第一节 集合和函数的基本概念

集合是指由所有对象组成的全体，集合中的每一个对象称为元素。通常用X表示集合，用x表示集合中的元素。在经济学中用的最多的集合就是实数集R，有时候我们也会用到正实数集R+。在经济学中往往要用到n维的实数集Rn和n维正实数集。例如，本教材中经常用到的由两种商品组成的商品集X={x|x=（x1, x2）, x1≥0, x2≥0}就是一个二维实数集。

在经济分析中有一类集合显得非常重要，这类集合为凸集。若集合X中的任意两点xa和xb，对每一个t∈[0,1]，点xt=txa+（1-t）xb也属于集合X，则称X为凸集。

现在以一个二维集合为例来看看凸集。如果X={x|x=（x1, x2）}是凸集，那么意味着对于任意两点，点, 。图1-1是关于凸集的直观图示。

图1-1 集合图示

在图1-1中，（1）和（2）都是凸集，而（3）不是凸集。从图形上判别一个集合是不是凸集，就看这个集合中任意两点的连线是否都在这个集合内。如果在集合内，那么这个集合就是凸集，否则就不是凸集。

函数是指数学中的一种对应关系。具体来说，设X是一个非空集合，Y是一个非空数集，f是对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，则称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x）, x∈X}为其值域（值域是Y的子集）, x叫作自变量，y叫作因变量，习惯上也说y是x的函数。

本教材中常用的函数是一元函数y=f（x）和二元函数y=f（x1, x2）。这些函数在数学中都属于显函数，因为y都可以由x显性表示出来。还有一类函数称为隐函数，即y没有由x显性表示出来，其一般形式为F（x, y）=0。