2.1 晶体塑性的本构模型

2.1.1 晶体滑移变形机制

一般而言，晶体发生塑性变形时主要以滑移方式进行的。滑移过程是在一定的晶面的上、下两侧的晶体沿一定的晶向发生相对的滑动，发生相对滑动的晶面称为滑移面，晶体在滑移面上的滑动方向称为滑移方向。一个滑移面和此面上的一个滑移方向结合起来，组成一个滑移系。滑移系表示金属晶体在发生滑移时滑移动作可能采取的空间位向。滑移面和滑移方向与金属的晶体结构有关，滑移面通常是金属晶体中原子排列最密或较密的晶面，而滑移方向则是原子排列最密的晶向。哪些晶面作为实际的滑移面而出现，受加载条件以及温度等因素的影响。滑移系的数目与材料的晶格结构有关，纯金属常见的晶格结构有面心立方（FCC）、体心立方（BCC）、密排六方（HCP）三种。

本书主要研究具有面心立方（FCC）晶体结构的材料，其晶格结构如图2-2所示，具有4个原子密排面（［111］）即主滑移面，每个滑移面有3个滑移方向（［110］），共12个滑移系，如图2-3所示。

图2-2 面心立方晶体的晶格结构

图2-3 面心立方晶体的滑移面和滑移系

表2-1给出了12个滑移系的滑移面和各滑移面上的滑移方向。但这些滑移系在塑性变形过程中是否启动，与它能否满足滑移系启动的条件相关，即滑移系的分解切应力是否达到了临界切应力。当作用在滑移面沿滑移方向的切应力分量达到临界切应力时，晶体的滑移系开始启动，继而材料发生塑性变形。

2.1.2 晶体变形分析

单晶塑性理论和计算方法是多晶体研究的基础，目前已经建立起了较为全面的晶体弹塑性变形机制的运动学理论。

图2-4 晶体滑移模型的运动学描述

晶体滑移运动学的描述通常采用图2-4所示的方式，其中B₀是初始构形，B是当前构形，B～是变形后的卸载构型，B是经过滑移和晶格弹性畸变的中间构形。n和m分别是滑移面的法向矢量和滑移系方向矢量。

按照乘法分解^［67］，总的变形梯度可以分解为弹性部分F^*和塑性部分F^p，即晶体的总变形是由晶体的位错沿着特定的结晶学平面的滑移（用F^p表示）和晶格的弹性畸变及刚体转动（用F^*表示）共同组成：

上式中的R^L表示晶格的刚体旋转，U^e表示晶格的弹性变形。

在当前构型下，物质点的Euler速度率梯度张量L定义为

其中

将Euler速度率张量L分解为对称部分D和反对称部分Ω，于是物质点的Euler变形率（伸长率）张量D、弹性变形率张量D^*和塑性变形率张量D^p定义为

在卸载状态时，由变形运动分析可以给出滑移与塑性应变梯度的关系：

式中：n^（α）和m^（α）分别表示相应状态下第α滑移系的滑移面的单位法向量和滑移系方向的单位向量；为滑移系上切应变率；n为滑移系的数目。

对于卸载状态的物质点通过周围约束施加导致晶格弹性变形和旋转的作用，该点的滑移方向矢量和滑移面的法向矢量会畸变和旋转。此时α滑移系的滑移方向变为m^（α）*，法向矢量变为n^（α）*，且

定义应变率张量：

由式（2-3）、式（2-4）可计算单晶体的塑性应变率：

式中：P^（α）*为α滑移系的Schmid张量，具有对称性。

而与P^（α）*相对应的反对称部分为

P^（α）*和W^（α）*反映物质点晶格取向及其变化。

2.1.3 晶体塑性本构关系

单晶体的本构关系在晶轴坐标系下可描述为

式中：σ^crys、分别为晶轴坐标系下的Cauchy应力张量、四阶各向异性弹性本构张量、对数应变弹性应变张量。

晶体滑移系α的分解剪应变率可用Hutchinson^［68］建议的黏塑性关系来描述：

式中：为参考剪应变率，是待定材料常数；k为反映材料率相关性质的材料常数；τ^（α）为单晶体第α滑移系的分解剪应力；g^（α）为第α滑移系的塑性滑移硬化函数，表示启动滑移系分解剪应力所需达到的数值；h_αβ为滑移硬化模量；n为晶体滑移系的数目。

Hutchinson^［68］建议用式（2-16）来描述滑移系的潜硬化：

这里q是常数，一般取1≤q≤1.4，δ_αβ为Kronecker符号，且

式中：h₀为初始硬化率；τ₀为初始临界分解剪应力且g^（α）（0）=τ₀；τ_s为临界分解剪应力的饱和值；γ为参数，反映了滑移系滑移量之和。

2.1.4 单晶体滑移黏塑性的计算方法

单晶晶粒塑性滑移的数值计算，采用张克实^{［59，69］}建议的单晶体塑性本构计算方法。金属在有限变形下其弹性应变一般很小，对满足小弹性假设的金属来说，扣除塑性变形后，单晶体的弹性本构关系在给定整体坐标系下参考当前构形可以描述为

式中：Δσ、和ε^e分别为整体坐标系下当前构形的Cauchy应力张量增量、四阶各向异性弹性本构张量和对数弹性应变张量增量。

由于材料的各向异性，整体坐标系下的弹性本构张量由晶轴坐标系下的弹性本构张量根据取向进行旋转变换得到。

在当前构形下，式（2-19）可写为

式中：^tσ为t时刻物质点的在当前构形下Cauchy应力张量；Δσ为当前构形下物质点由t时刻到t+Δt时刻因变形产生的Cauchy应力张量增量。

对于每一个增量步，增量对数应变Δε看作已知，若求得增量塑性应变Δε^p，代入式（2-8）可计算弹性应变，即而由式（2-19）求得当前的应力。当前增量步的分解剪应变增量可通过增量步初t时刻和增量步末t+Δt时刻的分解剪应变率的线性组合计算得到：

式中：η为常量，且0＜η≤1；分别为滑移系α分解剪应变率的已知的增量步初值和待求增量步末的值。

将式（2-21）代入式（2-9）得

将式（2-13）与式（2-14）代入式（2-22），得

利用式（2-8）、式（2-20）、式（2-22）、式（2-23）联立可以得到关于^t+Δtσ的非线性方程组：

其中

式（2-24）～式（2-27）中含t+Δt时刻的未知量^t+Δtσ、和^t+Δtg^（α），对其采用New-ton-Raphson方法进行迭代求解^[59，69]。