2.3 电弧数学模型

长期以来，建立准确的电弧数学模型一直是很多科研工作者的目标。目前建立电弧数学模型主要有两种途径，一是对电弧进行微观研究，对在等离子区中存在的许多基本现象用公式表达，对能量转换有准确的估计，但这需要求解大量复杂的公式；二是对电弧进行宏观研究，认为电弧是一个可变电阻，用非线性微分方程描述电弧。对于故障电弧检测来说，显然利用电弧的宏观模型更容易检测。电弧电阻实际上由输入与散出的能量关系决定，一般电弧模型方程的表达式为

式中：ia——电弧电流的瞬时值；

E——弧柱电压梯度的瞬时值；

Ra——单位长度电弧电阻的瞬时值；

P——单位长度电弧的输入功率，P=Eia；

N——单位长度电弧的散出功率；

t——时间。

电弧电阻是弧隙中积累能量的函数，即

式中：Q——单位长度电弧中积累的能量，包括热能、气体分子的分解能、激发能及游离能，它与电弧温度和游离程度有关。

电弧中积累的能量Q为输入能量与散出能量差值的积分，可表示为

对于静态电弧，输入能量与散出能量相等，即

P=Eia=N　（2-15）

电弧的动态模型为

目前，关于电弧的数学模型，比较著名的有Cassie、Mayr两种。Cassie模型认为电弧具有圆柱形气体通道形状，其截面温度均匀分布，且圆柱形通道具有明确的界限，圆柱形通道以外的电阻非常大。假如电弧电流发生变化，电弧直径也将同时变化，但是温度不变。电弧电压梯度基本保持为常数，因此能量散出速度与弧柱横截面的变化成正比，能量的散出由气流或与气流有关的弧柱变形导致。根据上述假设，Cassie电弧数学模型为

式中：τ——电弧时间常数，τ=qc/Nc；

g——电弧电导；

qc——单位体积电弧中的能量常数；

Nc——单位体积电弧散出功率常数；

u——电弧电压；

Uc——电弧电压常量。

Mayr也认为电弧具有圆柱形气体通道形状，但其直径是恒定的。从电弧散出去的能量是常数，且能量的散出依靠热传导和径向扩散的作用。电弧温度随着与电弧轴心的径向距离、时间而发生变化，电弧散出的功率为常数。Mayr电弧数学模型可表示为

式中：g——电弧电导；

u——电弧电压；

i——电弧电流；

τ——电弧时间常数；

P——散耗功率。

电弧电流过零前，由于电弧介质被击穿，电弧电阻较小，由Cassie电弧数学模型得到的电弧电流过零点前电弧电阻基本与实验结果一致。因此，对于低电阻电弧，利用Cassie电弧数学模型的计算结果与实验结果基本吻合。但是，由Mayr电弧数学模型计算电弧电流过零前电弧电阻时，理论值比实验值大很多倍，Mayr电弧数学模型不能用于电弧电流过零前（电弧低电阻状态）的计算。电弧电流过零前后，按照Cassie电弧数学模型假定电弧电压为常数，不符合电流过零后电弧电阻继续增大的实际情况。根据Mayr电弧数学模型分析，电弧电压梯度与电弧电阻的平方根成正比，在电弧高电阻状态时比较符合，所以Mayr电弧数学模型更适合电弧高电阻状态。

无论是Mayr电弧数学模型，还是Cassie电弧数学模型，都是非线性的，而且含有两个未知数E和ia，因此还需要建立第二个方程式。一般可通过电路其他部分的特性得到。Mayr电弧数学模型和Cassie电弧数学模型都是在不同假定条件下只考虑一方面的散热而定出的。然而，实际上电弧能量的散出是以这两种假定结合起来的方式进行的。有两种方法可将Mayr电弧数学模型和Cassie电弧数学模型结合起来建立接近真实的模型。第一种用Cassie电弧数学模型计算电弧电流过零前的状态，而利用Mayr电弧数学模型对电流过零后的电弧状态进行计算；第二种将两种电弧数学模型合并成一个统一的模型，即对电弧能量散出功率既考虑传导，也考虑对流。由于电弧的时间常数是随时间而变化的，Mayr和Cassie两个电弧数学模型的时间常数也有待商榷。也就是说，电弧电阻的表达要比两个电弧数学模型更加复杂。

实际上电弧时间常数和耗散功率都不是常数，对Mayr电弧数学模型进行改进，将时间常数和耗散功率看作电弧电导函数，形成了Schwarz电弧数学模型。这样就不需要对Mayr电弧数学模型做任何限定性的假设，Schwarz电弧数学模型可表示为

式中：g——电弧电导；

u——电弧电压；

i——电弧电流；

τ——电弧时间常数；

P——散耗功率；

a——影响τ的参数；

b——影响P的参数。

2000年，有文献对Mayr电弧数学模型做了进一步改进，提出了Schavemaker电弧数学模型。该模型具有恒定的时间参数和与输入功率相关的耗散功率。模型参数根据电流过零点时的测量结果确定，能够成功地再现电弧的中断和重燃，该电弧数学模型为

式中：g——电弧电导；

τ——电弧时间常数；

u——电弧电压；

i——电弧电流；

Uarc——在大电流时的电弧电压，一般为固定值；

P0——耗散功率；

P1——与输入功率有关的耗散功率，与断路器内灭弧介质热阻引起的压力有关。

对于交流故障电弧，由于故障电弧串联在线路里，因此式（2-20）中的P1可以不用考虑，可以得到Schavemaker电弧数学模型在故障电弧时的简化模型

从式（2-20）和式（2-21）可以知道电弧电阻是一个不断变化的数值。实际上，在进行故障电弧检测时，并不需要得到准确的电弧电阻的数值。

对电流过零点附近的电压和电流的精确测量结果表明，使用Cassie电弧数学模型或Mayr电弧数学模型对其描述是不够准确的。Habedank对Cassie电弧数学模型和Mayr电弧数学模型进行了合并，将二者串联成一个电弧数学模型，称为Habedank电弧数学模型。该模型没有物理意义，只用来进行数学描述，可表达为

式中：g——电弧电导；

u——电弧电压；

i——电弧电流；

gc——Cassie电弧数学模型中的电弧电导；

gm——Mayr电弧数学模型中的电弧电导；

τc——Cassie时间常数；

τm——Mayr时间常数；

P0——电弧稳定耗散功率。

Habedank电弧数学模型集合了Cassie电弧数学模型和Mayr电弧数学模型的优点。在高电流下，几乎所有的电压降都发生在Cassie电弧数学模型部分；而在电流过零点前不久，Mayr电弧数学模型的贡献增加，承担了电流中断后的所有恢复电压，可以更好地反映实际电弧的非线性动态特征。