命题XXV 问题XVII

画出一条轨道，它经过两个给定的点，并与三条位置给定的直线相切。

由任意两切线彼此的交点，和第三条切线与那条直线的交点，它穿过两个给定的点，作无穷直线；用此线作为原纵半径，由前面的引理，此图形被变换为一个新图形。在这个图中那两条切线变为彼此平行，且第三条切线与过两个给定的点的直线平行。令hi，kl为那两条平行的切线，ik为第三条切线，且hl为与此直线平行，过那些点a，b的直线，在这个新图形中，圆锥截线应穿过点a，b，再补足平行四边形hikl。设直线hi，ik，kl被截于c，d，e，使得hc比矩形ahb的平方根^（20）（latus quadratum），ic比id，以及ke比kd如同直线hi和kl的和比三条直线之和，其第一条直线为ik，其余两条直线为矩形ahb和alb的平方根：则c，d，e为切点。因为，由《圆锥截线》，正方形hc比矩形ahb，正方形ic比正方形id，正方形ke比正方形kd，和正方形el比矩形alb按照相同的比；且所以hc比ahb的平方根，ic 比id，ke比kd，和el比alb的平方根按照那个比的平方根，且由复合，按照所有的前项hi和kl比所有的后项，即矩形ahb的平方根，直线ik和矩形alb的平方根，这一给定的比。所以由那个给定的比，在新图形中得到切点c，d，e。通过上一引理中的逆运算把这些点变换到原图形中，于是（由问题XIV）画出轨道。此即所作。此外，一如点a，b位于点h，l之间或之外，点c，d，e应取在点h，i，k，l之间或者之外。如果点a，b之一落在点h，l之间，且另一个在它们之外，问题是不可能的。