻了一点儿，严严正正的科学怎么能说它是“游戏”呢？那么，这般说也可以：“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”

对于数学这种东西，读者大都有过这样的疑问：这有什么意思呢？这有什么用呢？本来它不过让你知道一些关系，以及从某种关系中推演出别的关系来，而关系的表出大部分又只靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和意义了。

为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，更方便些。

一开头我们就看“一加二等于三”。

在这一个短短的句子里，照句子法上的说法，总共是五个词：“一”“二”“三”“加”“等于”。这五个词，前三个是一类，后两个又是一类。什么叫“一”？什么叫“二”？什么叫“三”？这实在不容易解答。它们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶给人家看，但我们拿不出“一”来，“一”是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶。一个这样，一个那样，这些的共相。从这些东西我们认识出这共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给它起一个称呼，于是就叫它是“一”。我为什么叫“薰宇”，倘若你要问我，我也回答不上来，我只能说，这只是一个符号，有了它方便你们称呼我，让你们在茶余酒后要和朋友们批评我、骂我时，说起来方便些，所以“薰宇”两个字是我的符号。同样地，“一”就是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶……这些东西的共相的符号。这么一说，自然“二”和“三”也一样只是符号。

至于“加”和“等于”在根源上要说它们只是符号，一样也可以，不过从表面上说，它们表示一种关系。所谓“一加二”是表示“一”和“二”这两个符号在这里的关系是相合；所谓“等于”是表示在它前后的两件东西在量上相同。所以归根到底“一加二等于三”只是三个符号和两个关系的联缀。

单只这么一个例子，似乎还不能够说明白。再举别的例子吧，假定你是将代数学完了的，我们就可以从数的范围的逐渐扩大来说明。

在算术里我们用的只是1、2、3、4……这些数，最初跨进代数的门槛，遇到a、b、c、x、y、z，总有些不习惯。你对于二加三等于五，并不惊奇，并不怀疑；对于二个加三个等于五个，也不惊奇，也不怀疑；但对于2a+3a=5a你却怔住了，常常觉得不安心，不知道你在干什么。其实呢，2a+3a=5a和2+3=5对于你的习惯来说，后者不过更像符号而已。有了这一个使用符号的进步，许多关系来得更简单、更普遍，不是吗？若是将2a+3a=5a具体化，认为a是一只狗的符号，那么这关系所表示的便是两只狗碰到了三只狗成为五只狗；若a是一个鼻头的符号，那么，这关系所表示的便是两个鼻头添上三个鼻头总共就成了五个鼻头。

再掉转一个方向来看，在算术中除法常有除不尽的时候，比如2÷3。遇见这样的场合，我们便有几种方法表示：

第一种只是一个近似的表示法；第二种表示得虽正确，但用起来不方便；第三种是循环小数，关于循环小数的计算，那种苦头你总尝到过；第四种是分数，2是什么？你已知道就是3除2的意思。对了，只是“意

3思”，毕竟没有除。这和3除6得2的意味终是不同的。所谓“意思”便是“符号”。因为除法有除不尽的时候，所以我们使用“分数”这种符号。有了这种符号，于是我们就可以推究出分数中的各种关系。

在算术里你知道5-3=2，但要碰到3-5你就没办法，只好说一句“不能够”。“不能够”？这是什么意思？我替你解释便是没有办法表示这个关系。但是到了代数里面，为了探究一些更普遍的关系，不能不想一个方法来突破这个困难。于是有些人便这样想：3-5为什么不能够呢？他们异口同声地回答，因为还差2的缘故。这一回答，关系就成立了，“从3减去5差2”。在这个当儿又用一个符号“-2”来表示“差2”，于是这关系就成为3-5=-2。这一来，真是“功不在禹下”。有了负数，我们一则可探讨它自身所包含的一些关系，二则可以将我们已得到的一些关系更普遍化。

又如在乘法中，有时只是一些相同的数在相乘，便给它一种符号，譬如a×a×a×a×a写成a5。这么一来，关于这一类的东西又有许多关系可以发现了，例如：

……

不但这样，这里的n和m还只是正整数，后来却扩张到负数和分数去而得出下面的符号：

这些符号的使用，是代数所给的便利，学过代数的人都已经知道了，我也不用再说了。

由整数到分数，由正整数到负数，由乘方到使用指数，我们可以看出许多符号的创立和许多关系的产生、繁殖。要将乘方还原，用的是开方，但开方常常会碰钉子，因此就有了无理数，如2，3，39，48……这不过是一些符号，这些符号经过一番探索，便和乘方所用的指数符号结了很亲密的关系。

总结这些例子来看，除了使用符号和发现关系以外，数学实在没有什么别的花头。倘若你已学过平面三角，那么，我相信你更容易承认这句话。所谓平面三角，不就是只靠着几个什么正弦、余弦这类的符号来表示几个比，然后去研究这些比的关系和三角形中的其他关系吗？

我说“数学是使用符号来研究‘关系’的科学”，你应该不至于再怀疑了吧？

在数学中，你会碰到一些实际的问题要你计算，譬如三个十两五钱总共是多少斤。但这只是我们所得的关系的具体化，换句话说，不过是一种应用。

也许你还有一个疑问，数学中的公式和定理固然只是一些“关系”的表现形式，但像定义那类的东西又是什么呢？我的回答是这样，那只是符号的规定。“到一个定点距离相等的一个完全的曲线叫圆”。这是一个定义，但也只是“圆”这个符号的规定。

正正经经地说，数学只是这么一回事，但我仍然高兴地说它是符号的游戏。所谓“游戏”自然不是开玩笑的意思。两个要好的朋友拿着球拍在球场上打网球，并没有什么争胜的要求，然而兴致淋漓，不忍释手，在这时他们得到一种满足，这就是使他们忘却一切的原因，这叫游戏。小孩子独自拿着两块石子在地上造房子，尽管满头大汗，气喘不止，但仍然拼尽全身力气去做，这是游戏。至于为银盾而赛球，为锦标而练习赛跑，这便不是游戏了。还有为了排遣寂寞，约几个人打麻将、喝老酒，这也算不来游戏。就在这意味上，我说“数学是符号的游戏”。

自然，从这游戏中可有些收获——发现一些可以供人使用的关系。但符号使用得越多，所得的关系越不容易具体化。踏到数学的领域的后部，真的，你只见到符号和关系，那些符号、那些关系要你说个明白，就是马马虎虎地说，你也无从下手。

到这一步，好了，罗素便说：“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”