第1章直线、圆、三角形的绝对几何命题

西方文明中有记载的文学、科技、艺术等都是从古希腊开始的．古希腊文明是西方文明最重要也是最直接的渊源．

古希腊地区位于欧洲东南部、地中海的东北部，古希腊曾经经济生活繁荣，科学技术发达，光辉灿烂的文化对后世具有深远的影响．

4000年以前，埃及的尼罗河常年洪水泛滥，淹没了两岸的土地，洪水消退后，土地的界线变得不再分明．为了重新确定界线，每年总要进行土地测量，因此，埃及人积累了许多土地测量方面的知识．后来，希腊人从埃及人那里学到了这些知识，在此基础上逐步充实内容，提升应用，使几何学成为一门完整的学科．

几何学是古希腊的璀璨明珠，英文中的“Geometry”一词就是从希腊语演变而来的，其原意是“土地测量”．明代，徐光启（1562—1633）与利玛窦（1552—1610）合译了古希腊欧几里得（前450—前374）的《几何原本》，用“几何”来翻译“Geometry”一词．一方面，取其与拉丁化的希腊语GEO之谐音；另一方面，取其中文“衡量大小”之原意．

命题1-1　在平面上，从任意一点到另外任意一点可以画一条直线．

（《几何原本》第一公设）

本命题被欧几里得《几何原本》列为第一公设，过两点之间可以画一条直线属于尺规作图的经验，是不证自明的公理．

点是几何学研究的最小的单位，不可拆分．

线（包括直线和曲线）由点排列而成，它具有长度而没有宽度．

而直线是指上面的点无差别、无曲折排列的线．

如图1.1所示，过点A、点B之间可以画一条直线，点C和点D在线段AB上，过点C和点D之间当然也可以画一条直线．根据本命题，线段AB和线段CD在同一条直线上．

命题1-2　直线的两端可以继续延长．

（《几何原本》第二公设）

本命题涉及平面的性质，它在每个方向上都可以无限延长．

如图1.2所示，平面上任意两点A、B之间可以画一条线段，无论线段AB的长度有多么大，至少存在一个点C，使得线段AC的长度大于线段AB的长度，并且AB和AC属于同一条直线．

命题1-3　如果两条线段全等，那么它们具有相等的长度．反之亦然．

两个几何图形全等，指它们可以通过平移或者旋转，实现彼此重合．长度是直线的量度，彼此重合的线段长度相等．

如图1.3所示，如果能够移动线段AB，使得点A和点C重合，然后再旋转AB，能够使得点B和点D重合，就说明它们具有相同的长度．

反之，如果两个线段具有相等的长度，则它们一定能够重合，也就是说它们全等．

若线段AB和线段CD长度相等，可以记为：AB=CD．

命题1-4　在平面内，选取任意一点为中心，可以以任意半径画一个圆．

（《几何原本》第三公设）

第三公设涉及平面的性质，它各向同性并且处处稠密．只要承认平面具有无限延展的性质，那么本命题就是不证自明的公理．

在平面内，圆是包含在一条封闭曲线里的几何图形，从圆内的一点出发连接到该曲线的线段都相等．

如图1.4所示，在平面内，选取任意一点O画圆，可以记为⊙O.

在圆周上任意选择点A、B，连接OA、OB，只要适当旋转线段OA，线段OA和线段OB将会重合，也就是说线段OA、OB全等．

根据本命题，应用圆规和直尺可以得到长度相等的线段．

命题1-5　凡是直角，它们的量均相等．

（《几何原本》第四公设）

《几何原本》第四公设约定，任何直角的量都是相等的．

在平面上，具有公共端点的两条射线构成角．其中一条射线称为起边，另一条射线称为终边，两条射线的公共端点称为顶点．

欧几里得定义角的量度为两条不平行的直线的相对斜度，角的大小取决于它的起边和终边张开的程度．

如图1.5所示，当一条直线AB和另一条直线EF相交于点C，它们的邻角相等时，这些角被称为直角．

对于直角而言，它的两条边是射线，都可以向一个方向无限延伸．从逻辑上来说，很难界定两个直角的图形是否能够重合，即很难界定两个直角的量度是否相等．所以，第四公设的几何意义在于它承认以下原理：

等角原理　如果两个角在有限范围内能够彼此重合，则它们具有相等的量．

完全没有张开的角称为零角，它的起边和终边重合．

终边从起边的位置开始围绕顶点旋转到另一侧，与起边属于同一直线的角称为平角．

围绕顶点旋转一周后，终边又与起边重合的角称为周角．

比零角大而比直角小的角称为锐角，比直角大而比平角小的角称为钝角．

若无特别说明，本书记直角的度量为符号d．

命题1-6　直径平分圆周．

（参考《几何原本》命题3.3）

证明

连接圆周上两点的线段称为弦．如果弦通过圆心，那么就称它为直径．

如图1.6所示，AB是⊙O的直径．显然，AB将圆周分为半圆周AmB和半圆周AnB两部分．以直径AB为轴，将AmB翻转到另一侧变成Am'B，可以证明Am'B和AnB重合．

用反证法，假设Am'B和AnB不重合．

那么，在AnB上至少存在一点C，连接OC，记Am'B与线段OC相交于点D（或者Am'B与OC的延长线相交于点D），使得点C与点D不重合．

显然，有OC>OD（或者OC<OD），这与OC=OD矛盾．假设不成立．

因此，半圆周Am'B和半圆周AnB重合．

这说明半圆周AmB和AnB相等．也就是说直径平分圆周．证毕．

本命题的发现和证明来源于古希腊时期的泰勒斯（约前624—前546）．泰勒斯是古希腊七贤之首，是西方第一个有记载的思想家，被称为科学和哲学之祖．

泰勒斯把埃及的几何学知识引进到希腊．他极力主张对几何学的陈述不能凭直觉上的合理就予以接受，相反，而必须经过严格的逻辑证明，以保证正确性．他首次引入了命题论证的思想，主张通过演绎法给几何命题严格的证明．

在几何学研究中引入逻辑证明的重要意义在于：这将使命题具有充分的说服力，保证了命题的正确性，令人深信不疑；揭示各命题之间的内在联系，使理论构成一个严密的逻辑体系，为进一步发展打下基础．

命题1-7　同圆（等圆）中，相同的圆弧所对的圆心角相等．

证明

如图1.7所示，点A、B是⊙O圆周上的两点，以半径OA和OB为边构成的角称为圆心角，记为∠AOB．

点A、B之间的圆周称为圆弧，记为弧．

由一条圆弧和经过这条圆弧两端的半径所围成的图形称为扇形．

已知：在⊙O中，弧=弧．证明：∠AOB=∠COD．

以点O为轴心，顺时针旋转半径OC、OD和弧所围成的扇形，使得点A和点C重合。因为弧=弧，所以点B和点D也将重合．

这说明上述的两个扇形相等．因此，∠AOB=∠COD．

这证明了同圆（等圆）中相同的圆弧所对的圆心角相等．证毕．

命题1-8　两直线相交，它们交成的对顶角相等．

（参考《几何原本》命题1.15）

证明

同一平面上，两条直线相交构成对顶角．

如图1.8所示，已知：直线m和n相交于点O，以点O为圆心，以任意半径作圆，圆周与直线m相交于点A、B，与直线n相交于点C、D．证明：∠AOC=∠BOD，∠COB=∠AOD．

显然，AB和CD是⊙O的直径，根据直径平分圆周，则有

在等式的两边同时减去公共部分弧CB，因为等量减等量仍然相等，所以

因为同圆中，同弧所对的圆心角相等，所以

∠AOC=∠BOD

同理

∠COB=∠AOD

故两直线相交，它们交成的对顶角相等．证毕．

其实，不仅限于角，通过整体平移、旋转、翻转以后，只要能够重合的几何图形即全等．

命题1-9　若两个三角形的两个角相等以及等角夹边相等，则这两个三角形全等．

（三角形全等判定定理ASA，参考《几何原本》命题1.26）

证明

已知：△ABC和△DEF中，∠CAB=∠FDE，∠CBA=∠FED，AB=DE．证明：△ABC与△DEF是全等三角形．

如图1.9所示，移动△DEF使得点D与点A重合，边AB与边DE重合．

因为∠CAB=∠FDE，所以，边AC与边DF也重合．

用反证法，假设点F与点C不能重合．

不妨假设点F在AC的延长线上．则有∠FED=∠CBA+∠CBF，这说明∠FED>∠CBA，这与已知条件∠CBA=∠FED矛盾．假设不成立．

因此，这时点F和点C重合．这说明△ABC和△DEF能够重合．

因此，△ABC和△DEF是全等三角形．

这说明若两个三角形的两个角相等以及等角夹边相等，则这两个三角形全等．证毕．

若△ABC和△DEF是全等三角形，可记为△ABC≌△DEF．

命题1-10　若两个三角形的两条边相等以及等边夹角相等，则这两个三角形是全等三角形．

（全等三角形判定定理SAS，参考《几何原本》命题1.4）

证明

已知：△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠CAB=∠FDE．证明：△ABC≌△DEF．

如图1.10所示，根据已知条件，移动△DEF使得点A与点D重合，点B与点E重合，边AC与边DF所在的直线重合．

因为AC=DF，所以点C和点F重合．

因为过两点间只有一条直线，所以边CB和边FE重合．

因此，△ABC和△DEF能够重合．

故△ABC≌△DEF．

这说明若两个三角形的两条边相等以及等边夹角相等，则这两个三角形是全等三角形．证毕．

命题1-11　若两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等．

（全等三角形判定定理SSS，参考《几何原本》命题1.8）

证明

已知：△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF．证明：△ABC≌△DEF．

如图1.11所示，移动△DEF使得点A与点D重合，点B与点E重合．

以点A为圆心，以DF为半径作圆，再以点B为圆心，以EF为半径作圆。这说明点F在上述两个圆周上．

上述两个圆周在AB的两侧各有一个交点，而在点C的同侧仅有一个交点，即该交点为点F．

同理，以点A为圆心，以AC为半径作圆，再以点B为圆心，以BC为半径作圆，在点F的同侧也仅有一个交点，该交点与点C重合．

因为AC=DF，BC=EF，所以点C与点F重合．

因此，△ABC和△DEF重合．

故△ABC≌△DEF．

这说明若两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等．证毕．

命题1-12　如果一个三角形的两条边相等，则等边所对的底角相等．

（驴桥定理，参考《几何原本》命题1.5）

证明

如图1.12所示，已知：△ABC中，AB=AC．证明：∠ABC=∠ACB．

将△ABC翻转为△A'C'B'，即正面变为反面．这样，两个三角形的顶角相等，两侧边相等，并且∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'．

因为AB=AC，AB=A'B'，所以AC=A'B'，同理AB=A'C'．

又∠BAC=∠C'A'B'，根据全等三角形判定定理SAS，可知△ABC和△A'C'B'全等．

则有∠ABC=∠A'C'B'，∠ACB=∠A'B'C'.

因为∠ABC=∠A'B'C'，故∠ABC=∠ACB.

这证明了如果一个三角形的两条边相等，那么等边所对的底角相等．证毕．

上面的命题来源于古希腊的泰勒斯，它在《几何原本》中列为第1卷命题5（简称命题1.5），在欧洲，被称为驴桥定理，它被认为是学习几何学的第一个门槛，意思是说，无法理解本命题的人也无法理解后面更难的命题．

命题1-13　如果三角形的两角相等，则等角所对的边也相等．

（驴桥定理的逆命题，参考《几何原本》命题1.6）

证明

如图1.13所示，已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB．证明：AB=AC．

用反证法．若AB≠AC，不妨假设AB>AC．

在AB上选取点D，使得BD=AC，连接DC．

因为BD=AC，BC=CB，且∠DBC=∠ACB，根据全等三角形判定定理SAS，可知△DCB≌△ABC．

大三角形与小三角形全等，这是不可能的．假设不成立．

因此，可知AB=AC．

这说明如果在一个三角形中的两角相等，那么等角所对的边也相等．证毕．

两条边相等的三角形称为等腰三角形（图1.14）．它相等的两条边称为腰，第三条边称为底，两腰的夹角称为顶角，腰和底的夹角称为底角．

驴桥定理可以简述为“等边对等角”，驴桥定理的逆命题可以简述为“等角对等边”．

三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角称为外角．

命题1-14　在任意的三角形中，外角大于任何一个内对角．

（参考《几何原本》命题1.16）

证明

如图1.15所示，已知：在△ABC中，延长边BC，记延长线为CD．证明：∠ACD>∠BAC，且∠ACD>∠ABC．

选取边AC的中点E，连接BE．延长BE至F，使EF=BE，连接FC．

因为对顶角相等，有∠AEB=∠CEF．

根据全等三角形判定定理SAS，有△ABE≌△CFE．

所以∠BAE=∠FCE．

因为∠ACD>∠FCE，所以∠ACD>∠BAE．

因为∠BAC=∠BAE，所以∠ACD>∠BAC．

延长AC，记延长线为CG．

因为对顶角相等，有∠BCG=∠ACD．

同理，∠BCG>∠ABC，所以∠ACD>∠ABC．

同理，可以证明△ABC的其他外角大于任何一个内对角．

这说明，在任意的三角形中，外角大于任何一个内对角．证毕．

命题1-15　在任何三角形中，大边对大角．

（参考《几何原本》命题1.18）

证明

如图1.16所示，已知：△ABC中，AC>AB．证明：∠ABC>∠ACB．

因为AC>AB，所以可以在AC上取点D，使得AD=AB．

根据等边对等角，有∠ABD=∠ADB．

因为三角形的外角大于任何一个内对角，有∠ADB>∠ACB．

则有∠ABC>∠ABD=∠ADB>∠ACB．

这说明在任何三角形中，大边对大角．证毕．

命题1-16　在任何三角形中，大角对大边．

（参考《几何原本》命题1.19）

证明

如图1.17所示，已知：△ABC中，∠ABC>∠ACB．证明：AC>AB．

用反证法：假设不然，那么AC=AB，或者AC<AB．

因为∠ABC>∠ACB，显然，AC=AB是不可能的．

这样，只能AC<AB．

根据大边对大角，有∠ABC<∠ACB，这一结论与已知条件相矛盾．假设不成立．

故只有AC>AB．

这说明在任何三角形中，大角对大边．证毕．

命题1-17　任何三角形中，任意两内角之和小于两直角之和．

（参考《几何原本》命题1.17）

证明

如图1.18所示，已知：任意一个△ABC．证明：△ABC任意两内角之和小于两直角之和．

延长BC，记延长线为CD．

根据三角形的外角大于任何一个内对角，有∠ABC<∠ACD．

在不等式的两边同时加上等量，不等式仍然成立．

那么∠ABC+∠ACB<∠ACD+∠ACB．

而∠ACD+∠ACB等于两直角之和，则有∠ABC+∠ACB小于两直角之和．

同理，∠ACB+∠BAC小于两直角之和，∠ABC+∠BAC小于两直角之和．

这说明任何三角形中，任意两内角之和小于两直角之和．证毕．

命题1-18　对于任何三角形，可以作一个有相同内角和的新三角形，使新三角形的一个内角不大于原三角形指定内角的一半．

证明

如图1.19所示，对于任意一个△ABC，可以作一个有相同内角和的新三角形，使新三角形的一个内角不大于△ABC指定内角的一半．

选取边AC的中点E，连接BE．延长BE至F，使EF=BE，连接FC．

则有△ABE≌△CFE．

因此∠BAE=∠FCE，且∠ABE=∠CFE．

所以

这说明△BCF与△ABC有相同的内角和．

因为∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠EFC，所以∠EBC、∠EFC中至少有一个不大于∠ABC的一半．

这说明对于任意三角形，可以作一个有相同内角和的新三角形，使新三角形的一个内角不大于原三角形指定内角的一半．证毕．

命题1-19　任何三角形的内角和不大于两直角之和．

（勒让德第一定理）

证明

如图1.20所示，已知：任意一个△ABC．证明：△ABC的内角和不大于两直角之和．

记∠ABC=α．根据命题1-18的结论，可以作新三角形，记为△A₁B₁C₁，使得△A₁B₁C₁与△ABC有相同的内角和，且

同理，可以作新三角形，记为△A₂B₂C₂，使得△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁有相同的内角和，且∠A₂B₂C₂≤．

……

这样，可以一直持续下去，在第m次操作时，作△A_mB_mC_m，使得△A_mB_mC_m与△ABC有相同的内角和，且∠A_mB_mC_m≤．

用反证法．假设△ABC的内角和大于两直角之和，记为2d+ε，其中ε>0．

因为α是有限的数，无论ε有多么小，只要m足够大，一定存在M，可以使得以下不等式成立：

因此，存在△A_MB_MC_M，有∠A_MB_MC_M≤．

而△A_MB_MC_M的内角和等于△ABC的内角和2d+ε，即

∠B_MA_MC_M+∠A_MC_MB_M+∠A_MB_MC_M=2d+ε

则有∠B_MA_MC_M+∠A_MC_MB_M=2d+(ε-∠A_MB_MC_M)>2d．

故△A_MB_MC_M的两个内角∠B_MA_MC_M、∠A_MC_MB_M之和大于两直角之和．这与命题1-17“任何三角形中，任意两内角之和小于两直角之和”的结论相矛盾．假设不成立．

这说明，任何三角形的内角和不大于两直角之和．证毕．

在命题1-19的证明过程中，应用了著名的阿基米德公理．阿基米德（前287—前212）曾经在《论球体和圆柱体》一书中明确表述了这一公理，故得名．

阿基米德公理　一个有限的量加大若干倍后可以大于另一个有限的量．

历史上，这一公理起源于古希腊数学家对量的测度理论，欧多克斯首先提出并应用了这一思想，早于阿基米德100年．在现代的实分析理论中，阿基米德公理已经退却为实数完备性的一个结论，被实数的阿基米德性质所取代．

命题1-19是由法国数学家勒让德（1752—1833）首先提出来的，被称为勒让德第一定理．在研究欧几里得第五公设（平行公设）的过程中，勒让德曾试图应用它来进行证明．

勒让德是一位杰出的数学家，他建立了许多重要的定理，尤其是在数论和椭圆积分方面，提出了对素数定理和二次互反律的猜测等．他曾经为初等几何学专门编写教科书，代表作《几何学基础》中，详细讨论了欧几里得平行公设问题，证明了圆周率π的无理性，将几何理论算术化、代数化．在欧洲，这本书被用作权威教科书达一个世纪之久．

在平面上，不同的两条直线之间的关系只有两种：平行或相交．若两条直线是平行直线，那么向两个方向可以无限延长，在不论哪个方向都不相交．

命题1-20　如果一直线和两直线相交所成的同位角相等，那么这两条直线一定平行．

（参考《几何原本》命题1.27和命题1.28）

证明

如图1.21所示，已知：直线AB与直线m和n相交所成的同位角相等，那么直线m、n一定是平行直线．

用反证法。假设直线m、n不是平行直线，那么它们一定相交。记它们的交点为E，显然，∠DEC>0．

根据已知条件，∠ECD=∠EDB．因为∠EDC、∠EDB之和等于两直角之和，所以，∠ECD、∠EDC之和等于两直角之和．因此，△ECD的内角和大于两直角之和．

根据勒让德第一定理，这个结论是不可能的．假设不成立．

这证明了如果一直线和两直线相交所成的同位角相等，那么这两条直线一定平行．证毕．

根据本命题，容易得到以下两个推论：

推论1　如果一直线和两直线相交所成的内错角相等，那么这两条直线一定平行．

推论2　如果一直线和两直线相交所成的同旁内角之和等于两直角之和，那么这两条直线一定平行．

命题1-21　经过已知点只有一条直线垂直于已知直线．

证明

1. 如图1.22所示，已知：点C落在直线AB上．证明：经过点C只有一条直线垂直于AB．

用反证法．假设经过点C垂直于AB的直线有两条，分别为CD和CE，∠DCE>0．

根据直角的定义，可以知道∠ACD、∠ACE均为直角．

而∠ACD+∠DCE=∠ACE，说明∠DCE=0．这一结论与∠DCE>0相矛盾．假设不成立．

这说明经过直线上的一点只有一条垂线．

2. 如图1.23所示，已知：点C落在直线AB之外．证明：经过点C只有一条直线垂直于AB．

用反证法．假设经过点C的两条直线垂直于AB，垂足分别为点D和点E，点D和点E不重合．显然，∠DCE>0．

根据直角定义，可以知道∠CDE和∠DEC均为直角．因此，△CDE的内角之和大于两直角之和，这一结论与勒让德第一定理相矛盾．假设不成立．

这说明经过直线外的一点只有一条垂线．

综合以上两种情况，这证明了经过已知点只有一条直线垂直于已知直线．证毕．

在平面几何中，经过直线AB外的一点作直线AB的垂线，记垂线与直线AB的交点为D，那么，称点D为垂足，线段CD为垂线段，垂线段CD的长度为点C到直线AB的距离。

命题1-22　等腰三角形中，底的中线和垂线以及顶角的平分线共线．

证明

如图1.24所示，已知：在△ABC中，AC=BC．证明：底边AB的中线、垂线以及顶角C的平分线共线．

1. 若CD是底边AB的中线，那么CD是底AB的垂线，也是顶角C的平分线．

因为AC=BC，AD=BD，根据全等三角形判定定理SSS，知△ACD≌△BCD．

因此∠ADC=∠BDC．而∠ADC+∠BDC=2d，所以∠ADC=∠BDC=d．

也就是说，CD是底边的垂线．

又因为∠ACD=∠BCD，所以CD是顶角C的平分线．

2. 底AB的中线和垂线共线．

若CD是底AB的中线，则也是底AB的垂线．而根据命题1-21的结论，等腰三角形的底只有一条垂线．

这说明等腰三角形的底的中线和垂线共线．

3. 若CD是顶角C的平分线，则CD是底边AB的中线和垂线．

因为∠ACD=∠BCD，且AC=BC，根据全等三角形判定定理SAS，可知△ACD≌△BCD．

因此AD=BD，所以CD是底边AB的中线．

而∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠BDC=d．也就是说，CD是底边的垂线．

这证明了等腰三角形中，底边的中线、垂线以及顶角的平分线共线．

证毕．