2.5 算例分析

2.5.1 黏弹性算例

图2.5.1所示为一悬臂结构（在y=0处完全固定），结构尺寸为2m×8m×2m，在远离固定端处（y=8m，z=2m）的结点上作用节点荷载P=-1×10⁴N。设悬臂梁的弹性模量为20GPa，泊松比为0.2；假定材料满足n=2的广义开尔文黏弹性模型，见图2.2.1～图2.2.3，黏性参数见表2.5.1。按2.2节的原理开发了相应的黏弹性分析程序。分别计算了如下工况。

图2.5.1 悬臂梁

工况1：计算应力张量作用下的广义开尔文模型的最终理论变形值。

工况2：假定应力偏量和球应力引起黏性变形的规律与应力张量引起的黏性变形规律相同时的黏弹性计算［式（2.2.18）］；其中计算时间步长Δt=1d（1d=86400s）；累计计算时间62208000s（720d）。

表2.5.2中给出了t=0d，180d，360d，720d时A点的垂直向位移以及广义开尔文模型的最终理论变形值。

由表2.5.2中数据可见：

（1）在荷载作用下，结构产生瞬时弹性变形，然后随着时间的增加，变形逐渐增大。假定应力偏量和球应力引起黏性变形的规律与应力张量引起的黏性变形规律相同时，即满足关系E_k/η_k=G_sk/η_sk=K_mk/η_mk（k=1，2）时，当计算时间足够大，A点的黏性变形计算值趋近于应力张量作用下的广义开尔文模型的最终理论变形值，即此时采用应力张量计算黏性变形的计算式与分别采用应力偏量和球应力计算黏性变形的计算式相加是一致的。由此可见开发的程序是合理和有效的。

（2）材料的黏性系数大小影响材料变形趋于稳定的时间长短；由于本算例给定的材料黏性系数较大，这导致荷载作用下的结构的流变需要较长时间才能稳定。

（3）显然，当应力偏量引起黏性变形的规律和球应力引起黏性变形的规律不相同时，结构的黏性变形计算值不会趋近于应力张量作用下的广义开尔文模型的最终理论变形值，此时需要分别拟定各自应力分量下的黏性系数，以便计算得到合理的结构变形值。

2.5.2 大坝变形的黏弹性分析

设一坝高100m的混凝土坝，见图2.5.2。上游水位90.00m，下游无水，不计自重和扬压力。基岩底部完全固定；基岩上下游侧面施加x向连杆约束；坝体和基岩侧面施加y向连杆约束。材料参数：坝体混凝土弹性模量为20GPa，泊松比0.2；基岩弹性模量为22GPa，泊松比0.2；假定坝体混凝土材料的时变规律满足n=2的广义开尔文黏弹性模型，黏性参数仍取表2.5.1中的值；基岩为线弹性材料。对大坝变形进行了黏弹性计算，计算时间步长取Δt=86400s （1d=86400s）；累计计算时间46656000s（540d）。图2.5.3所示为混凝土坝在t=0的瞬时弹性水平位移和t=540d时刻的水平位移图，图2.5.3中位移等值线单位为cm；图2.5.4所示为点A水平位移的时变过程线。

图2.5.2 混凝土坝示意图

图2.5.3 混凝土坝在t=0d的瞬时弹性水平位移和t=540d时刻水平位移比较

图2.5.4 点A水平位移过程线

由图2.5.4可见，在水压荷载作用下，坝体产生瞬时弹性变形，此时A点的水平位移为1.122cm；然后随着时间流变，当t=540d时，A点的水平位移达到1.577cm。由于算例假定的黏性系数较大，所以坝体的时变需要较长时间才能稳定。

2.5.3 弹-黏塑性算例分析

承受内压作用的厚壁圆筒，内径r_a=0.1m，外径r_b=0.2m。设弹性模量E=3.1×10⁴MPa，泊松比μ=0.2，内摩擦角φ=59.2°，凝聚力C=1.83MPa，黏滞系数η=1/γ=1.15×10³MPa·s，Φ函数的幂指数表达式的常数N=1.2（式2.4.9），作用均布内压0.8MPa。有限元网格见图2.5.5，位移测点为图2.5.5中结点1～结点5。

图2.5.5 有限元网格图

按2.4.2节的原理开发了相应的弹-黏塑性分析程序。假设材料服从广义米赛斯条件中内切圆锥的屈服形式［式（2.3.6）和表2.3.1］，分别进行弹塑性计算和弹-黏塑性计算，弹-黏塑性计算采用隐式算法，累积计算时间90d（7.776×10⁶s），时间步长为1d （86400s）。弹塑性计算的AB边x向位移值和t=90d时的弹-黏塑性计算的AB边x向位移值见表2.5.3，图2.5.6所示为采用不同的N值的弹-黏塑性计算时A点的时变过程线比较。

由表2.5.3中数据可见，当计算时间足够大时，弹-黏塑性计算的最终位移与弹塑性计算的位移有很好的近似性。

图2.5.6 不同N值下的流变过程值比较

由图2.5.6可见，采用不同的N值，时变过程线有一定的差异，但最终的稳定值很接近；例如，常数N=1.2，当t=3d时，测点A的位移为5.1023×10^-3mm，当流变时间足够大（t=90d）时，其趋近值为5.1590×10^-3mm；常数N=1.8，当t=3d时，测点A的位移为4.9514×10^-3mm，当流变时间足够大（t=90d）时，其趋近值为5.1500×10^-3mm。另外，对比计算了黏滞系数η=1/γ=1.15×10³MPa·s时，当函数Φ简单地取为屈服函数F时的时变过程线。计算发现，由于黏滞系数小，结构的黏塑性流动很快就趋于稳定。显然，选取合适的黏滞系数，可以得到采用式（2.4.9）进行计算的趋近值，但式（2.4.9）的计算更具有一般性。