2.2 考虑水管冷却问题的温度场求解
自20世纪30年代混凝土水管冷却技术出现以来，水管冷却在水工大体积混凝土施工中得到了广泛的应用，成为目前混凝土温控防裂最为常用和最有效的措施之一。以前对含有水管的温度场计算时，仅考虑了直管形式布置（也称单管）的冷却水管，或将蛇形布置的冷却水管简化为直管来考虑，认为冷却水管的布置形式（直管或蛇形管）对温度的影响不大。实际工程中大多采用的蛇形布置方式，长度超过200m，冷却水经过水管吸收混凝土水化热量，使得水管出口水温远大于进口水温。例如，一个长宽高为22m×11m×4m的混凝土浇筑块，浇筑温度为31℃，中心蛇形布置一根塑料水管，水管长度为150m，图2.2列出了不同龄期水管的进出口水温。
图2.2 实测进出口水温
从图2.2中可知，水管进口水温相差不大的情况下，出口水温随龄期发生变化。混凝土浇筑早期，水化反应剧烈，水化热量大，冷却水吸收热量多，相应的水管出口水温就很大，大概在1.5d进出口水温差值最大，约23℃，后来则混凝土温度降低，出口水温也慢慢降低。
冷却水管温度效应的计算总体上可以分为两大类：第一类是解析法［167］，第二类是数值法［168-169］。解析法因其实用性不大这里不再复述，数值法通常通过有限元法来实现。在温度场的有限元计算模型中，若要考虑水管冷却效果，则由于水管附近的温度梯度很大，导致水管周围必须布置密集的网格单元。在实际工程的大体积混凝土温度场的全过程仿真计算中，常常由于计算模型的规模太大而发生困难。如果考虑到进一步与弹性温度应力计算模型的衔接，则计算方程数还将成倍增加，其困难的程度是可以想象的，所以带有水管冷却的混凝土温度应力仿真计算过程中还要考虑计算规模，尽量减少计算量，节省计算时间。
2.2.1 水管冷却空间温度场的迭代求解
由于水管的沿程温度不断变化、管内水体的热交换特性以及混凝土内水管排列复杂等特性，使得水管冷却混凝土温度场成为极复杂不易求解的三维非稳定问题。朱岳明教授在朱伯芳院士等［89］研究工作的基础上，基于水管与混凝土之间热量交换的平衡原理，提出了理论上更为严密的解决水管冷却问题的三维有限元计算方法［93］。该方法在计算过程中认为铁管边界可视为第一类，而非铁水管边界视为第三类，在算法上不忽略水管沿程方向的温度梯度，沿程水温采用迭代法来计算。
混凝土中有冷却水管时，混凝土表面散热与冷却水管的导热同时作用，是一个典型的空间温度场问题，其基本微分方程、初始条件和边界条件等基本理论与2.1节所述内容完全相同，但这里多了一个水管冷却边界。当用金属管时，冷却水管属于强制对流换热，对流换热系数足够大，管壁可近似视为第一类冷却边界；否则应视为第三类吸热边界，在理论上会更严密些，当为第一类冷却边界时，可用式（2.38）表示为
式中：Tw（t）为管内冷却水温沿程变化，且事先只知道其入口水温；Γ0为水管冷却边界（图2.3）。
冷却水管大多采用钢管或铝管，近来也常有塑料质水管。当用金属质水管时，采用的水管截面尺寸通常为直径25.4mm，壁厚1.5～1.8mm，也有大一些的管径。当用金属质水管时，由于金属的导热系数远比混凝土大，管厚对冷却效果实际上影响很小，可以忽略不计。因此，在计算中可以认为管壁内外温度相同，即取金属质水管的热阻近似为零，而在计算中可忽略管壁的厚度。当用塑料质水管时，当管厚很小时，也可近似地视为第一类冷却边界，计算精度足以能够满足工程精度的要求；当管厚大时，须将水管视为第三类热交换边界。由于水在水管中是流动的，其沿程水温也是不断变化的，水管沿程水温的计算问题是首先必须解决的一个难题。
图2.3 有水管冷却时的温度场边界条件示意图
2.2.1.1 沿程水温增量的计算
任取一段带有冷却水管的混凝土块元（管段元），如图2.4所示。
图2.4 带有冷却水管的混凝土示意图
根据傅立叶热传导定律和热量平衡条件，水管壁面单位面积上的热流量q=
。在图2.5中（dv为水流元体），考察在dt时段内在截面W1和截面W2之间混凝土和管中水流之间的热量交换情况。
（1）经水管壁面Γ0从混凝土向水体释放或吸收的热量为
图2.5 水管冷却水与混凝土热交换示意图
（2）从水管段元入口断面W1进入管中水体的热量为
（3）从水管段元出口断面W2从水体流出的热量为
式中：qw、cw和ρw为冷却水的流量、比热和密度；Tw1和Tw2为水管段元的入口水温和出口水温。
（4）两个截面之间的水体由于增温或降温所增加或减少的热量为
式中： TwP为截面之间水体的温度。
热量的平衡条件为
将式（2.39）～式（2.42）代入式（2.43），可推得
考虑到水管中水体的体积很小，且通常水管的入口水温与出口水温变化不是很大，对于大坝工程温控防裂问题而言，式（2.44）可简化为
具体有限元计算时，曲面积分
可沿冷却水管外缘面逐个混凝土单元地作高斯数值积分。
由于冷却水的入口温度已知，利用式（2.45），对每一根冷却水管沿水流方向可以逐段推求沿程管内水体的温度。设某一根冷却水管共分成m段，入口水温为Tw0，第i段内水温增量为ΔTwi，则显然有
2.2.1.2 迭代求解
有了式（2.45）和式（2.46）的水管内水温的计算公式后，在算法理论上就可严密地处理冷却水管的边界条件。在式（2.45）和式（2.46）中，水管的沿程水温计算与温度梯度∂T/∂n有关，因此带冷却水管的混凝土温度场是一个边界非线性问题，温度场的解无法一步得出，无论水管边界是第一类边界（铁管）还是第三类边界（PE塑料管），都必须采用迭代解法逐步逼近真解。文献［91］首先提出了这方面的迭代计算，但对水管水温边界条件的处理不严密，甚至是很复杂化了，影响问题解的精度。文献［93］在此基础上进行改进，得到严密的解法，具体迭代算法如下。
第1步：假定水管沿程各点的水温都等于进口水温，加上其他的初始条件和边界条件，求出混凝土的整体温度场，按式（2.45）和式（2.46）求出水管沿程各点的第一次近似水温
。
第2步：以
作为管沿程各点的初始水温，其他的初始条件和边界条件同第1步，求出混凝土的整体温度场，同样按式 （2.45）和式 （2.46）求出水管沿程各点的近似水温
。
第3步：比较前后两次水温的差值，若满足：
则迭代结束；如不满足式 （2.47），则以
为初始水温，重复第2步、第3步重新计算水温，判断，如此循环，直到满足
为止。
如果求解非稳定温度场，则计算第j+1时段的初始水温可采用第j时段迭代后的水温，冷却时无论是采用铁管还是塑料管或者两种水管同时采用均可采用上述方法进行计算，并得到最终的温度场。
2.2.2 其他水管冷却计算方法
2.2.2.1 Jin Keun Kim法
Jin Keun Kim［170］采用线单元来模拟水管，其基本原理和迭代算法的基本原理几乎相同，都是依据热量平衡方程，稍有不相同的是对边界热量交换的简化，如图2.6所示的热量交换示意图。
式中：hw为冷却水和混凝土交界面上的热交换系数；Aw为水管表面积；D为水管管径；l为从进口到出口的长度；Ts，in、Ts，out为水管在进、出口管壁的温度；Tw，in、Tw，out为冷却水进、出口的温度。
图2.6 冷却水管热量交换示意图
式中：Qw为单位时间冷却水流量；ρw为冷却水的密度；cw为冷却水比热。
根据能量守恒定律，可以计算出口水温为
其中 C1=Qwρwcw
C 2=hwπDl/2
用Jin Keun Kim法计算带有冷却水管的混凝土温度场时，将剖分的混凝土单元边界线取出来作为水管线单元，先假设水管沿程水温等于进口水温来求解混凝土温度场。然后按照式（2.50）计算水管沿程线单元各点的温度值，最后再以各线单元温度值当成初始边界进行温度场求解，以后反复迭代直到前后两个水温差值满足预定的目标。
2.2.2.2 直接算法
直接算法是河海大学刘晓青［171］在迭代法基础上改进而来的，它是以混凝土内部温度和冷却水管结点温度为未知量的有限元直接求解方程，克服了常规迭代解法需计算水管周边混凝土温度梯度的缺点。
将热传导方程，运用Galerkin方法进行空间离散，得到有限元方程：
式中：［N］为形函数矩阵。
将冷却水管沿程划分为由m结点组成的（m-1）个线单元，结点编号为i=1，2，…，m，其中1和m分别对应于冷却水管进口和出口结点，考虑到在混凝土与冷却水管交界处的结点上两者温度相等，式（2.45）中的{ΔTw}可简写成{ΔT}。对水管单元e，设结点编号为{i-1，i}，式（2.45）可改写为
式（2.56）表明水管单元e传给混凝土内部的热量由该单元两结点上水温变化值所决定，式（2.56）可改写为
带入到离散有限元方程（2.51），可直接进行求解。经典型算例验证，该方法简单可行，可应用于实际工程中冷却水管的直接模拟。
2.2.2.3 对比分析
上述3种方法都可进行带有冷却水管的混凝土三维温度场求解，并且通过实例验证，满足一定的精度要求。3种方法都根据冷却水热平衡原理对沿程水温进行了求解，迭代算法和Jin Keun Kim法都需要对温度场反复迭代求解，工作量很大，但是同比而言，Jin Keun Kim法不用进行水管管壁的径向积分，采用实测管壁来计算，计算上更加简单，缺点则是管壁实测值常常很难精确地测定。迭代法虽然计算量很大，但是可以在不进行现场测量情况下进行任何边界混凝土温度场计算，功能强大，算法成熟。直接解法不但无需计算水管周边的温度梯度，也不用通过迭代求解水温，简化了冷却水管模拟中的计算分析过程，是最简单的，但该计算方法的实际应用有待于检验。