引理 XXI

如果两条活动且无限的直线BM，CM经由作为极的给定的点B，C引出，由它们的交点M画出位置给定的第三条直线MN；引另外两条无限的直线BD，CD，它们与先引的两条直线在所给定的点B，C构成给定的角MBD和MCD：我说这两条直线BD，CD由它们的交点D画出经过点B，C的圆锥截线。且反之亦然，如果直线BD和CD的交点D画出一条经过给定的点B，C，A的圆锥截线，则角DBM总等于给定的角ABC，角DCM总等于给定的角ACB；点M位于位置给定的直线上。

因为在直线MN上设点N被给定，且当动点M落在不动的N时，动点D落在不动的P。连结CN，BN，CP，BP，且由点P作直线PT，PR交BD，CD于T和R，并使得角BPT等于给定的角BNM，且角CPR等于给定的角CNM。然而（由假设）角MBD，NBP相等，正如角MCD，NCP；去掉公共的［角］NBD和NCD，剩下的［角］NBM和PBT，NCM与PCR相等，且因此三角形NBM，PBT相似，正如三角形NCM，PCR。故PT比NM如同PB比NB，且PR比NM如同PC比NC。但是点B，C，N，P是不动的。所以PT和PR比NM有给定的比；因此［PT和PR］相互之比为给定的比；于是（由引理XX）点D，在那里动直线BT和CR的持续相交，在经过点B，C，P的圆锥截线上。此即所证。

且反之，如果动点D落在经过给定的点B，C，A的圆锥截线上，且角DBM总等于给定的角ABC，角DCM总等于给定的角ACB，又当点D相继落在截线上任意两个不动的点p，P时，动点M相继落在两个不动的点n，N：过同样的n，N引直线nN，这是那个动点M的持续不断的轨迹。因为，如果可能，假使点M位于某一曲线上。所以当点M持续位于曲线上时，点D位于经过五点B，C，A，p，P的圆锥截线上。但是，由已证明的，当点M持续在直线上时，点D也位于经过同样五点B，C，A，p，P的圆锥截线上。所以两条圆锥截线经过相同的五点，与引理XX的系理3相悖。因而点M位于曲线上是荒谬的。此即所证。