一、第一步

我们来开始讲正文吧，先从一个极平常的例说起。

假如，我和你两个人同乘一列火车去旅行，在车里非常寂寞，不凑巧我们既不是诗人，不能从那些经过车窗往后飞奔的田野、树木汲取什么“烟士披里纯”；我们又不是画家，能够在刹那间感受到自然界色相的美。我们只有枯坐了，会觉得那车子走得很慢，真到不耐烦的时候，也许竟会感到比我们自己步行还慢。但这全是主观的，就是同样地以为它走得太慢，我们所感到的慢的程度也不一定相等。我们只管诅咒车子跑得不快，车子一定不肯甘休，要我们拿出证据来，这一下子有事做了，我们两个人就来测量它的速度。

你立在车窗前数那铁路旁边的电线杆——假定它们每两根的距离是相等的，而且我们已经知道了时间——我看着我的表。当你看见第一根电线杆的时候，你立刻叫出“1”来，我就注意我表上的秒针在什么地方。你数到一个数目要停止的时候，又将那数叫出，我再看我表上的秒针指什么地方。这样屈指一算，就可以得出这火车的速度。假如得出来的是每分钟走1公里，那么60分钟，就是1小时，这火车要走60公里，火车的速度就是每小时60公里。无论怎样，我们都不好说它太慢了。同样地，若是我们知道：一个人12秒钟可以跑100米，一匹马30分钟能跑15公里，我们也可以将这个人每秒钟的或这匹马每小时的速度算出来。

这你觉得很容易，是不是？但你真要做得对，就是说，真要得出那火车或人的精确的速度来，实际却很难。比如你另换一个方法，先只注意火车或人从地上的某一点跑到某一点要多长时间，然后用卷尺去量那两点的距离，再计算他们的速度，就多半不会恰好。火车每小时走60公里，人每12秒钟可跑100米。也许火车走60公里只要56又3/10分，人跑100米不过11又3/5秒。你只要有足够的耐心，尽可以去测几十次或一百次，你一定可以看出来，没有几次的得数是全然相同的。所以速度的测法，说起来简便，做起来那就不容易了。你测了一百次，说不一定没有一次是对的。但这一点关系也没有，即使一百次中有一次是对的，你也没有法子知道究竟是哪一次。归根结底，我们不得不稳妥地说，只能测到“相近”的数。

说到“相近”，也有程度的不同，用的器械——时表、尺子——越精良，“相近”的程度就越高，反过来误差就越大。用极精密的电子表测量时间，误差可以小于百分之一秒。我们可以想象，假如将它弄得更精密些，可以使误差小于千分之一秒，或者还要小些。但无论怎样小，要使这误差没有，却很难做到！

同样地，我们对于一切运动的测量，也只能得相近的数。第一，自然是因为要测运动，总得测那种运动所经过的距离和花费的时间，而这距离和时间的测量就只能得到相近的数。还不只这样，运动本身也是变动的。

假定一列火车由一个速度变到另一个较大的速度，就是变得更快一些，它绝不能突然就由前一个跳到第二个。那么，在这两个速度当中，有多少不同的中间速度呢？这个数目，老实说，是无限的呀！而我们的测量方法，却只容许我们计算出一个有限的数来。我们计算的时候，时间的单位取得越小，所得的结果自然越和真实的速度相近。但无论用一秒钟做单位或十分之一秒钟做单位，在相邻的两秒钟或两个十分之一秒钟中，常常总是有无限的中间速度。

能够确切认知的速度原是抽象的！

这个抽象的速度只存在于我们的想象中。

这个抽象的速度，我们能够理会，却不能从经验中得到。在一些我们能测量得到的速度中，可以有无限的中间速度存在。既然我们已经知道所测得的速度不精确，为什么又要用它？这不是在欺骗自己吗？

为了安抚我们低落的情绪及填补这个缺陷，需要一个理论上的精确的数目和一个容许计算到无限制的相近数的理论。顺应这个需要，人们就发现了微积分。

哈哈！微积分的发现是一件很有趣味的事。英国的牛顿（Newton）和德国的莱布尼茨差不多在同一时间发现了微积分，弄得英国人认为微积分是他们的恩赐，德国人也认为这是他们的礼物，各人自负着。其实呢，牛顿是从运动上研究出来的，而莱布尼茨却是从几何上出发的，不过殊途同归罢了。这个原理的发现，真是功德无量，现在数学园地中的大部分建筑都用它当台柱，物理园地的飞黄腾达也全倚仗它。这个发现已有两百年了，它对于我们的科学思想着实有巨大的影响。就是说，假使微积分的原理还没有发现，现在所谓的文明，一定不是这样辉煌，这绝不是夸张的话！