2.3 黏塑性本构模型

当假定材料的应力达到屈服极限时，就要产生黏塑性变形，其应力应变关系不再遵循黏弹性规律，需要重新选择本构模型。由于弹-黏塑性模型构造简单，同时也可反映材料的黏塑性变形，所以工程中被广泛采用。以下对弹-黏塑性本构模型进行介绍。

2.3.1 弹-黏塑性本构模型

弹-黏塑性模型是由一个弹簧元件和一个宾哈姆元件串联而成。其一维流变模型见图2.3.1。圣维南体（或称滑块）承受的应力为σ^p，黏壶承受的应力为σ^d=σ-σ^p。当σ^p<σ^s时，滑块不滑动，σ^s为屈服应力；当σ^p=σ^s时，滑块开始滑动。

图2.3.1 一维弹-黏塑性模型示意图

图2.3.2 弹塑性线性硬化

对于线性硬化黏塑性材料（图2.3.2），其本构方程为

式中：γ为流动系数，γ=1/η；σ_Y为初始屈服应力，σ^s=σ_Y+H′ε^vp；H′为材料常数，；E和E^T分别为初始弹模和切线弹模；ε^vp为黏塑性应变。

在常应力σ=σ_A作用下，由于dσ/dt=0，当H′≠0时，上述方程的解为

线性硬化黏塑性材料应变和时间的关系见图2.3.3（a）。应变速率随时间逐渐减小，最后应变达到一个稳定值。该稳定值即是不考虑黏壶黏滞效应时的硬化材料的弹塑性值。

对于理想黏塑性体，H′=0，在式（2.3.2）中令H′→0，并利用罗比塔法则得到

理想黏塑性材料应变ε与时间关系见图2.3.3（b），应变随着时间而无限增长。图2.3.3（a）和图2.3.3（b）的差别在于，对于应变硬化材料，屈服应力σ^s随着黏塑性应变ε^vp而增长。当σ^s达到应力σ_A时，黏塑性应变率变为零，应变不再增加。对于理想弹-黏塑性体，H′=0，黏壶始终承受着应力σ^d=σ_A-σ_Y，因而应变随着时间而不断增长，不能稳定。

图2.3.3 常应力作用下弹-黏塑性体的应变反应

2.3.2 弹塑性本构模型

当图2.3.1所示的弹-黏塑性本构模型黏壶的黏滞系数很小时，圣维南元件的塑性变形在很短时间内就能流变完成，此时，弹-黏塑性模型可以简化为瞬时弹塑性模型。

假定材料为理想弹塑性体，材料的弹塑性本构模型关系为

式中：D为弹性矩阵；Q为塑性势；F为应力屈服函数。

F一般可表示为应力第一不变量I₁、应力偏量第二不变量J₂和应力偏量第三不变量J₃的函数，即

为了研究方便，目前常假设材料服从关联流动法则，即Q=F。这样，整个弹塑性关系式中仅含有应力屈服函数F及弹性矩阵D。

目前，关于脆性材料屈服函数的研究已有很多的形式，从最初的莫尔-库仑条件（或称M-C准则）开始，已出现了广义米赛斯条件（或称D-P准则）、双剪应力条件、辛克维奇-潘德条件（或称Z-P准则）等多种适合脆性材料的屈服函数形式。对它们进行总结推广，则可得到如下常用的屈服函数的统一表达式（高玮，2004）：

其中

式中：θ为洛德角；α， β， K为未知参数系数。

广义米赛斯条件（或称D-P准则）、莫尔-库仑条件（或称M-C准则）等对于屈服函数的统一表达式的各系数（高玮，2004） 见表2.3.1。