2.3 非线性理论基础
系统是由相互关联的客体组织形成的一个有机整体，系统中某个元素的变化都会使系统发生相应的改变。经济系统复杂多变，其本质是非线性系统，如果用传统的经济理论进行分析不能揭示系统运行的规律；而非线性理论在经济系统中的运用可以避免由于线性分析范式的微小误差导致结果的巨大差异。近些年，非线性理论在经济系统中广泛应用并逐渐成为分析经济系统的主要工具之一。
2.3.1 动力系统的基础理论
1．动力系统
现实中会出现随时间变化而演变的系统，如生物物种繁殖、流体运动、经济系统的发展演变等，上述系统可以用数学模型进行描述为φt：X→X，X表示与时间t有关的各种状态结构形成的集合。同时动力系统可以描述几何空间中的点的变化情况，根据点的运动轨迹可以判断系统所处的状态，如稳定、周期、拟周期状态等。系统中不同的参数值对应不同的系统状态，当系统状态确定时，系统未来的状态依赖于当前状态，即给予一个确定的时间间隔，当前的状态只能演化成未来的一个状态。本书在考虑市场博弈行为的基础上，构建离散的供应链动力系统，研究确定供应链系统中的非线性（不确定）问题，故构建系统的动力方程是研究经济系统复杂性的重要前提。
2．分岔
动力系统的分岔现象指的是随着某些参数的变化，系统的动态行为发生了质的改变，若系统的控制参数的微小变化会引起系统状态或者结构发生质的变化时就会出现分岔现象。失稳是分岔的前提，是联系平衡点、周期解和混沌的一种机制。分岔主要来源于常微分方程所定义的连续系统的分岔和函数方程的零解随参数变化而产生的分岔。混沌可以通过分岔来实现，常见的分岔有树枝分岔、跨临界分岔、霍普夫分岔和鞍—结分岔。
3．李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponent）描述了一个动力系统的初始时刻相邻的两个轨道在迭代或时间演变下相互间距离的指数增长率，它是决定系统是否存在奇异吸引子的一个特征量，其能定量描述奇异吸引子的性质。混沌吸引子具有正的李雅普诺夫指数。
4．奇异吸引子
在研究耗散系统的运动轨道时，经常会发现一种奇特的非周期运动轨道。简单地说，奇异吸引子就是在相空间的有限区域内，由无穷多个不稳定点组成的一个不可分割的有界点集。主要具有以下几个特征：
（1）对初始条件具有非常敏感的依赖性。在初始时刻，从奇异吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终会以指数形式相互分离。
（2）功率谱是一个宽谱，系统中存在无穷多个特征频率。
（3）相邻轨道之间的时间关联要衰减到零。
（4）具有多层次自相似的几何维数是非整数的点集。
2.3.2 混沌理论基础
1．混沌的定义
混沌指在确定的非线性系统中，不需要附加任何随机因素就可以出现类似随机的行为，是一种貌似无规则的运动。
对于混沌的定义至今没有统一描述，下面介绍Li-Yorke数学意义下的混沌：
设动力系统（X，f）有一个不可数的子集M⊂X，使得：
（1）f的周期点的周期无上界。
（2）对每一对点x，y∈M，有极限limn→∞infd（fn（x），fn（y））=0，其中d（fn（x）-（y））表示两条轨道的距离，极限为零表示两条轨道可以充分接近。
（3）存在δ>0，使得对每一点x，y∈M，x≠y，有极限
这个极限表示两条轨道不能一直保持距离，经常要分离。
2．混沌的特征
（1）对初态的敏感依赖性；
（2）确定系统中的内在随机性；
（3）混沌的有界性和遍历性；
（4）无限自相似结构；
（5）具有正的李雅普诺夫指数和连续的功率谱。
2.3.3 系统稳定性判据
系统可以分为连续系统和离散系统，下面各章节中所讨论的双渠道行为供应链的博弈决策都是发生在离散时间周期内，需要借助一定的方法对离散系统稳定性进行判定。离散系统的稳定性判据是根据连续系统的稳定性判据推导出来的，先介绍连续系统的稳定性条件。
1．连续系统稳定性条件
劳斯稳定性判据主要通过构造Lyapunov函数对复杂连续系统的运行轨迹的稳定性进行判断。当特征方程的特征值都为负实部时，连续系统处于稳定状态。但是，对于阶次超过3次的复杂系统，很难求出系统的特征值。在这种情况下需要用劳斯（Routh）稳定性判据。
假设系统的特征方程式为
其中，a0>0，作Routh-Hurwitz行列式
当i>n，规定ai=0，如果Δ1>0，Δ2>0，Δn>0，…，Δn-1>0，Δn>0同时满足，特征方程的一切根的实部为负，则连续系统处于稳定状态。
2．离散系统稳定性判据
连续系统的劳斯判据是判断系统的特征根是否在左半s平面来得到系统的稳定性，而离散系统的特征根的模全部小于1，即z平面的单位圆内，系统是稳定的。因此劳斯判据不能直接用来判断离散系统的稳定性，需要引入一种线性变换完成从z域到s域的转换，才能将劳斯判据用来判断离散系统的稳定性。朱利（Jury）判据是离散系统稳定性的一个判据，首先计算出系统的特征方程式为
根据特征方程式的系数得到朱利（Jury）表
其中，
，k=0，1，2，…，n-1；
通过计算可以求得朱利（Jury）表中的2n-3行n＋1列个元素，则满足下列三个条件时离散系统是稳定的：
（1）D（1）=D（m）｜m=1>0，
（2）（-1）nD（-1）=（-1）D（m）m=1>0，
（3）n-1个约束条件：
｜a0｜<an，｜b0｜>｜bn-1｜，｜c0｜>｜cn-2｜，…，｜p0｜>｜pn｜，｜q0｜>｜q2｜.
上面三个条件是离散系统稳定的充分必要条件，任何一条不满足，离散系统就不稳定。本书以下章节中系统的稳定域均是根据朱利（Jury）判据得到。
2.3.4 经济系统混沌控制方法介绍
混沌现象具有确定性、非线性、非常复杂且具有内在随机性的运动轨迹，对初值敏感性使得其运动轨迹不可预测。要根据系统的特点对混沌现象加以控制：①混沌对于系统的运行有害时，可以加以控制；②混沌对于系统运作有利时，创造条件使之产生特定的混沌轨道。对于很多经济管理系统，混沌对系统的运行都是有害的。所以，要根据系统自身的特性采用有效的方法抑制混沌。
目前，对混沌的控制主要通过以下两种方法：①通过对参数的修改来实现对混沌系统的控制；②通过系统状态变量的修改来抑制混沌的发生。OGY方法是最早被提出用于抑制混沌的发生，Ditto等（1990）通过实验验证了OGY方法的有效性和不足之处。Ott、Grebogi与Romeras，Daywansa在Ditto、Rouseot和Span的基础上对OGY方法做了改进。许多学者相继提出了一系列混沌控制方法，如参数周期扰动法、周期激励法、OPF控制法、连续反馈控制法、自适应控制法等。
结合本书所使用的对经济系统的混沌控制方法，主要介绍以下三种控制方法。
1．变量反馈控制法
以离散动力系统为例，设原系统为
加入控制策略后受控系统为
k的取值范围较大，为了使系统回到稳定状态，需要适当地选择k值。
2．状态反馈和参数调整控制法
以离散系统为例来分析非线性动力系统的控制过程，系统如公式（2-14）
其中，xk∈Rn，k∈z，μ∈R是分岔参数。受控系统为
其中，0<α<1，m为某个正整数，fm（·）是映射f（·）的m次复合函数。选择适当的控制参数α可以控制给定周期轨道的稳定性，镇定混沌吸引子中的不稳定周期轨道。
在这里，考虑m=1时系统（2-14）的稳定性控制条件，原系统在不动点处的线性化矩阵为
不动点x∗稳定的条件为：j1的所有特征值｜λi｜<1，i=1，2，…，n。可以得到x∗稳定时分岔参数μ的取值范围。
系统（2-15）在x∗处的线性化矩阵为
由于j2中引入了调节参数α，只要选择适当的α值，就可以确保在失稳的不动点的μ值范围内，也可满足j2的所有特征值｜λi｜<1，i=1，2，…，n，从而使不动点在更大的参数范围内保持稳定，延迟分岔和混沌现象的发生。
3．延迟反馈控制法
延迟反馈控制法的主要思想是让特定轨道的输出信号经过延迟时间后再输入到系统中，作为延迟反馈控制的信号。延迟反馈控制的形式为：F（t）=K[y（t-τ）-y（t）]=KD（t），其中，τ为延迟长度，K为反馈控制因子。通过调节K和D（t）可以使系统的李雅普指数小于零，达到混沌控制的目的。当y（t-τ）-y（t）=0，则F（t）=0，不稳定系统轨道变成稳定轨道，而且没有改变系统的均衡解。延迟反馈控制法简单易行，在本书中用来对风险规避型供应链的博弈模型的混沌轨道进行控制，使用非线性控制方法对二维离散混沌系统进行混沌控制。下面考虑一般的离散混沌系统为
状态变量为
，非线性反馈控制为u
，其中，ε为反馈系数，{xi}为特定的不稳定周期轨道，p为要控制的轨道数。被控制后的系统为
调整反馈系数ε，可以将系统稳定在固定点或其他任意的周期轨道上。