2.3 参数分布概型对边坡可靠度指标的敏感性分析

通过上节对岩体力学参数的统计分析可以看出：岩体力学参数是一个随机变量，即使是同一类型的参数，在不同的地点其参数统计分布概型也不是一个清晰明确的量而是一个模糊的量。正是由于岩体力学参数的这种统计分布特点，说明了传统的可靠度设计和计算方法存在的缺陷。通常意义上的可靠度分析从理论上来说是建立在参数不确定性的基础上的，但在计算过程中恰恰忽略了参数统计分布概型的不确定性，而这种不确定性会给可靠度的最后计算结果带来很大的影响，导致工程设计和计算的失误。

本章以某边坡工程为例，通过拉丁超正方抽样技术（Iman等，1980；Startz man和Watterbarger，1985）^［125^，126^］对影响边坡稳定的几个重要因素输入不同的统计分布概型，采用蒙特卡洛模拟法计算边坡的可靠度指标，分析了岩土工程中常用的各参数（内因和外因）的统计分布概型对可靠度的敏感度，其结论对工程可靠度设计具有重要的意义。

2.3.1 边坡稳定计算常用参数的统计分布概型

影响边坡稳定的因素很多，其中与输入有关的参数诸如岩石的容重、抗压强度、弹性模量、变形模量，最值得重视的是常用的Mohr-Coulomb强度准则的强度参数c、φ等，外在因素有水和地震。当然边坡的外形（坡角、坡高）也是影响边坡稳定的重要因素，但对于可靠度分析来说，一般这两个量是能够确定的［127］，故这里不考虑它们的统计分布概型。

1.正态分布

正态分布或高斯分布是最常见的概率分布函数类型，许多随机变量的分布都服从这一分布形态。一般情况下，岩土工程常选用正态分布用于概率研究。通常具有随机分布特征但其中并没有一些占绝对优势的变量就具有正态分布的特征。

正态分布的分布密度为

其中：-∞≤x≤∞，记作X～N（μ，σ²）。

当正态分布作为岩土工程分析使用时，由于其取值范围为-∞≤x≤∞，有时会引起一些问题，将得到少数的较小值（有时为负值）和较大值；在确定性分析时，造成数值的不稳定［117］。为了克服这个问题，正态分布有时被取舍一部分，使只有落于特定值域内的值是有效的。

2.Beta分布

Beta分布是一种用途非常广的分布，可以替代绝大多数分布，并且不受极端值的影响。

Beta分布的分布密度为

记作X～BE（a，b）

3.指数分布

指数分布在岩土工程的设计及可靠度计算中主要用于对事件的定义，比如地震发生、岩爆或数量（如岩体中的节理长度）^［125^，127^］。

指数分布的分布密度为

记作X～Exp（λ）

4.对数正态分布

在岩土工程的可靠度计算过程中，包括国家规范在内的诸多计算方法都是以参数为正态分布的假设计算进行的；而实际上，并不是所有的力学参数的分布概型都是符合正态的，有相当一部分参数比如弹性模量、压缩模量和土的压缩系数用对数正态分布概型来模拟更符合实际情况［128］。

对数正态分布的分布密度为

记作X～LN（μ，σ²）

5.极值分布

岩土工程中某些力学参数的分布概型是符合极值分布的［125］。

极值分布的分布函数为

其中：-∞&lt；α&lt；∞，β&gt；0，-∞&lt；x&lt；∞。

分布密度为

当α=0，β=1时，EV（x；0，1）=exp［-e^-x］通常称为标准极值分布。

记作X～EV（α，β），α为位置参数，β为尺度参数。

6.Weibull分布

Weibull分布常用于表述可靠性研究中设备的寿命或试验的结果。它是瑞典科学家Waloddi Weibull于1939年首先提出的。岩土工程的力学参数中，Weibull分布也是一种常见的概率分布形式，比如在岩芯上做点荷载试验，有时可能会获得几组大的试验值，这时的岩体力学参数分布就符合Weibull分布［129］。

Weibull分布的分布密度为

记作X～W（α，β，δ）

其中：δ≥0为位置参数，α&gt；0为形状参数，β&gt；0为尺度参数。

当δ=0，α=1时，实际上Weibull分布转化为比较常见的负指数分布。

2.3.2 参数不同分布概型对边坡稳定的敏感性分析

2.3.2.1 工程概况及参数分布

为了说明参数的不同分布概型对边坡可靠度的影响，以某公路边坡为例，边坡剖面图及几何参数及岩体基本物理力学参数如图2-9所示。

坡体由花岗岩组成，其抗压强度的范围为150～200MPa，坡体由于岩石剥落及斜穿坡面的节理面引起稳定问题。

1.水压力的概率分布

在边坡的生存期内，降雨是不可避免的，而水是影响边坡稳定最重要的因素，如果遇到强降雨将对边坡稳定造成极为不利的影响。而通常出现强降雨的概率并不大，这就说明降雨的概率可用水压力的概率分布来表示［130］。最理想的用来模拟水压力的概率分布应该是指数分布［125］，如图2-10所示。

2.地震加速度

边坡地震加速度的概率分布与水压力的分布极为类似，在边坡的生存期内，大多数时间是不会遇到地震的，因而大多数情况下，边坡的地震加速度应为0。虽然发生地震的概率比较低，但也不能说不会发生地震，因而出现大地震概率应该是比较低的。故地震加速度的概率分布也应该是符合指数分布的［125］。根据工程的设防烈度，定义最大的水平地震加速度为0.1，如图2-11所示。

3.岩石容重

岩石容重是实验室测定的，由于各种外在因素和内在因素的影响，可能对测试结果产生影响，也就是说岩石的容重是一个不确定的量，其概率分布可能与多种分布概型拟合。实际计算中，以Normal（30，2）产生随机数，然后进行分布拟合，拟合结果见表2-2。为考察不同分布概型对可靠度计算结果的影响，将所有可能的分布概型输入边坡计算模型进行岩石同种的分布概型敏感性分析。

4.内黏聚力与内摩擦角

在影响边坡稳定的岩体力学参数中，岩石的c、φ值是最为重要的物理量，其正确与否直接关系到边坡工程的安全性和经济性。而在实际工程中，对c、φ值确定方法的研究是岩石力学一个重要研究方向。

在传统的边坡可靠度分析理论中，通常假定岩石的c、φ值的概率分布是符合正态分布或近似符合正态分布的，并认为这种假设是合理的，不会带来计算上大的误差，但这种假设并未在理论上予以验证。而在实际工程中，即使试样的样本空间足够大，但由于岩体力学参数在空间上的随机性极强，而岩体力学参数又具有明显的多重分布性，如果不能准确确定其概率分布形式，将对可靠度计算结果产生巨大的影响。

大量的实际工程试验资料证明，c、φ值可能的统计分布概型有正态分布、对数正态分布、极值分布和Weibull分布四种^［118^，131-133^］。在本书中，假设c、φ值分别服从上述四种分布，通过蒙特卡洛模拟计算边坡的可靠度β值，考察c、φ值不同分布概型对可靠度计算结果的影响，c、φ值的假设统计分布概型见表2-3。

抗剪强度参数c、φ值通常是由多个直剪试验结果通过线性回归的统计方法得到的，那么就必须考虑到参数c、φ之间的相关性。若有m组、每组k个试样在不同的垂直压力作用下进行剪切试验，则共有n对数据，n=m×k，则有

式中：τ_i为p_i正应力下的剪应力值；p_i为第i个试样的正应力；ε_i为随机扰动量，是相对于回归直线的误差值。

由于c、tanφ呈线性关系，故由两个未知量的最小二乘解的误差传递理论可知，c、tanφ的协方差cov（c，tanφ）为

其中

式中：Δ为计算因子：s为回归方程的标准差。

显然，抗剪强度参数c、tanφ是一对呈负相关的随机变量。若对函数tanφ在均值φ处按泰勒级数展开，近似得到线性项，有

则

上式说明，抗剪强度c、φ也是一对呈负相关的随机变量。

既然c、φ是一对呈负相关的随机变量，在进行可靠度分析时就必须考虑这两个变量之间的相关性。也就是说，当c取一个相对高的数量时，φ应该具有相对低的数量。如果在进行可靠度分析时不考虑这种相关性，就有可能将不可能发生的情况（当c取一个相对高的数量时，φ也取一个相对高的数量）模拟出来，这将给计算结果带来很大的误差。

2.3.2.2 边坡数学模型的概化

根据边坡的几何形状及岩体力学特征可将边坡简化为图2-12所示的几何模型。

根据Hoek和Bray［51］的岩质边坡稳定分析理论有

其中

2.3.2.3 岩体力学参数的概率分布敏感性分析

1.常规方法

使用常规的刚体极限平衡分析可以对边坡稳定进行定性认识，表2-4为常规计算的结果。

从表2-4的结果可以看出，边坡是安全的，即使在最大的水压和最大的地震同时作用下，其安全系数也是大于1的。边坡稳定性受水和地震的影响较大，当有水或地震作用时，安全系数下降了20%左右，从表2-4中我们还可以看出，边坡稳定对水压的敏感性大于地震的敏感性。

常规方法虽然能够对水和地震的作用进行边坡稳定敏感性分析，但是这种确定性的方法对影响边坡稳定的一些重要参数，如边坡岩体的容重、抗剪强度等指标对边坡稳定的影响进行评价，就显得无能为力了。为了解决这个问题，下面采用概率方法计算边坡的失效概率。

2.概率方法

针对本书计算实例可以看出，边坡的坡高、坡角、水的容重是确定性指标，而对于岩石的容重、抗剪强度指标、水压力、地震加速度等均为边坡生存期内的不确定性指标。根据本书的阐述，水压力和地震加速度应该符合指数分布，可以作为确定的概率分布输入计算；而对于岩石的力学指标，根据试验结果，可能与多种概率分布形式相拟合，本节主要讨论岩体力学参数不同的分布概型对边坡失效概率的影响。计算基于Hoek［125］推荐的Bestfit［134］和＠Risk［135］软件进行。

（1）岩石容重分布概型的影响。

假定岩石的c、φ为确定性变量，岩石的容重γ分别服从正态分布、对数正态分布、极值分布、Weibull分布输入计算公式，按照蒙特卡洛模拟法迭代10000次分有无水、地震的情况计算边坡的失效概率β，结果见表2-5。

从表2-5可以看出，当无外在因素（水压力和地震）影响时，岩石容重的概率分布形式对边坡的可靠度指标影响较大，当不同分布概型的随机变量的期望值和方差一定时，当量正态化后计算的可靠度指标相差达10%～50%；尤其当容重γ服从极值分布和Weibull分布时，可靠度指标对概型更加敏感。从安全系数的分布来看，水对边坡稳定的影响程度要超过地震对边坡稳定的影响；当无水有地震时，边坡的安全系数均大于1，处于稳定状态；而当考虑水压力的影响，不考虑地震作用时间，边坡的安全系数全面下降，并出现了安全系数小于1的情况。如果同时考虑水压力和地震的影响，边坡的失效概率在4种不同分布概型的情况下，趋于一致；也就是说，水和地震对可靠度指标的影响超过了岩石容重对可靠度指标的影响，但仍能看出当容重γ服从极值分布和Weibull分布时可靠度指标对概型更加敏感。

（2）抗剪强度参数c、φ值分布概型的影响。

为了考察抗剪强度参数c、φ值分布概型对边坡可靠度的影响，假设边坡的容重γ服从正态分布、水压力和地震加速度服从指数分布，这些参数的概率分布均被认为是确定的概率分布形式。认为抗剪强度参数c、φ值的分布概型是不确定的，可分别与正态分布、对数正态分布、极值分布和Weibull分布拟合，进行当量正态化后按照蒙特卡洛模拟法迭代10000次计算边坡的可靠度。

在进行边坡可靠度计算时，c、φ值的相关性是一个重要的影响因素，因此本书的模拟计算分为考虑c、φ值的相关性和不考虑c、φ值的相关性两种情况。计算结果见表2-6。

从表2-6的计算结果可以看出，c、φ值的概率分布形式对边坡可靠度的计算结果有很大的影响。当c、φ值服从四种不同的分布概型，相关系数为0.9时，计算出的边坡可靠度相差很大，服从极值分布时最小，为0.14%；服从Weibull分布时最大，为2.61%；这就说明边坡可靠度计算对c、φ值的概率分布形式十分敏感。而c、φ值之间的相关性对可靠度计算结果也有很大影响，当c、φ服从相同的分布，如逐渐降低其相关性，则最后计算出的边坡失效概率有递增的趋势，如图2-13所示。因此在进行边坡可靠度计算时，正确选择c、φ值的分布概型，并考虑它们之间的相关性，对计算结果的正确与否具有重大的意义。