4　确定的知识

知识必须是确定的，需要被证明，对于古希腊的数学家来说，“证明”必将是他们需要攻坚的主战场。如果没有相应的验证过程，那么知识则不能被承认，也就是说，需要有一个特定的逻辑推理过程来确定某个知识的真实性。可以说，如果没有验证过程的保驾护航，那么知识中必然会掺杂不妙的东西，而数学则为知识的证明提供了典范。

举一个例子，对毕达哥拉斯“可测长度”问题的证明。毕达哥拉斯认为，任意两条线，无论长度是多少，都能找到一个合适的度量单位对它们同时进行测量。那时，希腊人没有小数点的概念，如果一条线是9厘米，另一条线是13.7厘米，那么只要以毫米为度量尺度就可以同时测量这两条线的整数长度，即90毫米和137毫米。这个“定理”看似显而易见，只要我们选择足够小的度量尺度，就可以同时测量任意两条直线，这没有问题，然而这个“定理”却被他的门徒希帕索斯推翻了。希帕索斯发现，在一个正方形中，无论度量尺度多小，边长和对角线的长度都不能同时由整数测定，也就是说，如果其中一条线是整数，另一条线必然是小数。毕达哥拉斯和他的门徒们大为惊慌，将希帕索斯驱逐出了毕达哥拉斯学派，甚至传言说，希帕索斯因为这个发现被他的同窗们丢进了海里。

对于数学家来说，自己的“定理”被推翻是很可怕的，如果数学定理都不能被断言，那么我们还能断言什么事情呢？我们的数学发现有朝一日都会被推翻吗？

直到今天，数学家的“定理”还会时不时地被质疑，这并不稀奇，这就是为什么数学家们依然追求严谨的精神，并且采取非常谨慎的态度来区分那些被称为“定理”的、已经被论证过的陈述和那些他们认为正确的、但暂时还没有办法得到证明的陈述的原因。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中就包括由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出的黎曼猜想。

虽然黎曼猜想在知名度上不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但是它在数学上的重要性要远远高于这两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。显而易见，很多数学家都对这个尚未被证明的猜想的真实性很有信心，因此他们做了很多以黎曼猜想为基础的研究。如果有朝一日，黎曼猜想变成了定理，那么他们的研究就能成立；可是如果有朝一日，黎曼猜想被推翻，那么所有以黎曼猜想为基础的研究成果都会随之倾倒，无数人毕生的努力都将付诸东流。

正是为了避免这种不知何时可能就“被否定”的永恒的焦虑感，数学需要被证明。没错，我们可能永远不会发现边长比例为3：4：5的三角形不是直角三角形，这种确定性来自“毕达哥拉斯定理已经被证明了”这一事实。对于美索不达米亚人来说，上面的陈述毫无疑问是猜想，可是对于古希腊人来说，它就成了定理。那么，所谓的“证明”到底是什么样子的呢？毕达哥拉斯定理是人类历史上证明方式最多的定理，差不多有几十种，其中有一些证明方式是由其他文明的人独立发现的，他们肯定没有听说过毕达哥拉斯，也没有读过欧几里得的《几何原本》。比如，在《九章算术》的批注中，人们就发现了勾股定理的证明过程，即中国数学家刘徽想象出来的切割和拼接方式。

在毕达哥拉斯定理的证明中，有一个原则经常被使用，那就是如果两个几何图形是由同样若干个几何图形以不同方式拼接而成的，那么这两个图形的面积是相等的。比如，刘徽的证明，如图2-15所示，从中间的直角三角形的两个直角边出发，形成的两个正方形，分别由2块和5块碎片构成，这7块碎片拼接起来，形成了另外一个正方形，其边长就是中间的直角三角形的斜边。因此，以斜边为边长的正方形面积等于以直角边为边长的两个正方形的面积之和。

现在我们来重新审视一下以上证明过程，边长比例为3：4：5的三角形之所以是直角三角形，是因为它得到了毕达哥拉斯的认定，那么为什么毕达哥拉斯的认定是正确的呢？因为刘徽的证明展现了直角三角形的直角边构成的两个正方形的面积之和，恰好等于该直角三角形斜边构成的正方形面积。

可是，刘徽的证明是否完全依赖其“巧妙”的切割呢？难道其他的切割方式也能使其面积相等吗？在数学中，“证明一切”是很重要的一点，刘徽的证明是否依赖其“巧妙”的切割，而如果换成其他的切割方式就不一定成立的猜测可不是开玩笑的，古希腊的数学家们也意识到了这个问题，需要从另一个角度入手证明某个数学事实，因此出现了几十种证明方式。

此外，所有的数学建构都必须承认某些先验的“显见事实”，我们必须谨慎地审视这些“显见事实”，数学家们称它们为公理。公理和定理、猜想一样，都是数学陈述，区别在于公理没有证明过程，它们被所有人承认是正确的。关于欧几里得，我们了解得不多，他并不像泰勒斯或毕达哥拉斯那样留下了许多史料。不过，欧几里得却给我们留下了《几何原本》这样伟大且不朽的著作，这部著作被认为是人类知识学的伟大著作之一，因为它最先采用了公理化的方法。《几何原本》一书的撰写方式具有现代性特征，它的行文结构非常接近我们这个时代的数学家写作的行文结构。据说，欧几里得的《几何原本》是人类历史上再版次数仅次于圣经的著作，尽管这一说法的真实性暂时无法保证，但这也间接证明了数学是最接近神学的知识。

在《几何原本》第一卷中，欧几里得提出了以下5个公理。

（1）任意两点能够定义一条直线。

（2）一条直线能够向两端延伸。

（3）给定一条线段，能够画出一个以该线段的一个端点为圆心、线段为半径的圆。

（4）所有的角度都可以叠加。

（5）如果一条直线与两条直线相交，同一侧的内角之和小于两个直角之和，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在内角之和小于两个直角之和的一侧相交（见图2-16）。

这5个公理之后，是一串长长的、经过证明的、无可争议的定理。对于这些定理的证明，欧几里得使用的不过是上述的5个公理或从这5个公理出发的定理。《几何原本》第一卷的最后一个定理就是我们熟悉的毕达哥拉斯定理。在欧几里得之后，大量的数学家也对公理的选择产生了兴趣，许多人对第5条公理感到困惑和不安。没错，第5条公理比前4条公理复杂得多。

该公理的另一种说法是，对于给定的一点和不经过该点的一条直线，我们能且只能画出一条经过该点的该直线的平行线。这个公理看似也没问题，不过数学家们围绕第5条公理争论到了19世纪，最终争论停止了，因为人们发现，在非欧几何学中，第5条公理不成立。

关于公理的表述还有另一个问题，即“定义”的问题。我们使用的点、线、角或圆这些词，它们又是什么意思呢？每一个定义都必然是由此前没有定义过的词所表述的。在《几何原本》中，定义是先于公理的，第一卷开篇的第一句话就是对“点”的定义：点是没有部分的东西。欧几里得通过这个定义想说的是，“点”是可能存在的几何图形中的最小的一个，我们不可能玩儿“点”的拼图游戏，因为点是不可分割的，它没有“组成部分”。在1632年《几何原本》的法语版本中，数学家丹尼·亨利对“点”的定义进行了补充，他指出“点”是没有长度、没有宽度、没有高度的几何形状。这种否定式的定义让人心生疑惑，因为它只说了“点不是什么”，而没有真正地说清楚“点到底是什么”。在20世纪的法国教材里，有人对“点”进了更“聪明”的定义：将一支铅笔的笔尖削得极细，然后在纸上点一下，得到的痕迹就是一个“点”。这个定义法给了我们一个实体的点，如果欧几里得、毕达哥拉斯或泰勒斯看到这个定义，可能很气愤。因为他们历尽千辛万苦，竭尽毕生之力，就是为了创造出完全抽象的、理想化的几何图像。没有任何一支铅笔能够真的在纸上留下一个没有长度、没有宽度、没有高度的痕迹。总之，没有人知道“点”到底是什么，可是几乎所有人都确信，“点”这个想法足够简单和清晰，而且不会产生模棱两可的情况。因此，使用“点”这个词时，我们能够确认所有人都在讨论同一个事情。正是出于对这些“初始定义”和“公理”的绝对笃信，人们发展出了整个几何学。更准确地说，我们整个现代的数学学科是在同样的公理基础上发展的。

定义—公理—定理—证明，这条由欧几里得开辟的道路成为所有后继者必须追寻的道路，唯有如此，人类才能获得和使用确定的知识。