德国数学家、理论物理学家、哲学家外尔（Hermann Weyl，1885—1955）
他是20世纪上半叶最重要的数学家之一，是希尔伯特的优秀继承者，对纯数学和理论物理都有杰出贡献。

外尔出生于汉堡附近的埃尔姆斯霍恩，图为当地石荷州战（1848—1851）纪念碑。

德国克里斯坦文理中学
该校位于汉堡市的阿尔托纳。1895—1904年，外尔就读于此。

德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，1862—1943）
希尔伯特是哥廷根学派的创立者，外尔的博士导师。外尔进入哥廷根大学后，就迷恋上了他的课程与著作。外尔曾这样评价希尔伯特：“他所吹奏的甜蜜的芦笛声，诱惑了许多老鼠追随他跳入数学的深河。”

康德《纯粹理性批判》1781年首版扉页
外尔学识非常广博，不仅痴迷科学，也热爱文艺、哲学。上中学时，他就阅读了康德这部著作。

哥廷根大学旧大礼堂
1904—1908年，外尔在哥廷根与慕尼黑学习数学与物理，并于哥廷根大学取得了博士学位。两年后他取得编外讲师资格，留校任教。

外尔1911年发表在《哥廷根皇家科学会通讯》上的文章《关于特征值的渐近分布》。

加塞特《大众的反叛》英文版目录1913年外尔与第一任妻子海伦妮（Helene）结婚。两人在哲学与文学方面有着共同的爱好。海伦妮是一个翻译家，曾将许多西班牙语的作品译成德文，其中包括加塞特的论著。

苏黎世联邦理工大学夜景
爱因斯坦（A.Einstein，1879—1955）、冯·诺伊曼 （John von Neumann，1903—1957）都毕业于此。1913—1930年，外尔曾在这里的数学系任教，与爱因斯坦是同事。1923年冯·诺伊曼是化学工程系的学生。外尔在苏黎世收获颇多，他的两个儿子出生在此，他本人的研究生涯也在此时达到巅峰。

外尔的长子弗里茨（Fritz J.Weyl，1915—1977）（左）在美国宾夕法尼亚州利哈伊大学弗里茨继承了父亲的才志，也成了一名数学家。

外尔《空间、时间、物质》英文版封面在苏黎世，外尔在1918年出版的《空间、时间、物质》一书中，利用张量分析提出了比爱因斯坦所得更漂亮的广义相对论的表达。

薛定谔（Erwin Schrodinger，1887—1961）
外尔在苏黎世联邦理工大学任教时，与正在苏黎世大学任教的物理学家薛定谔也成了好友。

“一战"中随军拍摄的德军摄制组

1914年，一战"爆发后，外尔曾在德国陆军中短暂服役。

德国数学家克莱因（F. Klein，1849—1925）
克莱因是希尔伯特的同事，正是他们二人制订了雄心勃勃的计划，使哥廷根超过巴黎，成为新的世界数学中心。1923年，外尔受邀接替克莱因的职位，但他拒绝赴任。原因可能是他认为应暂时和希尔伯特保持一定距离。外尔虽才华横溢，内心却缺乏安全感。这不是他第一次拒绝外界的聘请，也不是最后一次。

荷兰阿姆斯特丹大学艺术图书馆

荷兰数学家布劳威尔（L. E.J. Brouwer，1881—1966）对拓扑学和数学基础的研究极有成就。“一战”以后，外尔对数学基础产生了兴趣。他接受了布劳威尔的直观论，这令希尔伯特感到不安。1920年，布劳威尔试图说服外尔等一流数学家前往阿姆斯特丹大学，以建立一个与哥廷根学派相匹敌的数学中心，但外尔拒绝了。

克莱因瓶

设想瓶子底部有一个洞，将瓶子的颈部拉长并加以扭曲，使它进入瓶子内部（在三维空间中这是不能实现的），然后和底部的洞相连接。这就是克莱因提出的不定向拓扑空间，即没有内外之分的空间。

普林斯顿大学秋景
1928—1929年，外尔曾利用假期离开苏黎世，来到普林斯顿大学。这里给他留下了良好的印象。1933年，为了逃离纳粹阴影，他接受了新成立的普林斯顿高等研究院的聘约，成为该院第一批三个研究成员之一（另两人是爱因斯坦和冯·诺伊曼）。

外尔《群论与量子力学》英文版封面
1928年外尔出版了《群论与量子力学》一书，这是一本把群论应用于量子力学的里程碑式著作。

1930年外尔在哥廷根
1930年希尔伯特退休，外尔回到哥廷根接替他的教职。这次回归，外尔经历了几番挣扎。当他回到哥廷根大学时，他说：“我已然回归，因为我不想与青年失去联系，以致晚年渐衰而深陷孤寂。”

外尔的签名

哥廷根大学数学研究所
由洛克菲勒基金会赞助， 1929年12月由希尔伯特和柯朗（R.Courant，1888—1972）建立。在希尔伯特等人的努力下，哥廷根一度成为世界数学中心，聚集了希尔伯特、柯朗、外尔、诺特（E.Noether，1882—1935）、冯·诺伊曼等世界一流数学家，吸引了来自世界各地的优秀数学才子。其中，包括来自中国的曾炯之、朱公谨、魏嗣銮。1933年纳粹驱逐犹太人以后，外尔曾代替柯朗短暂主持过哥廷根数学研究所的工作。

普林斯顿高等研究院

希特勒迫害犹太人时，美国新泽西州普林斯顿高等研究院正在筹建，于是外尔和爱因斯坦都受邀来此。外尔在此工作直到1951年退休。1933年初，考虑到离开德国将会影响他此后的整个人生，外尔一度拒绝了普林斯顿的聘约，但随着政治形势急剧恶化，他最终接受了聘约。外尔等人的到来，使得世界数学中心从哥廷根转移到了普林斯顿。

苏黎世利马特河风光
1948年外尔的妻子海伦妮去世。两年后，外尔与来自苏黎世的艾伦（Ellen）结婚。此后，他们每年都有一半时间在艾伦的家乡度过。1955年12月9日，刚刚过完70岁生日的外尔心脏病突发去世。

晚年的外尔与好友、德国数学家佩施尔（E.Peschl，1906—1986）

普林斯顿公墓
普林斯顿公墓有“美国的威斯敏斯特”之称，这里埋葬了大量美国名人。外尔去世后被火化，1999年其骨灰被安置在普林斯顿公墓，他的次子迈克（Michael）的遗体被安置在同一座龛室内。

彩虹锹和金虹吉丁
大自然到处都有着对称现象。图中的两种甲虫具有明显的双侧对称性。图片选自《甲虫博物馆》（北京大学出版社）。

休伊森手绘蝴蝶
美丽的蝴蝶是对称的典范。图为英国博物画家休伊森手绘的几种蝴蝶，选自《休伊森手绘蝶类图谱》（北京大学出版社）。

仙女座星系
天上的星辰从形状到轨道都呈现出一定的对称性。图片选自《星云世界》（北京大学出版社）。

几何对称的剪秋萝
剪秋萝分开的枝叶和展开的花瓣都呈现出对称的分布。图片选自《美妙的数学》（北京大学出版社）。

海克尔手绘的海鞘
海鞘的对称性令人惊叹大自然的神奇。图为19世纪德国生物学家海克尔手绘的海鞘，选自《自然界的艺术形态》（北京大学出版社）。

水中的倒影倒影看起来是一种生动的对称。图片选自《美妙的数学》。

达芬奇所绘人体结构
人类对于对称的认识离不开自身，人的身体就是一个对称的形体。

古埃及金字塔
人类取法自然，将对称应用于生活中。古埃及金字塔是对称在建筑中的体现。

印度泰姬陵

莫卧儿王朝沙加汗为爱妃建造的泰姬陵呈现出优美的对称感。

古希腊陶瓶
陶器是人类在转轮上用黏土塑造而成，具有明显的对称感。

商代青铜器后母戊鼎（曾名司母戊鼎）
出土于河南安阳武官村，鼎形体稳重、对称，透露出了力量与几何对称的双重美感。

剪纸
中国剪纸是一种充满对称感的艺术品。

展开的图书

图书被设计成左右展开，呈现出一种对称美。

古代波斯地毯

这张公元前400年左右的地毯上的图案呈现出对称的美感。

小提琴乐器的设计本身就有对称美，而琴弦奏出的旋律也具有对称美。

巴赫（J.S.Bach，1685—1750）手稿
巴赫的音乐展现了时空的结构，具有一种对称和谐的美。

巴赫印章图案巴赫的印章也体现了一种对称和谐的美。

埃舍尔（M.C.Escher，1898—1972）画作

埃舍尔的画具有强烈的对称性。他用艺术表现了关于对称与众不同的认识。这幅画中具有对称的三瓣相互间夹着的白色图形也是三瓣，不仅对称，而且循环无穷。

埃舍尔画作

京剧脸谱
物体的反射对称也称镜面对称、左右对称，在平面中即轴对称。中国京剧的脸谱图案、等腰三角形都是一种反射对称。

等腰三角形

（不同颜色是为了视觉上容易辨别而加。）

太极图
中国古代的太极图案是一种中心对称图案。

五角星与五边形除了是反射对称外，还都是五次中心对称图形，即绕中心旋转72°、144°、216°、288°和360°，可旋转五次，均与原图重合。

美国五角大楼是一个五边形。

山西大同北魏时期的云冈石窟窟门框边装饰图案是一种平移对称图案。

平移对称是图形整体平移一段仍与原图重合。

许多树叶的叶脉具有滑动反射对称性。

滑动反射对称或称平移反射对称，是先进行平移，然后形成反射对称。

化学分子中的对称一个由60个碳原子组成的完美对称的足球状分子C60，即富勒烯。图片选自《物理学之美》（北京大学出版社）。

左边这四个多项式是对称多项式，即对X的下标1、2、3、4进行任意置换，所得结果均与原式相等。

正弦定理其中各边a、b、c及对应的角A、B、C变换顺序，并不改变公式整体。

海伦公式用于计算边长为a、b、c的三角形ABC的面积S。其中p和（p-a）（p-b）（p-c）都是关于a、b、c的对称多项式；显然S也是关于a、b、c的对称多项式。

外尔《对称》英文版封面

外尔系统地研究了各种对称的现象。在《对称》一书中，他做出了数学上的总结：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，而数学则是它的根本。”这个作为根本的数学工具就是群，所以，很多数学家说：“对称即群。”

大千世界，丰富多彩的对称现象，其背后的本质究竟是什么？从上面各种对称现象的实例中，可发现在某种操作下具有不变性，这就是对称的本质。使事物保持不变的所有操作在数学上构成了一个集合，数学家称它为群。

德国数学家诺特

艾米·诺特（E.Noether，1882—1935）的研究领域为抽象代数和理论物理。她的诺特定理建立起了对称性与守恒定律之间的本质联系，即体系作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。例如，空间的平移对称性（均匀性）对应于动量守恒；时间的平移对称性（均匀性）对应于能量守恒；空间的旋转对称性（各向同性）对应于角动量守恒。

诺特1915年4月10日寄给费舍尔（E.Fischer，1875—1954）的明信片，上面就写着她讨论抽象数学的话。

1957年诺贝尔奖颁奖现场（前排左一为杨振宁，左二为李政道）对称的影响如此巨大，以至于物理学家普遍认为，宇宙间的四种基本的作用都是对称的，相对应的物理量宇称也都是守恒的。1956年，杨振宁和李政道首先提出了在弱相互作用中一个粒子的镜像与其本身的性质并不一定完全相同，即宇称不守恒。为此他们荣获了1957年诺贝尔物理学奖。

吴健雄在哥伦比亚大学实验室内正是她巧妙的实验证实了弱相互作用下宇称不守恒。