第二节 元素相交
一、平面与立体相交
与立体相交的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线所围成的图形称为截断面。工程上，常见的为平面与平面体相交和平面与回旋体相交。
（一）平面立体截交线
平面与平面体相交，截交线为多边形。多边形的各边是截平面与平面体表面各棱面（或底面）的交线；多边形的顶点是平面体上各棱线（或底边）与截平面的交点。因此，求平面与平面体截交线的方法是求出平面体各棱线（或底边）与截平面的交点，然后依次连成多边形，其实质是求直线与平面的交点。
（二）回旋体截交线
平面与回转体表面相交，其截交线是由曲线或曲线与直线组成的封闭平面图形。截交线既是截平面上的线，又是回转体上的线，它是回转体表面与截平面的共有线。因此，求截交线的实质是求截交线上的若干共有点，然后顺序连接成封闭的平面图形。
1.圆柱的截交线
平面与圆柱相交时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：①两条平行线；②圆；③椭圆；见图1－2－20。
图1－2－20 圆柱的截交线图
2.圆锥的截交线
平面与圆锥面相交时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同（截平面与圆锥轴线的倾斜程度），其截交线的形状也不同。共有五种，可以归纳为三类（见图1－2－21）。
（1）截平面通过锥顶时，截交线为三角形，三角形的两腰是两条素线。
（2）截平面垂直于圆锥的轴线时，截交线为圆。
（3）截平面倾斜或平行于圆锥的轴线时，截交线为非圆曲线—椭圆、抛物线或双曲线。圆、椭圆、抛物线及双曲线统称为圆锥曲线。
3.圆球的截交线
圆球与任意方向的平面截交时，其截交线的空间形状均为圆。根据截平面对投影面的相对位置，截交线圆的投影可以是圆、直线段或椭圆。当截平面平行于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影反映圆的真实形状；当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影为长度等于圆的直径的直线，见图1－2－22；当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影为椭圆。当截平面与球心的距离变化时，圆的直径也随之变化。
图1－2－21 圆锥的截交线图
4.圆环的截交线
圆环与垂直于轴线的平面截交时，截交线是两个同心圆；圆环与通过轴线的平面截交时，截交线是两个素线圆，见图1－2－23；圆环与其他位置平面截交时，截交线形状比较复杂，一般是四次曲线。
图1－2－22 圆球的截交线图
图1－2－23 圆环的截交线图
（三）截交线的求法
求平面与曲面的截交线时，首先应根据曲面体表面的性质及其与截平面的相对位置分析截交线的形状，并根据他们与投影面的相对位置分析截交线投影的形状及求法。
当交线为多边形时，应定出多边形各顶点的投影；当交线的投影为圆时，应定出圆心及直径；当交线的投影为非圆曲线时，应先求出截平面与曲面体表面的若干共有点，再依次连成光滑曲线。最后区别可见性，可见的表示为实线，不可见的表示为虚线。
求截平面与曲面体表面共有点的一般方法是：在曲面上取若干直素线或平行于投影面的圆，求出它们与截平面的交点。为使所求截交线的形状准确及作图迅速，应尽可能先求出对截交线的投影起控制作用的点（简称控制点），包括：
（1）曲面外形轮廓线上的点：根据这些点可以确定截交线的投影与曲面投影的轮廓线在何处相切，截交线的可见部分和不可见部分在何处分界。
（2）曲面边界上的点：如当柱面、锥面上的底参与相交时，应求出底边上的点。
（3）反映截交线特征的点：如椭圆的长、短轴端点，双曲线、抛物线的顶点。
（4）极限位置点：即截交线上的最高、最低、最左、最右、最前、最后点。
涵管外壁与挡土墙斜面相接处的相交线是平面与圆柱截交的实例，见图1－2－24（a）。求出各控制点后，只要再适当补充几个中间点，即可连线，见图1－2－24（b）。
图1－2－24 平面与圆柱截交线图
因为平面P的正面投影及圆柱面的侧面投影有积聚性，所以截交线的正面投影与PV重合，侧面投影与圆周重合，水平面投影的空间形状为椭圆，水平投影也应为椭圆。先求出圆柱正面、水平面外形轮廓线上的点A、B、C、D，它们是椭圆长、短轴的端点，再求若干中间点，如E、F、G、H，并将各点依次连成椭圆，见图1－2－24（c）。
二、直线与立体相交
直线与立体相交，视为直线贯穿立体，故直线与立体表面的交点，称为贯穿点，贯穿点的实质为直线与立体贯穿平面的交点。
贯穿点的求法一般有积聚投影法和辅助平面法。
（一）积聚投影法
积聚投影法是利用直线或立体表面的积聚投影求交点，即特殊位置直线或特殊位置立面，见图1－2－25。
图1－2－25 积聚投影法
（二）辅助平面法
辅助平面法，即一般直线与一般立体表面求交点的办法：
（1）包含已知直线作辅助平面。
（2）求辅助平面与已知立体表面的截交线。
（3）求截交线与已知直线的交点，即为贯穿段。
辅助平面法见图1－2－26。
图1－2－26 辅助平面法
一般情况下，直线与立体相交，有两个贯穿点，但在特殊情况下也可能有一个贯穿点。
三、立体表面相交
工程形体一般由多种基本几何形体构成的组合，立体相交称为立体相贯，它们表面形成的交线称作相贯线。相贯线的形状可能是直线段或平面曲线段的组合，也可能是空间曲线。相贯线的基本性质如下：
（1）相贯线是相交两立体表面的共有线，它的投影必在两立体投影重叠部分的范围以内。
（2）由于立体有一定的范围，所以相贯线一般是封闭的。
（3）相贯线是相交立体表面间的分界线，每个参加相交的立体的轮廓线都不能贯穿过相交线。
（一）两平面立体相贯
两平面体的相贯线是空间闭合折线或平面多边形。折线上的各直线段是平面体上相应平面的交线，折线的顶点是一个立体的棱线或底边对另一立体的贯穿点，称为折点。
求两平面体相贯线的方法有以下两种：
（1）求出一平面体上各平面与另一立体的截交线，组合起来，得到相贯线。
（2）求出两个平面体上所有棱线及底边与另一立体的贯穿点，按一定规则连接成相贯线。
（二）平面立体与曲面立体相贯
平面体与曲面体的相贯线一般是由若干段平面曲线组成的空间闭合线，这些平面曲线是平面体的棱面与曲面体的截交线，相邻两平面曲线的结合点是平面体的棱线与曲面体的贯穿点。求平面体与曲面体相贯线实质是求截交线及贯穿点。
（三）两曲面立体相贯
两曲面体表面的相贯线一般是闭合的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。曲面体表面光滑，没有棱线，因此求两曲面体的相贯线时，一般是先求出相贯线上一系列点，然后依次连成光滑曲线，并根据其可见性画成实线或虚线。求相贯线上的点时，通常先求控制点（两立体外轮廓线上的点、距投影面最远及最近的点等能控制相贯线投影的范围、走向及可见性的点），再根据需要求若干个中间点。
求相贯线的常用方法为面上取点法和辅助平面法。
1.面上取点法
因为相贯线是相交两立面表面的共有线，所以，当相交两立面中一个表面的投影有积聚性时，相贯线的这个投影已知，其余投影可以用面上取点的方法求出。
图1－2－27 两圆柱正交
分析两圆柱正交相贯线见图1－2－27。两圆柱直径不等，轴线正交，相贯线是一条闭合的空间曲线。相贯线的水平投影积聚在小圆柱的水平投影上，侧面投影积聚在大圆柱的侧面投影上。由于对称性，相贯线后半部分与前半部分的正面投影重合，且左右对称。
画法如图1－2－27所示：图1－2－27（a）已知条件；图1－2－27（b）直接求出小圆柱正、侧面外形轮廓上的点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，Ⅰ、Ⅱ也是大圆柱正面外轮廓上的点；图1－2－27（c）用面上取点法求中间点A、B的投影；图1－2－27（d）将所求各点连成光滑曲线。
2.辅助平面法
利用辅助平面法求两立体表面的共有点是基于三面共点原理。如图1－2－28所示，圆柱与圆锥相贯，若用水平面P作辅助面，它与圆柱、圆锥各有一条截交线，两圆交点A、B是圆柱面、圆锥面及平面P的三面共有点，必然是相贯线上的点。做一系列辅助平面，就可求出相贯线上一系列点。
作图步骤如下：
（1）作辅助平面。
（2）分别求出辅助平面与两立体截交线的投影。
（3）定出两条截交线的交点，即两立体表面的共有点。
图1－2－28 辅助平面法
为了作图简便、准确，应根据两立体表面的性质及其相对位置选择适当的辅助平面，使它与两立体的截交线的投影是直线或圆。对于直线面，可采用过素线的辅助平面；对于回转面，可采用与轴线垂直的辅助平面。