IV

哲学家还做出另外的诘难，他们说：“你在严格性方面有所得，你将在客观性方面有所失。你只有割断把你和实在连接起来的结合物，你才能够达到你的逻辑理想。你的科学是确实可靠的，但是只有把它束缚在象牙塔内，断绝它与外部世界的所有联系，它才能够继续存在下去。若试图稍稍应用它，它就会从这个囚禁之处逃逸出去。”

例如，我企图证明，某一特性附属于某一对象，该对象的概念乍看起来似乎不可定义，因为它是直觉的。起初，我或者失败，或者必须满足近似的证明；我最后决定给我的对象下精确的定义，这使我以无可指责的方式确立这一特性。

哲学家说：“于是，依然要证明，对应于这个定义的那个对象的确与你通过直觉所认识的对象是相同的；或者依然要证明，你立即自信你辨认出的、与你的直觉观念一致的、某个真实而具体的对象对应于你的新定义。然后，你才能断言，它具有所述的那种特性。你只不过是转移了困难而已。”

情况并非严格如此；困难未被转移，它只是被分开了。所确立的命题实际上由乍看起来没有区别的、两种不同的真理构成。其一是数学的真理，它现在已被严格地建立起来了。其二是实验的真实性。惟有经验能够告诉我们，某个真实而具体的对象对应于或不对应于某个抽象的定义。这第二种真实性在数学上未被证明，它也不能用数学证明，物理科学和自然科学的经验定律同样也不能用数学证明。要打破砂锅问到底也许就不合道理了。

于是，把长期以来错误地混为一谈的东西区分开来，这不是一大进展吗？这意味着统统驳回了哲学家的这一诘难吗？我不想那样说；数学科学在变成严格的科学时，它获得如此人为的特征，以致给每一个人都留下了印象；它忘记了它的历史起源；我们看到问题应该怎么回答，我们不再理会问题如何提出和为何提出。

这向我们表明，逻辑不是充分的；证明的科学并非全部科学，直觉作为补足物必然保持它的作用，我正要说直觉作为逻辑的平衡物或矫正物。

在讲授数学科学时，我已有机会坚持直觉应该占有的地位。没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄辞藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力。但是，现在我首先要谈谈直觉在科学本身中的作用。如果直觉对学生是有用的，那么对有创造性的科学家来说，它更是须臾不可或缺的。