2.3　时域法(TDM)

式(2.2.4)可以通过卷积积分在时域求解qn(t):

这里

将式(2.3.1)代入式(2.2.8)即可得到梁上x处,t时刻的位移为

2.3.1　由弯矩响应识别移动荷载

梁上x处,t时刻的弯矩为

将式(2.3.2)代入式(2.3.3)得到

假定f(t)是时间步长Δt的函数,上式可写成离散形式:

这里Δt为采样时间间隔,N+1为数据样本数,设

则式(2.3.5)可写成矩阵形式:

这里

设在上、下桥时,f(t)=0,即

f(0)=0　f(NB)=0

从式(2.3.5)可得

M(0)=0　M(1)=0

式(2.3.5)可重写为

这里M(i)是第i个时间步长的弯矩,f(i)是第i个时间步长的轴荷载,且

式(2.3.7)的简化形式为

如果N=NB,矩阵B为下三角矩阵,荷载向量f可由式(2.3.8)直接解得;如果N>NB或者有Nl个测点的弯矩响应(Nl>1),可通过最小二乘法求得荷载向量f:

上述公式仅仅推导了单轴荷载的识别过程,对于两轴荷载的识别,可基于线性叠加原理建立方程,如下:

这里Ba[Ns(NB-1)]、Bb[(N-1-2Ns)(NB-1)]、Bc[Ns(NB-1)]为B的子矩阵,为两轴载的间距。其中矩阵第一行代表前轴上桥而后轴还未上桥的状态,第二、三行分别代表前、后轴均在桥上和前轴下桥而后轴仍在桥上的状态。

2.3.2　由加速度响应识别移动荷载

梁上x处,t时刻的加速度为

这里

式(2.3.11)可离散为下式:

其中第n阶模态的加速度响应为

设

式(2.3.12)写为如下矩阵形式:

类似地,设在上桥和下桥时刻f(0)=0,f(NB)=0,则有

式(2.3.14)可重写为

式(2.3.15)可简化如下:

如果N=NB-1,An为下三角矩阵,荷载向量f可直接由式(2.3.16)求得

如果N>NB-1或者有一个以上测点的加速度响应可以测得(Nl>1),可由最小二乘法求得荷载向量f:

这里,+代表求矩阵的伪逆。

2.3.3　由弯矩和加速度识别荷载

如果同时测得弯矩和加速度响应,则可用它们的组合来识别荷载。对式(2.3.8)的弯矩识别和式(2.3.16)的加速度识别无量纲化处理后,将两方程组合如下:

这里,‖·‖为向量的范数。

目前国内外荷载识别的时域方法研究中,一种是从基本的结构动力学理论出发,计算时域内实测结构响应和脉冲响应函数的反卷积识别荷载,也就是常说的时域内反卷积方法;另一种是将系统的运动方程进行模态坐标转换,转化为非耦合的形式,然后在模态坐标系下由广义坐标(时域内)求出广义外荷载,继而求解动态荷载的时间历程,也就是常说的离散系统荷载识别法。

(1)时域内反卷积方法:结构动力学分析中,动态响应可以由外荷载和脉冲响应函数的卷积积分表示,即Volterra第一类积分方程,其中脉冲响应函数为积分核。因此,已知结构的实测响应和相关的脉冲响应函数,求解反卷积可以识别外部荷载。实际应用中,卷积积分方程的离散形式为一个线性方程组,识别荷载的关键也就是解这个离散的线性方程组。

Goodier等用该方法来识别小球撞击在大障碍物上引起的冲击力。Doyle应用时域内反卷积法通过测得的弯曲应变计算作用在梁上的冲击荷载。在这些早期研究中,利用高斯消元法求解线性方程组,识别的结果还不错。然而,在实际应用中,因为系数矩阵往往是病态的,高斯消元法容易产生不稳定解,改进识别精度的一个常用技术是最小二乘法。Chang等使用比未知数多的测点响应信息,利用共轭梯度法解最小二乘法问题,这是一个迭代优化技术,需要选取合适的迭代次数,否则过多的迭代会导致不稳定解。Wu等利用最小二乘法,利用多个测点位置的响应,并在求解中施加冲击荷载必须为正的物理约束条件来获得稳定的解。Yen等证明了这个非负约束条件的有效性。

时域内反卷积法,归根结底是反问题的线性方程求解,因此无法避免求解的病态性,如矩阵的条件数差造成解不稳定,微小的误差波动亦可能导致荷载识别失败,以及荷载数目和传感器数目不同而导致精确解不存在或解不唯一等。Jacquelin等研究了反卷积问题中病态性的起因,比如测点位置,另外指出解的病态性是固有的,来自该积分的核函数对待求函数的平滑作用,其产生了一个看起来矛盾的现象:时间离散化越密,病态性越严重。因此,有必要对解进行数值正则化。各种数学中的正则化技术可以用于改善病态性。截断奇异值分解方法(truncation of singular value decomposition,TSVD)是其中最简单的方法之一。另外一个广泛应用的方法是Tikhonov正则化方法,通过在待求的解上施加额外约束进行正则化。使用正则化方法的关键在于选取合适的正则化水准。Jankowski等利用时域内反卷积法更全面地研究了未知位置的荷载识别,包括多个冲击荷载、移动荷载。分别考虑了弹性结构和弹塑性结构的荷载识别,通过系数矩阵(由系统脉冲响应矩阵组成)的奇异值分解,讨论了荷载的可识别成分和不可识别成分,采用Tikhonov正则化方法来优化识别荷载。

对于移动荷载,Law等提出时域内的识别方法,考虑连续梁模型,首先利用振型分解得到模态坐标下的运动方程,然后利用Duhamel卷积积分得到广义坐标和广义荷载的表达式。根据模态叠加原理,得到梁测点处动态变形和移动荷载间的关系式,并离散成线性方程组,从而利用测点响应和系数矩阵的逆识别移动荷载。该方法对噪声敏感,尤其在识别多个移动荷载时。余岭等基于欧拉梁模型,利用时域法和频时域法由桥梁响应识别桥面移动车载并重点讨论了几个主要参数(模态数、车速、响应测点位置和测点数等)对识别结果的影响。通过车-桥试验表明,用时域法和频时域均法能得到满意的识别结果,但时域法实用性更强、精度更高,可以直接用于桥面移动车载识别的现场试验。朱军华等基于时域法求解思路,阐述了基于预处理共轭梯度法(PCGM)和基于矩量法(MOM)的移动荷载识别方法的基本原理,指出两种方法具有良好的应用前景,尤其是MOM计算效率高,适合实时识别。

Chan等通过模型试验比较验证了四种移动荷载识别方法的应用及解决方案:第一识别法(IMI)、第二识别法(IMII)、时域法、频时域法。每种识别方法各有不同的优缺点,识别精度一般受测量数据精度、测点位置和测点数目影响。荷载识别属于结构力学中的逆问题,因此问题的病态性是影响识别精度的根本因素。为改善识别效果,基于奇异值分解法等被应用到逆问题计算中,其他被应用的正则化方法包括Tikhonov方法,以及Law、González的动态规划方法。但是,寻找计算最优的正则化参数耗时耗力。另外,正则化参数对车辆和桥梁特性敏感,很难精确赋值。Pinkaew等提出修正静态成分(updated static component,USC)法提取荷载的静态成分,仅迭代识别其动态成分以减小修正参数的灵敏度。

目前的移动荷载识别方法大多基于模态叠加原理,因此存在模态截断误差。利用基于有限元方法的识别技术,不但能避免模态截断误差,而且与应用于连续梁系统的方法相比,它能用于更复杂结构中的荷载识别。

(2)离散系统荷载识别法:H.Ory等首先提出离散系统荷载识别法,采用模态坐标转换,假定在微小时间间隔内动态荷载是一个阶跃力,然后求解非耦合方程,从而获得已知加速度、速度及位移响应历程等条件下的动态荷载计算模式。接着,H.Ory等采用刚度、质量凝聚的方法,给出了模态截断后修正的动态荷载识别的计算模式。唐秀近等系统地提出了利用该方法识别离散系统的动态荷载方法,并通过仿真计算和模态截断后的刚度修正计算,得到了激励频率低于截断频率条件下的满意结果。早期离散荷载系统荷载识别的基本做法是:首先利用最小二乘法根据实测响应求出模态坐标系下的广义坐标;其次在模态坐标系下由广义坐标求出广义外荷载;最后利用最小二乘法求得荷载时间历程。对于比例阻尼,上述求解要求ns(实测响应的自由度数)≥nl(参加计算的模态数)≥nf(待识别的荷载自由度数)。初良成等利用正分析的手段来求解反问题,在实测信息自由度数不少于待识别荷载自由度数的前提下,通过算例表明只要实测信息真实,理论上能得到精确解;并应用奇异值分解技术来求解矛盾方程组,即使在系数矩阵亏损的情况下,仍可求得最小范数的最小二乘解。针对离散系统的方法大多是建立递推连锁计算格式来进行的,递推连锁计算格式的缺点是对初值敏感和误差累积,蔡元奇等建立了基于结构动力问题的逆向滤波器的计算格式,从根本上解决了上述问题,从而提高了数值计算稳定性和识别精度。

Ginaro等提出PMM(Partial Modal Matrix)方法,通过连续积分测量的加速度得到对应的速度和位移,然后计算所选取某些振型对应的广义加速度、广义速度和广义位移,从而将广义外荷载用模态惯性力、模态阻尼力和模态恢复力矢量表示,基于部分模态振型矩阵的逆识别荷载。该方法要求所有输入和传感器位置的振型已知。PMM方法需要完备的测量数据,因此它的主要缺点是需要大量的测点来得到较好的荷载识别结果。

文祥荣等对比利阻尼系统给出了基于精细逐步积分法的动态荷载识别方法:首先将系统进行模态坐标变换得到无耦合运动方程,然后应用精细逐步积分法构造一种高效精确的荷载识别公式,再由结构动态响应求出荷载的时间历程,仿真算例表明该方法具有较高的识别精度。侯秀慧等针对桥梁结构移动荷载识别问题,有效地将桥梁结构振动微分方程化为精细积分方法的一般格式,从而将精细积分方法推广到移动荷载的识别问题中。毛玉明等在状态空间内推导了一种动态荷载时域法,通过精细计算法建立精确的动态荷载识别问题反演模型,对该反演问题对应的结构矩阵进行奇异值分解,并引入正则化技术寻求一个稳定近似解。

对于时域内结构动态荷载识别,国内外学者还先后利用适当的函数来逼近实测结构的离散响应数据,如多项式、样条函数、小波函数、幂级数等,在此基础上进行模态坐标下的荷载识别。张方等推导了荷载识别的级数系数平衡法,以幂级数展开理论建立动态荷载识别的计算公式,将时域中的卷积关系近似简化为线性关系;该方法适用于各种动态荷载,尤其对共振下的荷载识别能得到满意的结果。接着,张方等提出广义可变区间正交多项式(切比雪夫正交多项式)理论,利用广义正交多项式拟合结构各自由度响应(模态坐标)和外荷载(广义荷载)。根据实测加速度响应计算其正交多项拟合系数,继而获得荷载的拟合系数,并识别荷载。该方法具有良好的抗噪性,尤其适用于短样本冲击荷载识别。基于广义正交域荷载识别理论,张方等应用时间有限元原理,推导了动荷载识别的时间有限元模型,它具有计算精度高、收敛性好和抗干扰能力强等特点。不过,时间元模型计算量庞大,随着模态的增加、拟合正交多项式阶数的增加,分析计算量迅速增加。

满洪高等基于广义正交多项式理论,提出一种基于广义正交域的连续桥梁模型上移动荷载识别方法:用广义正交多项式函数逼近桥梁挠度或应变,对逼近函数微分求解桥梁挠曲速度和加速度,结合解耦后的模态坐标运动方程,采用最小二乘法,由桥梁挠度及近似的挠曲速度和加速度识别桥上移动荷载,数值及试验验证表明该方法具有良好的识别精度和抗噪声干扰能力。卜建清等用有限元方法建立桥梁振动方程,根据测试的桥梁响应,根据模态叠加原理由广义正交函数确定模态响应及其导数,用正则化技巧得到稳定的识别结果。李忠献等利用有限元法建立复杂桥梁结构模型,建立解耦的模态运动方程,利用归一化的第一类切比雪夫正交多项式作为广义坐标和广义荷载的时间有限元形函数,基于加权残值法建立了移动荷载识别的有限元模型;为解决荷载识别的不适定性,利用截断奇异值分解的正则化方法由应变和位移响应得到移动荷载的稳定解;该方法能有效地识别复杂结构的移动荷载,识别精度高,抗干扰能力强。

袁向荣等提出移动荷载识别的函数逼近法,用多项式函数、三角函数及其结合逼近桥梁挠度,对逼近函数微分计算桥梁挠曲速度和加速度,用最小二乘法由桥梁挠度及近似的挠曲速度和加速度识别桥梁的模态位移、模态速度和模态加速度,由梁的模态坐标方程和最小二乘法识别桥上移动荷载;函数逼近法受测量噪声的影响较小。陈锋等提出了用B-样条函数逼近法识别桥上移动荷载;B-样条函数的光滑性很好地解决了荷载识别分段点处出现的尖角问题,该方法具有更强的实用性和抗噪声干扰能力。袁向荣等又提出了滑动拟合法,即拟合数据向前后延长覆盖分段点,以保持原响应曲线在分段点处的连续性,该方法提高了拟合的精度,根据拟合结果识别荷载的效果也较好。然而函数逼近法对响应拟合,相当于对响应曲线进行平滑处理,识别结果容易忽略荷载的波动成分。

上述离散系统荷载识别法,大多需要已知结构的模态参数,然后将结构的运动方程解耦到模态坐标系下,根据广义坐标和广义荷载的关系识别荷载,因此模态参数的精度影响荷载识别精度;另外,计算参与模态数对应的广义坐标需要布置合适的测点来保证其精度,并且识别精度受难以避免的模态截断误差的影响。要求独立测点响应的个数至少大于识别荷载个数。