圆周率之道

可能会让现代人觉得奇怪的是，圆周率并未出现在阿基米德的圆面积公式A=rC/2中，他也没有写下一个类似于C=πd的方程，从而将圆的周长与直径联系起来。他避免这样做的原因在于，圆周率对他来说不是一个数，而只是两个长度之比，即圆的周长与直径之比。换言之，它是一个量值，而不是一个数。

虽然我们现在不再区分量值和数了，但这一点在古希腊数学中却很重要，它似乎是由离散（以整数为代表）和连续（以形状为代表）之间的矛盾引起的。尽管历史细节还很模糊，但应该是在公元前6世纪到公元前4世纪，也就是在毕达哥拉斯时代和欧多克索斯时代之间的某个时候，有人证明了正方形的对角线与其边长不可公度，这意味着它们的长度之比无法用两个整数之比来表示。用现在的话说就是，有人发现了无理数的存在。这一发现很可能让古希腊人感到震惊和失望，因为它证明毕达哥拉斯学派的信条是错误的。如果整数及其比率就连像正方形对角线这样基本的东西也无法衡量，“万物皆数”的理念就不成立了。这种低落和失望的情绪或许可以解释，为什么后来的希腊数学家总是认为几何学比算术重要。数不再可信，也就不足以作为数学的基础。

为了描述连续量并对其进行推理，古希腊数学家意识到他们需要发明比整数更强大的东西。于是，他们建立了一个基于形状及其比例的体系。该体系依赖于对几何对象的度量：线的长度、正方形的面积和立方体的体积。他们把这些称为量值，并认为它们有别于数且优于数。

我认为，这就是阿基米德对圆周率敬而远之的原因。他不知道如何理解它，它是一种陌生、超凡的存在，比任何数都奇异。

今天我们都认同圆周率是一个数（一个实数和一个无穷小数），而且是一个奇妙有趣的数。我的孩子们也为它深深着迷，他们常常目不转睛地看着悬挂在厨房里的一个馅饼盘，上面的圆周率数字沿边缘向中心呈螺旋形排列，越靠近旋涡中心，数字的大小就越小。对孩子们来说，吸引他们的是这些数字看似随机的排列顺序，它们从不重复，也没有任何规律，就这样在馅饼盘上无穷无尽地排列着。圆周率的无穷小数展开式的前几十位数字是：

3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 9…

我们永远不会知道圆周率的所有数字。然而，那些数字就在那里，等待着被发现。在撰写本书时，世界上速度最快的计算机已经算出了圆周率的22万亿个数字。不过与真正的圆周率对应的无穷多位数相比，22万亿不值一提。想一想，这在哲学上会多么令人不安。尽管我说过圆周率的数字就在那里，但它们到底在哪里呢？它们并不存在于物质世界中，而是和真理、正义之类的抽象概念一起存在于某个柏拉图式的领域中。

圆周率具有某些相互矛盾的属性。一方面，它代表秩序，这一点主要体现在圆的形状上，长久以来圆都被视为完美和永恒的象征。另一方面，圆周率又是无序的，看上去零落散乱，数字排列也没有明显的规律，或者至少我们尚未发现其中的规律。圆周率难以捉摸，神秘莫测，而且永远遥不可及。这种有序与无序的混合正是它的魅力所在。

从根本上说，圆周率是微积分的产物，它被定义为无尽过程的难以达到的极限。但是，与一系列坚定地逼近圆的多边形或者每次朝着墙前进一半距离的倒霉步行者不同，圆周率既没有可见的终点，也没有可知的极限。然而，圆周率确实存在。它就在那里，它的定义也很清晰，即我们能看见的两个长度（圆的周长和直径）之比。尽管这个比率定义了圆周率，描述得也非常清晰，但数本身却从我们的指缝中溜走了。

有着阴阳二元性的圆周率就像整个微积分的缩影。圆周率是圆与直线之间的一扇门，是一个无限复杂的数，也是秩序与混沌之间的平衡。就其本身而言，微积分是用无穷来研究有穷，用无限来研究有限，用直线来研究曲线。无穷原则是解锁曲线之谜的钥匙，而且它最早出现在圆周率之谜中。