一、双侧对称性
Part Ⅰ Bilateral Symmetry

天平具有双侧对称性，即左和右的对称性。这种对称性在高等动物（尤其是人体）结构中是很明显的。

——外尔

如果我没有搞错的话，对称性一词在日常用语中有两种含义。一种含义是，对称的（symmetric）即意味着是非常匀称和协调的；而对称性（symmetry）则表示结合成整体的好几部分之间所具有的那种和谐性。优美（beauty）是与对称性紧密相关的，例如波利克莱托斯（Polykleitos）^[1]（写过一本论述匀称的书，其雕塑作品之和谐完美也深为古希腊人所称颂）就用过这一字眼，而后来丢勒（Albrecht Dürer，1471—1528）^[2]仿效他为人体形态的比例制定了一套标准。〔1〕就此意义来说，对称性涉及的范围绝不只限于空间中的物体。当用于声学和音乐，而不是几何对象时，它的同义词“和谐”（harmony）更能说明情况。德语中的Ebenmass一词很能表达希腊语中对称性的意思。因为像后者一样，它也有“中庸程度”这一含义，根据亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）^[3]的《伦理学》（Nicomachean Ethics），这是有贤德的人在其行动中应予追求之美德。而盖仑（Galen，约129—200）^[4]在他的《论气质》（De temperamentis）一书中把它描述为一种与两个极端都等距的心灵境界。

天平的形象使我们能自然地联系到对称一词的第二种含义（这是近代使用对称这词所指的意思）。天平具有双侧对称性，即左和右的对称性。这种对称性在高等动物（尤其是人体）结构中是很明显的。现在这一双侧对称性是一个严格的几何概念，它不同于前面讨论过的那种含混的对称观念，是一个绝对精确的概念。一个物体，即一个空间构形，如果在关于给定平面E的反射下变成其自身，我们就说它关于E是对称的（图1）。取垂直于E的任意直线l以及l上的任意一点p，那么此时在l上（在E的另一侧）就存在一点p'（且只存在一点p '）与E有同样的距离。仅当p在E上，点p'才与p重合。关于E的反射是空间到其自身上的映射（mapping）S： p-p'，这一映射把任意点p变为它关于E的镜像p'。每当确立了一个规则，而由此规则每一点p都有一个像p'与之对应，这就定义了一个映射。再举一个例子： 例如绕一垂直轴旋转30°，这一旋转将空间的每一个点p变为另一点p'，因此也定义了一个映射。如果图形在绕轴l的所有旋转下，仍变为其自身，那么我们就称该图形关于轴l有旋转对称性（rotational symmetry）。这样，双侧对称性就作为几何对称性的第一实例出现了，几何对称性针对诸如反射和旋转那样的操作。

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—前500）^[5]学派认为，平面中的圆周、空间中的球面是最完美的几何图形，因为它们有着全部的旋转对称性。而亚里士多德认定天体是球形的，因为任何其他图形都会有损于它们作为天国的完美性。正是承袭了这一传统，在一首近代诗中^〔2〕，上帝被赞誉为“汝，伟大的对称”：

伟哉对称是上帝，

爱欲深激于吾身，

悲情同时油然生。

年华虚度日复日，

皆因方式失匀称，

祈乞赐吾完美形。

不管你把对称性定义得是宽还是窄，它一直都是人们长时期以来用以理解和建立秩序（order）、优美（beauty）和完满（perfection）的一种概念。

我的讲演安排如下： 首先我将较为详尽地讨论双侧对称性和它在有机界和无机界以及艺术中的作用。然后将按我们关于旋转对称性的例子所表明的方向，逐渐推广这一概念。即首先局限在几何的范围中讨论，接着通过数学抽象过程来超越这一限界，沿着这一条道路最终使我们能得到一个非常一般性的数学概念，这可以说是在对称性的所有个别表现和应用背后的柏拉图（Plato，公元前427—前347）^[6]式的观念。在某种程度上来说，这种做法具有所有理论认识的共有特征：我们从某个一般而又含混的原则（第一种意义下的对称性）开始，然后去寻找一个重要的实例，在其中我们的概念会有一个具体而精确的意义（双侧对称性），并且由此出发，主要依靠数学构造和抽象的指引（比受哲学幻想的指导要多得多），再逐渐地上升为一般性。而且，如果幸运的话，我们最终得到的概念的普适性将不会比我们原始的那个概念差。也许此时情感上的吸引力已丧失殆尽，但是这种概念在思维的领域中却具有同样的，甚至是更强的统一力量，而且它是精确无误的，而不再是含混不清的。

我们从欣赏“祈祷的男孩”（图2），一座公元前4世纪的高雅的希腊雕像、艺术上的上乘之作，开始讨论双侧对称性，并以此作为一个象征让你感受到此种对称性在生命和艺术中所具有的巨大意义。人们可能会问，对称性的美学价值是否是由其生命力价值所决定的： 这位雕塑家是否发现了大自然根据某种内在的法则赋予其创造物以对称性，然后再复制和完善大自然以不完整的形式所呈现出来的那种对称性？抑或对称性的美学价值有其完全独立的根源？我和柏拉图有同感，认为数学概念是上述两者的共同起源： 支配着大自然的数学定律是自然界中对称性的起源，而这一概念在这位艺术家创造性的头脑中所形成的直觉形象是其艺术起源；虽说我也乐于承认，在艺术中，人体外表所具有的那种双侧对称性已经起着一种附加的激励我们情感的作用。

在所有古代的种族中，似乎苏美尔（Sumer）^[7]人特别酷爱严格的双侧对称性或纹章对称性（heraldic symmetry）。公元前2700年前后统治拉格什城（Lagash）^[8]的恩泰梅纳王（King Entemeha）有一只著名的银花瓶，上面镌刻有下列典型的图案： 一只狮面鹰正面展开双翅，它的两只爪子都抓住一只侧面的牡鹿，而后者又各受到一只雄狮的正面攻击（图3，上图中的牡鹿，在下图中为山羊所替代）。把鹰的精确对称性推广到图中别的四足兽，显然迫使它们非得重复不可。不久之后，鹰有了两个头，各朝不同的方向。于是，形式上的对称性原则完全压倒了忠于自然的模仿原则。这种纹章设计随后由波斯、叙利亚仿效，后来又有拜占庭（Byzantium）^[9]。而且凡是在第一次世界大战之前生活过的人都会记得沙皇俄国和奥匈帝国的盾形纹章上的那只双头鹰。

我们现在来看这一幅苏美尔人的图画（图4）。其中的两个鹰头人几乎对称，又不完全对称。为什么并不完全对称呢？在平面几何中，关于一垂直线l的反射也可以通过把此平面绕轴l在空间中旋转180°而得到。如果你们看这两个怪物的手臂，你们大概都会说，就是通过这一旋转，使我们能从其中的任一个得到另一个的。然而，描述它们在空间中位置的那些重叠部分，却使这一平面图形不具有双侧对称性了。但是艺术家就是追求这一对称性，他使这两个怪物各朝着观察者转过了半圈，同时也在足和翅膀的安排上玩了些花样： 在左边的图案中下垂的一翼为右翼，而在右边的图案中下垂的一翼为左翼。

巴比伦的圆柱形印章石上的图案设计，经常是采用纹章对称的。我记得在我以前的同事，已故的赫茨菲尔德（Ernst Herzfeld）的收藏中，我曾看到过一些珍品。在这些珍品中，为了对称性的缘故，由侧面给出的并不是一个神的两个头而是双重的身体下半部，这部分有着牛的样子，因此有四条后腿，而不是两条。在基督时代，人们在表现圣餐的某些场面中也能看到类似的情况。例如，在一只拜占庭风格的圣餐盘（图5）上就有两个面对着信徒的对称的基督。但是，这里的对称性是不完全的，而且显然要比其拘泥于形式上的含义有更多的内涵，因为一边的基督在分面包，而另一边的基督则在斟酒。

让我们在苏美尔和拜占庭之间再插入波斯。这些珐琅质的斯芬克司（Sphinx）^[10]（图6）取自马拉松长跑全盛时期建于苏萨（Susa）^[11]的大流士（Darius）^[12]王宫。越过爱琴海，在希腊的青铜时代的晚期，公元前1200年左右，我们在梯林（Tiryns）^[13]的迈加龙（Megaron）^[14]内找到了如图7所示的地板图案。如果你坚信历史的连续性和相依性，那么你就能把海洋生物（海豚和章鱼）的优美图案追溯到克里特岛的米诺斯文化^[15]，而纹章对称性可追溯到东方的影响（我们前面的例子则受苏美尔的影响）。越过了数千年，从公元11世纪意大利托尔塞洛（Torcello）^[16]拱顶建筑内的圣坛围栏饰板（图8）里，我们仍能看到同样的影响在起着作用。两只雄孔雀从葡萄树叶环抱的一口松木井中饮水，这是古基督时的不朽性的象征，其结构上的纹章对称性是东方特有的。

与东方艺术形成对照的西方艺术，如同生活本身一样，倾向于降低、放宽、修改，甚至破坏严格的对称。但是，不对称（asymmetry）只在罕见的情况下才等于没有对称。甚至在不对称的图像中，人们仍感觉到对称是一个准则，依此准则人们在一种要实现不匀称性质的推动力的支配下再偏离开它。我想这张取自科尔内托（Corneto）的特里克利尼姆（Triclinium）的著名的伊特鲁里亚人^[17]墓中的骑士图（图9）是很能说明问题的。前面，我已经提到过两个基督在圣餐中分发面包和斟酒的那种表现手法。在西西里岛蒙雷阿莱（Monreale）大教堂的那幅12世纪的镶嵌图《基督升天》（图10）中，玛利亚以及她两侧的两个天使的这一组主像几乎具有完美的对称性（镶嵌图上面和下面的镶带装饰，我们将在下一讲中讨论。）我们从拉文纳（Ravenna）^[18]的圣阿波里奈尔（San Apollinare）教堂^[19]内选了一幅更早期的镶嵌图（图11）： 基督由一群天使仪仗队围着，在这里对称原则就不再那么严格地遵守了。例如，在蒙雷阿莱大教堂的那幅镶嵌图中，玛利亚站立着，对称地伸出双手，两手分开手指向上，呈祈祷姿势；而基督在这里仅举起了右手。在下面一幅图（图12）中，不对称的地方就更多了。这是威尼斯的圣马可（San Marco）教堂^[20]内的一幅拜占庭风格的浮雕圣像。这是一组以基督、圣母玛利亚和圣约翰为主题的雕像： 当基督快要被宣布最后审判时，两旁的圣者正在祷告，祈求宽恕。当然他俩是不会互相构成镜像的；因为站在基督右边的是圣母玛利亚，而左边的则是施洗礼者约翰。你们也会联想到对称性破缺的另一个例子： 在耶稣被钉死在十字架上时，玛利亚和传福音者约翰站在十字架两旁的那一情景。

在这里我们显然触及了实质问题： 有关双侧对称性的精确几何概念开始化为Ausgewogenheit^[21]的，即我们开始时用的均衡图案所表示的那种含混概念。弗赖（Dagobert Frey）在“艺术中的对称性问题”^〔3〕一文中指出： “对称意味着静止和约束，不对称意味着运动和松弛；前者有秩序和规律，后者却任意和偶然；前者拘于形式上的刻板和约束，而后者有生气、有变化和有自由。”当把上帝或基督作为一种永恒的真理或正义的象征时，人们总是用对称的前视图来描绘他们的，而不采用侧面的形象。公共建筑以及礼拜堂，不管它们是希腊的寺院，还是基督教的长方形教堂和大教堂，都是双侧对称的，这也许是出于同样的原因。然而，有两个不同塔楼的哥特式大教堂[例如沙特尔（Chartres）^[22]大教堂]确实也不少见。但是，大凡发生这种实际情况时，我们似乎都能在该教堂的历史背景中找出原因： 即这两座塔楼是在不同时期建造的，人们在后期对早期的设计不再满意了，这是可以理解的。因此，我们在这里可以把它称为有历史起因的不对称性。在有镜面（不管这是反射自然景色的湖面，还是妇女梳妆用的玻璃镜子）的地方，便有镜像出现。画家和大自然都利用这一主题。我想你们一定会很容易回想起一些例子来。我最熟悉的是贺德勒（Hodler，1853—1918）^[23]的那幅画《席尔瓦普拉那湖》（Lake of Silvaplana），因为我在书房中天天欣赏它。

在我们快要从艺术领域转向自然界以前，让我们再耽搁几分钟先来考虑一下人们所谓的左和右的数学哲理是什么。对于有科学头脑的人来说，左和右之间并不存在，举例来说，像动物的雌和雄之间或前和后两端之间的那种内在的差异和截然的相反性。需要有一个人为的选择才能确定什么是左、什么是右。但是，一旦对某一个对象作了这样的选择之后，其他对象的左和右也就随之确定了。我还要把这一点尽量说清楚一些。在空间中，左和右的区别是与螺旋的转向有关的。如果你说到向左旋转，那你指的是： 你的旋转方向以及在你身上从足到头的朝上的方向两者结合起来组成一个左螺旋。^[24]地球绕其自南极到北极为正方向的轴作周日自转是一个左螺旋。如果把该轴的方向颠倒一下，它则变为一个右螺旋。某些被称为具有旋光性的结晶物质，通过它们的偏振光的偏振面会向左旋转或者向右旋转，这就暴露了它们内在结构上存在着不对称性。当然，这里我们指的是，偏振面的旋转方向与光的确定的传播方向组成一个左螺旋（或一个右螺旋，视情况而定）。因此，刚才我们说到左右之间没有内在的差异，以及现在再用莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）^[25]的术语——左和右是不可区分的——重复一下的时候，我们所想表达的意思是：空间的内在结构使我们（除了作为人为的规定外）不能把一个左螺旋和一个右螺旋区分开来。

我想把这一基本概念再讲得清楚一些，因为整个相对性（它只不过是对称性的另一方面）理论是建立在这一概念上的。依照欧几里得（Euclid，约公元前330—前275）^[26]的做法，我们可以用点之间的一系列基本关系来描述空间的结构，诸如ABC位于一直线上，ABCD位于一平面中，AB与CD叠合等（图13）。描述空间结构的最佳方法也许是亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz，1821—1894）^[27]所采用的方法：只用图形叠合（congruence）这个概念。空间的一个映射S对其中每一点p给出它的象点p'： p→p'。一对映射S，S'： p→p'，p'→p，若其中一个是另一个的逆映射（即S将p映为p'，而S'将p'映回到p，反之亦然），则我们把它们称为一双一对一的映射或变换（transformations）。数学家把能保持空间结构的变换——如果我们按亥姆霍兹的方式来定义空间的结构，这就意味着该变换将任意两个叠合图形映为两个叠合图形——称为自同构（automorphism）。莱布尼茨早已清楚地认识到，这是相似性（similarity）这一几何概念所依据的思想。自同构将一个图形映为另一个图形，用莱布尼茨的话来说，就是： “如果把这两个图形各自单独考虑的话，那么后者与前者是不可区分的。”于是，我们说左和右实质上是相同的，指的就是下列事实： 平面中的反射是一个自同构。

空间本身是用几何学来研究的。但是，空间也是所有物理现象发生的场所。物理世界的结构是由自然界的一般规律揭示的，而这些规律又是借助于某些作为空间和时间函数的基本量用公式来表达的。如果这些规律在反射下并不是完全不变的话，那么用一种比喻性的说法，我们就可以断言： 空间的物理结构“包含一个螺旋”。如果把一个磁针与一根载有确定方向的电流的通电导线平行悬挂（图14），那么磁针就会以一定的方向（向左或向右）偏转。

马赫（Ernst Mach，1838—1916）^[28]说过，当他在少年时代得知这一事实时，他理智上受到了极大的震惊。既然整个几何和物理的组态包括电流以及磁针的南北两极在内，就外表看来对于通过导线和磁针的平面E是对称的，那么磁针就应像处于两堆相同的干草之间的布里丹（J.Buridan）的驴子^[29]那样，拒绝在左和右之间做出选择；犹如两侧有相同重量的等臂天平，既不向左倾斜也不向右倾斜，而只保持水平。但是，外表有时是有欺骗性的（appearances are some times deceptive）。少年马赫的困惑在于，他对电流以及磁针的南北两极在关于E的反射下的结果下了过于仓促的结论： 尽管我们可由演绎知道几何量在反射下的变化如何，但是我们只能通过自然界才能确认物理量在反射下的行为如何。对此，我们所发现的情况是： 在关于E的反射下，电流的方向不变，而南北磁极却互换了。这一办法使我们重新确定了左和右的等价性。当然这一出路之所以可行，只是因为两个磁极在本质上是一样的。当人们查明磁针的磁性是起源于绕磁针方向环流的分子电流以后，一切疑云都驱散了；在关于平面E的反射下，这种电流显然改变了它们的流动方向。

因此，最终的结果就是： 在全部的物理学中，没有任何迹象表明在左和右之间存在着内在的差异。^[30]正如空间中的所有点和所有方向都是等价的，左和右也是等价的。位置、方向、左右都是相对的概念。有关相对性（relativity）的这一问题，莱布尼茨和充当牛顿（Newton）代言人的克拉克（Clarke）牧师在一次著名的论战中曾以带有神学色彩的语言充分辩论过。^〔4〕信赖绝对空间和时间的牛顿认为，运动证明了万物是由上帝凭意旨创造的；否则的话，物质为什么会沿着这个方向运动，而不是沿着任一其他方向运动这一问题就难以解释了。莱布尼茨不喜欢把这些缺乏“充分理由”的决定压在上帝身上。他说： “在空间是某种独立存在的东西的假定下，就不可能给出一个理由来说明上帝为何（在不搞乱它们彼此之间的距离和相对位置的前提下）把这些天体恰好放在这些特别的位置上，而不是放在另一些地方；例如，为何上帝不颠倒一下东和西，把所有的物体以相反的次序排列出来？另一方面，如果空间只不过是事物之间的空间上的次序和关系，那么上面所想象的两种状态（实际上的，及由其颠倒而产生的）就绝不会彼此有所不同……所以，询问为什么一个状态要比另一个状态更为优先，这个问题就变得完全不可接受了。”康德（Kant，1724—1804）^[31]深入思考了左和右的问题，第一个得出了把空间和时间作为直觉形式的观念。^〔5〕康德的见解大致如下： 如果上帝的最初造物行动是造了一个左手，那么这只手就是在没有对象与之相比的那一时期也具有左手的特征。这种特征只能在直觉上领悟，而永远不能从概念上理解。莱布尼茨持有不同见解： 如果上帝先造一只“右”手，而不是一只“左”手，那么依他看来，那应是没有区别的。人们必须再进一步跟随创世过程，直到有差异产生。假如上帝不是先造一只左手，然后再造一只右手，而是开始先造一只右手，接着再造一只右手，那么此时因为产生了一只与先前造的品种有相同取向，而不是相反取向的手，上帝就在他的第二次造物行动中（而不是在第一次行动中）改变了他的创世计划。

科学思维（scientific thinking）是站在莱布尼茨一边的，而想象思维（mythical thinking）却总是持相反观点的： 把右和左作为诸如善与恶这样一些极端对立面的象征时，就表明了这一点。想象一下“right”^[32]一词本身就有两种意义，也就足以说明问题了。图15是米开朗琪罗（Michelangelo，1475—1564）^[33]在西斯廷教堂天花板所做的著名天顶画《上帝创造亚当》（Creation of Adam）中的一个细部。画中上帝的右手在右边接触到亚当的左手，并给予亚当以生命。

人们用右手握手。sinister^[34]一词的拉丁语词源有“左边的”意思。在纹章学中，人们提到盾形徽章的左边时，仍用这一词来表达。但是sinistrum^[35]同时也指邪恶的东西，在通常的英语中，只有这一拉丁词的这一个比喻含义还幸存着。^〔6〕与耶稣一起钉死在十字架上的两个歹徒中，只有钉在耶稣右边的那个才与耶稣一起升天去了天国。《马太福音》第25章中是这样叙述最后审判的： “（他）把绵羊安置在右边，山羊在左边。于是王要向那右边的说： ‘你们这蒙我父赐福的，可来承受那创世以来为你们所预备的国。’……王又要向那左边的说： ‘你们这些被诅咒的人，离开我！进入那为魔鬼和他的使者所预备的永火里去！’”

我记得沃尔夫林（Heinrich Wlfflin）在苏黎世作的一次有关“绘画中的右和左”的讲演。这一报告经缩减后，与他的另一篇论文“拉斐尔^[36]壁毯底稿中的倒置问题”[The problem of inversion（Umkehrung） in Raphael’s tapistry cartoons]一起刊载在1941年出版的他的《艺术史沉思录》（Gedanken zur Kunstgeschichte）一书中。沃尔夫林在举了一些例子，如拉斐尔的《西斯廷圣母》（Sistine Madonna）和伦勃朗（Rembrandt，1606—1669）^[37]的蚀刻画《三棵树》（Landscape with the three trees）后，企图表现绘画中的右不同于左，是另有一种心情上的价值（stimmungswert）的。几乎所有的复制方法都互换左和右，对于这种倒置，看来我们现在要比以前敏感得多。[就连伦勃朗都毫不踌躇地把左右颠倒了的蚀刻画《基督移下十字架》（Descent from the Cross）投放市场。]考虑到我们要比，譬如说16世纪的人们多读了一些书，这就可以提出下列假设： 沃尔夫林所指出的差别是与我们从左到右的阅读习惯有关的。据我的回忆，他本人是不同意这一解释的，也不同意人们在他的讲演后的讨论中所做的许多其他心理上的解释。所刊印出的演讲全文是以下列评述作为结束的： 这问题“显然有其深刻的根源，一直可追溯深入我们感官方面的本性的那一根本点上”。就我而言，我倒并不愿意如此严肃地看待这个问题。^〔7〕

下面我们马上就要提到某些生物学事实，在这些现象中所显示出来的左右不等价性，看来比震惊少年马赫的磁针偏转还要强得多。尽管如此，在科学中我们还一直坚持着左右等价的信念。关于过去和未来（倒转时间的方向就能将它们互换），以及关于正电荷和负电荷，同样也有着等价性的这一问题。与左右等价性相比，在这些情况中，尤其是在上述第二种情况中，也许能使我们更加清楚这一点： 先验证据（a priori evidence）不足以解答这一问题，而必须查考一些经验事实（empirical facts）。诚然，过去和未来在我们意识中所起的作用应表明它们之间有着内在的差别——过去可知，且不可改变；而未来未知，且可由现在所采取的措施而改变，因而人们也指望这一区别在自然界的物理定律中有其根源。但是，那些我们可以合乎情理地自诩为确知的定律，如同在左和右的互换下是不变的一样，它们在时间反演下也是不变的。莱布尼茨把这一点搞清楚了： 时间方式上（temporal modi）的过去和未来的进程是与世界的因果结构（causal structure）有关的。即使对于由量子物理学所系统阐述的精确的“波动定律”，在时间的倒流下也并不改变，但是关于因果性（causation）的这一形而上（metaphysics）概念，以及与之有关的时间单向特征，则可以借助于概率和粒子的概念，通过对这些定律的统计解释而进入物理学。我们目前所具有的物理学知识使我们对于正、负电荷的等价性或不等价性更难以确定了。要想提出正、负电荷在内禀上就不一致的物理定律看来是困难的；再则与带正电的质子相配对的负电粒子^[38]还有待于发现。

我们扯开去作了这些半哲理性的论述；但是为了给讨论自然界中的左右对称性（left-right symmetry）奠定基础，这还是有必要的；我们必须懂得自然界总的构造具有这种对称性。但是，我们也不能期望自然界中的任意特定物体都是完美地具有这种对称性。虽则如此，它那种普遍存在的程度着实是令人惊奇的。这必定是事出有因的，而且其原因也不难找到：平衡状态很可能是对称的。更精确地说，在能确定一个唯一的平衡状态的种种条件下，这些条件的对称性必定转移到该平衡状态中去。所以网球和星球都是球形的；如果地球不绕轴自转的话，它也将是一个球体。自转使得地球在两极处变得平坦了，不过关于此轴的旋转对称性或柱对称性则仍保持了下来。所以，需要解释的特征就不是地球形状的旋转对称性，而是对此对称性的偏离，例如像陆地和海域的不规则分布及其表面上山峦的细微皱褶所展示的。正是由于这种原因，路德维希（Wilhelm Ludwig）在他关于动物学中左右问题的专著中，几乎对在从棘皮动物起向上进化的动物界里所普遍具有的双侧对称性的起源只字不提，却洋洋大观地讨论了叠加在这一对称性背景上的种种次要的不对称性。^〔8〕让我们来引用他的一段话吧：“人体像其他脊椎动物一样基本上也是按双侧对称性原则长成的。所有不对称的出现都是次要的特征，并且影响内部器官的较为重要的不对称主要是由于肠道表面的必要增加，出现了与身体的生长不合比例而造成的，肠道长度的增加就引起了不对称的折叠和回盘。而且在种系发生的进化过程中，这些与肠道系统及其附属器官有关的最初的不对称性就带来了其他器官系统的不对称性。”大家知道，哺乳动物的心脏像一个不对称的螺丝，这在图16中已粗略地显示出来了。

假如大自然都是遵循法则的，那么其中的每一个现象都将分享由相对性理论（theory of relativity）所表述的自然界普遍法则的完全对称性。然而情况却并非如此。光是这一点就证明了偶然性（contingency）是这个大千世界的一个根本特征。克拉克在与莱布尼茨的论战中承认后者的充分理由原则，但添加了一句： 充分理由常常只不过就是上帝的意志。我认为，莱布尼茨在这里作为一个唯理论者（rationalist）是肯定错了的，而克拉克倒是对头的。与其让上帝对世间的所有荒唐事负责，还不如全然否定充分理由原则倒更为诚心诚意一些。另一方面，莱布尼茨以他对相对性原理的真知灼见批驳了牛顿和克拉克。当今我们对这个问题的认识是：自然界的法则并不能唯一的决定这一实际存在着的宇宙，甚至我们退一步把由一个自同构变换（即保持自然界的普遍法则的变换）产生的两个宇宙看成是同一宇宙也不行。

对于一团物质来说，如果其为自然法则所固有的全部对称性只受到它在现在什么位置P上的偶然因素所限制，那么它就会以一个球形（以P为中心）出现。因此，那些最低等动物，即那些悬浮在水中的小生物，大体上都是呈球形的。对于那些固定生活在海洋底部的动物的形状来说，重力的方向就是一个重要的因素，它把对称性运作的范围从环绕中心P的所有旋转缩小为绕一根轴的所有旋转。但是，对于那些在水中、天空中或陆地上能自己运动的动物来说，它们的身体从后向前移动的方向以及重力的方向，此时都具有决定性的影响。在前后轴、背腹轴和由此而来的左右轴决定了以后，仅仅只有左、右之间的区别还保持任意，在这一阶段就不能指望有比双侧型更高的对称性了。系统发育进化中那些导致在左与右之间引入可遗传的差别的因素，很可能为来源于动物运动器官（纤毛、肌肉以及肢翼）的双侧对称结构的优点所牵制；万一这些器官的发育是不对称的，那自然会产生螺旋状的运动，而不能直向前了。这也许有助于解释为何我们的四肢要比我们的内脏更严格地遵守对称性法则（law of symmetry）。柏拉图的《会饮篇》（Symposium）一书中的阿里斯托芬（Aristophanes，约公元前446—前385）^[39]讲过一个球形如何会过渡到双侧对称性的奇特故事。他说，人类原先是球形的，他们的背和各侧面构成一个球面。宙斯（Zeus）^[40]为了使他们不能再那么傲慢自得和趾高气扬，便把他们一剖为二，并叫阿波罗（Apollo）^[41]把他们的脸和生殖器转换方向。宙斯并威胁地说： “如果他们继续目空一切的话，我就要再次把他们劈开，使他们只能用一只脚去跳。”

在无机界中，最为引人注目的对称性例子要数晶体了。气态和晶态是物质存在的两个泾渭分明的状态，物理学家们发现，解释它们相对来说是容易的。而在这两个极端之间的状态，如液态和可塑态，就有点不那么顺从理论了。在气态中，分子自由地在空间中运动，彼此的位置和速度互不影响，也无规则。而在晶态中，原子在其平衡位置附近振动，好像它们彼此间有着弹性弦连接似的。这些平衡位置在空间中构成了一个有规则的固定构形。这里“有规则的”指的是什么，以及如何从有规则的原子排列推出晶体的可见对称性，我们将在后面的一讲中说明。虽然对于32个几何上可能的晶（体对称性）类来说，它们中的大多数都包含双侧对称性，但是也并非它们全都包含这种对称性。当该晶类不含双侧对称性时，我们就可能有所谓的对映晶体（enantiomorph crystals），它们以左旋形式（laevo-form）和右旋形式（dextro-form）存在，其中任一种是另一种的镜像，正像左手和右手的关系那样。我们可以料想具有旋光性的物质（即可以将光偏振面向左或向右旋转的物质）是以这些不对称形式结晶的。如果在自然界中存在某种左旋形式，那么人们就会假定其右旋形式也同样存在着，而且平均来说，两者出现的频率也是一样的。1848年，巴斯德（Louis Pasteur，1822—1895）^[42]发现，当无旋光性的外消旋酒石酸的铵钠盐（sodium ammonlumsalt）在较低温度下从水溶液中再结晶时，其沉积物是由两种互为镜像的微小晶体组成的。巴斯德仔细地把它们分开来，并且证明了由它们各自制备的两种酸与外消旋酒石酸都有同样的化学成分，但是其中一种是左旋光性的，而另一种是右旋光性的。巴斯德又发现后者与葡萄发酵时所产生的酒石酸是完全一致的，而前者在此以前在自然界中从未被发现过。耶格在他的演讲“关于对称原理及其在自然科学中的应用”中说： “就科学发现而论，要比巴斯德的这个发现具有更深远意义的，并不多见。”

十分明显，一些难以控制的偶然因素决定了在该溶液中的某一处形成的是左旋晶体还是右旋晶体。这样，在结晶过程中的任何时刻，以一种形式沉淀的物质的量与以另一种形式沉淀的物质的量是相等的，或非常接近相等的；这就与整个溶液的对称性特征，无旋光性特性以及与偶然性规律（law of chance）都相一致了。另一方面，大自然赐予我们的这一大为诺亚（Noah）^[43]所赞赏的奇妙礼物——葡萄，却只能产生其中的一种形式，而另一种形式还要有待于巴斯德去创造！这确实是极为奇妙的。事实上，自然界中存在的大量含碳化合物，大多数仅是以一种（左旋或右旋）形式出现的。蜗牛壳的缠绕方向是一种可遗传的特征，是有其遗传学上的机制的，而人类（Homo sapiens（“心脏偏左”以及肠道的回盘方向也是这样的。这并不排除出现倒置，例如人肠的左右易位（situs inversus）约以百分之0.02的比率出现。我们下面还要回到这一点上来！我们人体更深层次的化学组成还表明，人体也有一个螺旋，一个对于所有人来说旋绕方向都相同的螺旋。因此，人体含有右旋形式的葡萄糖以及左旋形式的果糖。在这一基因型上的不对称性将可怕的表现为一种称之为苯酮尿的代谢病，并导致精神病。这种病人当摄入少量左旋苯基丙氨酸后，就会痉挛。但摄入右旋形式却没有这种灾难性的结果。我们必须把巴斯德通过细菌、霉菌、酵母及其他的酶的作用而成功地分离出物质的左旋形式和右旋形式的方法，归功于活的生物体具有不对称的化学构成。由此，他发现某种原来无旋光性的外消旋酒石酸盐溶液，如果在其中长着灰绿青霉（Penicillium glaucum）的话，那么它就会逐渐变成左旋光性。显然，灰绿青霉选取了最适合其不对称化学结构的那种形式的酒石酸分子作为它的食物。于是人们就用锁和钥匙的形象化关系来比喻生物体的这种特异性（specificity）作用。

鉴于上面所说过的一些情况，以及企图仅通过化学的手段把无旋光性的物质“激活”的所有尝试都失败了^〔9〕，这就可以理解巴斯德为何要坚持产生出独一无二的旋光化合物的权利正是生命所特有的这一见解。1860年，巴斯德写道： “这也许是眼下在死物质与活物质的化学之间所仅能划出的一条明确的分界线。”巴斯德试图解释的正是他最初做过的那个实验： 由于空气中的细菌对中性溶液的作用，外消旋酒石酸通过再结晶（recrystallization）变为左旋酒石酸和右旋酒石酸的混合物。今天看来，他肯定是错了。符合实际的物理解释是，在较低的温度下，有两种相反旋光性的酒石酸的混合物要比无旋光性的外消旋形式更为稳定。如果在生和死之间存在一个原则性的区别，那么这个区别并不在于物质基质的化学层次上。自1828年维勒（Friedrich Whler，1800—1882）^[44]用纯粹的无机物质合成尿素以来，这一点已是确凿无疑的了。但是迟至1898年，雅普（F.R.Japp）在不列颠协会（British Association）所做的题为“立体化学和活力论”这一著名的讲演中还持有巴斯德的观点，只是表述不同而已。他说： “只有有生命的有机体，或者具有对称性概念的生物的智力才能产生这种结果（即不对称化合物）。”在这里他实际所指的是否就是巴斯德的智力，这种智力通过设计那个实验，创造了那双重的酒石酸晶体，而这又大大地震惊了其本身？雅普继续说： “只有不对称性才能产生不对称性。”这一论点的真实性，我是乐意接受的。但是，这种说法却几乎没有什么裨益，因为就产生未来世界的这一现实世界来说，在其偶然的过去和现在的结构中是没有对称性的。

然而，这就有了一个实际的困难： 在这么多的对映形式中，为什么大自然只会产生这两种成对构形中的一种，而它们又确凿无疑地起源于有生命的有机体之中？约尔当（Pascual Jordan）把这一事实作为他的下述观点的一种支持： 生命不是由一些一旦达到某一进化阶段就易于（一会儿在这儿，一会儿在那儿）连续发生的偶然事件开始的。更确切地说，是由一种以性质十分奇特并且不大可能发生的事件开始的，一旦它出乎意料地发生后，就由自催化作用的倍增而蜂拥而来。事实上，如果在植物和动物上发现的不对称蛋白质分子，在不同时间和不同地点各有其独立的起源，那么它们的左旋品种和右旋品种应显示出有几乎同样的丰度。这样，有关亚当和夏娃^[45]的传说好像就有些真实性了，如果对于人类的起源这并不正确，那么关于原始生命形式的起源就应是这样。正是参照了这些生物学事实，我在前面才说： 就其表面价值而言，它们暗示了左和右之间有一个内在的差异，至少就有机界的构成而言确实是如此。但是也许我们有把握的是，我们这个闷葫芦的解答并不会由任何一些普适的生物学定律给出，而是取决于生物世界创世的一些偶然事件。约尔当指出了一条出路；但是，人们希望找到一条并不那么激进的出路，例如把地球上栖居者的不对称性，归结为某种虽是偶然的，却是地球本身固有的不对称性，或者是地球上获得的阳光的不对称性。然而，不管是地球的自转还是地球和太阳的合成磁场，对此均无直接帮助。可以设想有另一种可能性： 发展实际上是从各对映形式的一个等量分布开始的，但这是一个不稳定平衡，只要有一个微小的偶然扰动，这一平衡就会被打破。

现在让我们从有关左和右的种系发生问题（phylogenetic problems）最后转到它们的个体发育（ontogenesis）上来吧。这里有如下两个问题：一个动物的一个受精卵在第一次分裂为两个细胞后是否就固定了正中面（median plane），从而使得其中的一个细胞含有发育成左半面的潜力，而另一个细胞含有发育成右半面的潜力？另一个问题是，是什么决定了第一次分裂的这个平面？我们从第二个问题着手来讨论。原生动物门以上的任何动物的卵从一开始就具有一根极轴，它连接能发育成囊胚的动物极和植物极的那两部分。这一轴连同使精子进入该卵而受精的那一点，共同确定了一个平面，而且假定这就是第一次分裂的平面倒是十分自然的。事实上，有证据表明在许多情况中确实是这样的。当前的看法似乎倾向于假定，最初的极性以及随后的双侧对称性是通过外界的因素，使遗传结构中固有的潜在可能性得以实现而产生的。在许多例子中，极轴的方向显然是由卵母（oozyte）细胞在卵巢内壁的附着确定的，而且正如我们前面所说过的，使精子进入卵而受精的那一点，至少是确定正中面的一个因素，而且常常是最有决定意义的一个因素。然而，也总还有一些其他的动因，对于这样或那样的方向的确定起着作用。对于墨角藻（Fucus）这一类海藻而言，光或电场或化学梯度决定了极轴，而在某些昆虫和头足纲动物中，正中面似乎是在受精以前由卵巢的影响确定的。^〔10〕关于这些动因能赖以起作用的基础背景，一些生物学家现在正在从我们至今尚未有清晰图像的预先形成的基本内部结构中去寻找。因而康克林（Conklin）谈到了海绵质框架，而其他人提到了细胞骨架，而且正如现在的生物化学家中间有一种把结构性质归结为纤维的强烈倾向，以致李约瑟（Joseph Needham）在1936年所做的关于“秩序与生命（Order and Life）的特里讲座（Terry Lectures）中敢于说出了这样的警句： 生物学主要是纤维的研究。人们可以期望他们发现卵的基本结构，或是由伸长的蛋白质分子的框架组成的，或是由液晶组成的。

关于我们的第一个问题，即细胞的第一次有丝分裂是否把细胞分成左和右两部分那个问题，我们知道得略为多一些。因为双侧对称性是如此基本的一种特性，以致我们似乎有足够的理由去假设情况确实如此。可是，对于这一回答我们并不能予以无保留地肯定。虽然对于正常的发育来说，这一假设应是正确的，但是我们由德里施（HansDriesch，1867—1941）^[46]首先对海胆所进行的一些实验可知，在双细胞阶段，与它的同伴相分离的单个卵裂球会发育为一个完整的原肠胚，仅仅体形比正常的较小而已。下面是德里施的几幅有名的图（图17）。

必须承认，并非对所有的物种都是这样的。德里施的发现导致了卵好几个部分的实际命运与潜在命运之间的区别。德里施本人使用了“预定意义”（英语prospective significance；德语prospektive Bedeutung）一词，以与“预定潜能”（英语prospective potency；德语prospekrive Potenz）一词对比。后者比前者意义更宽，但是在发育的过程中后者的意义就变窄了。让我们再用一个两栖动物确定其肢芽的例子来阐明这一基本点。哈里森（R.G.Harrison，1870—1959）^[47]曾移植了今后会发育成肢的那个芽体的外壁盘。根据他所做的实验，当移植仍可颠倒背腹轴和中侧轴时，前后轴就被确定了。因此，在这一阶段，左和右的对立仍属于这些盘的预定潜能，而且由于周围组织的影响才使得这一潜能得到了实现。

德里施对正常发育的猛烈破坏，证明了第一次细胞分裂可能并不是一劳永逸地固定了正在生长的生物体的左和右。然而，甚至在正常的发育中，第一次分裂而产生的平面也可能不是正中面。人们对马副蛔虫（Ascaris megalocephala）的细胞分裂的第一阶段已作了详细研究。它的神经系统的若干部分是不对称的。最初，受精卵分裂为一个细胞I和另一个显然有不同性质的较小细胞P（图18）。

在下一阶段，它们沿着两个互相垂直的平面分别分裂为I'+I″和P1+P2。随后，柄状分裂球P1+P2扭转，使得P2或与I'，或与I″相接触。我们把I'和I″两者中与P2相接触的那一个称为B，而另一个称为A。现在我们就有了一个像长菱形那样的东西，粗略地讲，AP2就是前后轴，BP1是背腹轴。只是再下一次分裂才是决定左和右的分裂：它是沿着与A、B的分离面相垂直的平面进行的，并把A和B各分裂成对称的两半A=a+α，B=b+β。对该构形再进行一个微小的变动，就会破坏这一双侧对称性。于是产生了下列问题： 这两个首先决定头部和尾部，然后再决定左方和右方的相继变动的方向是偶然事件，还是卵细胞在其单细胞阶段已在其结构中包含了一些特殊的动因，是它们确定了这些变动的方向？支持上述第二种看法的镶嵌卵（mosaic egg）假说对于蛔虫属（Ascaris）来说似乎是更恰当的。

我们已经知道许多基因型倒置（genotypical inversion）的实例，这里两个物种的基因构成的关系就犹如两个对映晶体的原子构成那样。然而，更为常见的却是表型倒置（phenotypical inversion）。人们中的左撇子便是一个例子。我们再来举一个更有趣的例子。甲壳纲中的几种大螯虾型动物具有两个形态和功能都各不相同的螯，一个较大（A），一个较小（a）。假定在我们讨论的物种中正常发育个体的右边的螯是A。如果我们切除一个幼小动物的右边的螯，那么反向再生（inversive regeneration）就发生了：左边的螯发育成较大的形态A，而在右边的螯的位置上再生出了一只形态a的小螯。从这种情况以及相类似的情况必可推知，原生质具有双重潜能（bipotentiality），即包含不对称性潜能的所有有繁殖能力的组织都具有产生两种形态的潜力，然而在正常发育下，总是只有一种形态得到了发育，或是左，或是右。虽则究竟哪一个会得到发育是由基因确定的，但是不正常的外界环境可能会引起倒置。在反向再生这一奇特现象的基础上，路德维希提出了下列假说： 不对称性中的决定因素，可能不是这样的一些特定潜能（specific potencies），譬如说，“形态A右螯的发育”，而是R和L（右和左）的两个动因。它们以某种梯度分布在该生物体中，其中某一种的浓度从右到左逐渐减小，而另一种的浓度则沿相反方向逐渐减小。这里的要点是，不只有一个梯度场，而是有两个相反的梯度场R和L。究竟哪一个能以较大的强度被产生，这是由基因构成所决定的。然而，如果占优势的动因遭到某种破坏，那么另一早先受到抑制的动因就变成主要的了。于是，倒置就发生了。我作为一个数学家，而不是生物学家，小心翼翼地转述了这些依我看来是具有高度假设性质的情况。但是，显然左和右之间的悬殊差别，是与关于生物体的种系发生以及个体发育这些最深刻的问题联系在一起的。

[1] 波利克莱托斯，公元前5世纪古希腊雕塑家。他对理想的男性古典美规定了一套标准。——译者

[2] 丢勒，德国油画家、版画家、雕塑家和建筑师。——译者

[3] 亚里士多德，古希腊自然哲学家。——译者

[4] 盖仑，古罗马医师、自然哲学家。——译者

[5] 毕达哥拉斯，古希腊数学家、哲学家。在西方，他首先提出了勾股定理。——译者

[6] 柏拉图，亚里士多德的老师。他的哲学思想对西方哲学的影响极大，主要著作有《理想国》《法律篇》等。——译者

[7] 苏美尔，美索不达米亚南部的一个古老区域，包括一些城市和城邦，最早的一些约建于公元前5世纪至公元前10世纪。据称那里的文化在近东地区占主要地位达1500年之久，称为苏美尔文化。——译者

[8] 拉格什城，苏美尔的古城，在幼发拉底河和底格里斯河之间。即现在的伊拉克南部。——译者

[9] 拜占庭，古希腊殖民城市，公元前7世纪建，横跨博斯普鲁斯海峡两岸。公元330年罗马帝国皇帝君士坦丁迁都于此，改名为君士坦丁堡。后为东罗马帝国首都。15世纪改名为伊斯坦布尔至今。公元4至公元15世纪在那里发展起来的艺术称拜占庭艺术。——译者

[10] 希腊神话中的带翼狮身女怪。传说她常叫过路行人猜谜，猜不出者即遭杀害。——译者

[11] 苏萨，埃兰古城，波斯帝国首都。其遗迹在伊朗西南部。——译者

[12] 古波斯帝国三个国王的名字。大流士一世（公元前522—前486在位）统治时期，为阿契美尼德王朝最盛时期。——译者

[13] 梯林斯，荷马前的古希腊城，遗迹在阿戈斯的伯罗奔尼撒半岛上。——译者

[14] 迈加龙，考古学术语，指爱琴文化时期房屋建筑里的内室和大厅。——译者

[15] 指约公元前3000年到公元前1100年，希腊南部克里特岛的青铜时代文化。——译者

[16] 托尔塞洛，乡村名，位于威尼斯泻湖的一个同名小岛上。至中世纪初一直是一个繁荣的小镇。村内有一个用精美的镶嵌图装饰的拜占庭大教堂。——译者

[17] 罗马帝国前，伊特鲁里（Etruria）古国（现在意大利境内）的居民。——译者

[18] 意大利城市，以具有华丽的镶嵌图而著称。——译者

[19] 拉文纳市内的教堂，建于公元6世纪。——译者

[20] 圣马可，威尼斯市内最著名的教堂。位于市中心的圣马可广场旁，与总督府邸相邻。——译者

[21] 德语，指平衡性、均衡性。——译者

[22] 法国城市，在巴黎西南方。——译者

[23] 贺德勒，瑞士画家。——译者

[24] 这里的左螺旋和右螺旋的定义与通常数学中的不同，而与左旋偏振光和右旋偏振光的相同。——译者

[25] 莱布尼茨，德国著名物理学家、数学家、哲学家，与牛顿一起并称微积分的创始人。——译者

[26] 欧几里得，古希腊数学家，著有《几何原本》13卷。——译者

[27] 亥姆霍兹，著名德国物理学家、生理学家。对物理学，特别是热学贡献很大。——译者

[28] 马赫，奥地利物理学家、哲学家。经验批判主义的创始人之一。——译者

[29] 相传为14世纪法国哲学家布里丹的一则寓言中的一头驴子。它处于两堆相同的干草之间，由于感到没有能力决定选择哪一堆，终于饿死在草堆之间。见下注所引书中的附注。——译者

[30] 外尔这里所做的关于在左和右之间不存在内在的差异，以及后面所做的关于正、负电荷的等价性和时间反演不变性的论述，随着物理学中所谓宇称不守（1957年）和CP不守（1963年）的发现，已不再绝对正确。请参阅杨振宁著《基本粒子发现简史》，杨振玉等译，上海科学技术出版，1963年。——译者

[31] 康德，德国哲学家，德国古典哲学的创始人。——译者

[32] 英语，意为“右”，又可作“正确”解。——译者

[33] 米开朗琪罗，意大利文艺复兴盛期的雕塑家、画家、建筑师和诗人。——译者

[34] 英语，意为“不吉祥的”“邪恶的”。——译者

[35] 拉丁语，作“左面的”“邪恶的”解。——译者

[36] 拉斐（1483—1520），意大利文艺复兴盛期的画家和建筑师。——译者

[37] 伦勃朗，荷兰画家。——译者

[38] 即反质，1955年由美国物理学家张伯（O.Chamberlain）和塞格（E.Segr è）发现。——译者

[39] 阿里斯托芬，古希腊早期喜剧代表作家。——译者

[40] 希腊神话中的主神。——译者

[41] 希腊神话中主管光明和青春的神，或称太阳神。——译者

[42] 巴斯德，法国微生物学家、化学家，近代微生物学的奠基人。——译者

[43] 基督救《圣经》中，洪水后的人类新始祖。——译者

[44] 维勒，德国化学家。他从无机物成功地合成了有机物尿素，这不仅打破了无机物质和有机物质之间的界限，而且动摇了“生命力学说”。——译者

[45] 他俩是基督教《圣经》中“人类的始祖”，夏娃为亚当之妻。——译者

[46] 德里施，德国生物学家和哲学家。——译者

[47] 哈里森，美国生物学家，实验胚胎学先驱。——译者