2.2 水资源势能理论
在物理学研究中，常把已获知的现象和过程同未知的物理现象和过程进行比较，找出它们的相似点或关联处，并以此为依据来推测未知的现象和过程也可能具有某些特性或规律，这就是物理学中的类比方法。类比方法是将一种特殊对象的知识推移到另一个特殊对象的思维方法。
中学《物理》教材是这样引入电势能：“地球上的物体受到重力作用，具有重力势能；电场中的电荷受到电场力的作用，也具有势能，这种势能叫电势能。”可见，电势能是通过重力势能概念的类比而导入的。同样，电势能的大小也可以类比重力势能大小。一物体由低势能点移到高势能点时，外力克服重力而做功，使该物体重力势能增加；一电荷由低电势点移动到高电势点时，外力克服电场力而做功，使该电荷增加电势能。
借助重力势能和电势能的概念，类比流域系统中的水资源势能，定义水资源势能概念，并应用势能理论的基本方法对水资源量的空间分配变化规律进行分析，将有利于理解水资源分配系统中的动力机制，从宏观上解释水资源分配规律。
2.2.1 势能定义及特性
势能是由保守力做功而与受力物体运动时所经过的路径无关，只与其始末位置有关这个特点而引入的一个物理量。保守力做功等于物体系势能增量的负值，即
式（2.1）可以改写为
式中：Ep0为初位置M0处的势能；Ep为末位置M处的势能；A保为物体由初位置到末位置时保守力做的功；
为保守力；
为位移元。
归纳各种势能，主要有以下特性：
（1）从势能产生的原因看，势能亦称作“位能”，皆由相互作用的物体之间的相对位置，或由物体内部各部分之间的相对位置所确定。
（2）从势能变化与对应力做功的关系看，每种势能都与一定的相互作用力相联系。当各自所对应的力做正功时，相应的势能减少；当外力克服各自所对应的力做功（即各自所对应的力做负功）时，相应的势能增大，即各自所对应的力所做的功是势能大小变化的量度。
（3）势能不是属于单独物体所具有，而是相互作用的物体系所共有，即势能是属于物体系共有的能量。
（4）与各种势能相对应的作用力都是保守力，这是因为保守力做的功只与物体的初始和最终的相对位置有关，与物体运动的路径无关，即保守力沿闭合路径所做的功为零。
（5）势能是一个相对量，与零势能点（或参考平面）的选择有关。选择不同的零势能点，势能的数值一般是不同的。
2.2.2 水资源势能定义及特性
根据水资源分配动力和势能概念，定义水资源势能。
水资源势能是在某一流域体系中，某一用水对象点由于受到地理动力、效率动力和制度动力3种动力的作用产生的势能。水资源势能是处于几种动力综合作用的动力场中，简称水资源势能场。
水资源势能具有一般势能性质：
（1）地理动力、效率动力和制度动力与其所处流域位置有关，而与其路径无关，是保守力。因此，水资源势能是保守力产生的势能。
（2）水资源势能是由相互作用的某一流域体系所共有，即水资源势能是属于流域体系共有的能量。
（3）水资源势能是一个相对量，与零势能点，即流域的源头位置有关。
水资源势能也具有一般势能所没有的特性：对于一般势能，其每一种势能都与具体对应的作用力相联系，而水资源势能是几种作用力共同作用的结果。当几种动力的合力做正功时，水资源势能减少；当动力合力做负功时，水资源势能增大。
根据水资源势能的定义和特性，可描述水资源势能的主客体。
水资源势能的客体是流域中的水资源量。
水资源势能的主体是流域中使用水资源的用水对象（人或物）。如果将流域中的水资源使用对象划分为不同的用水区域，则水资源势能主体是用水区域；如果把水资源使用对象按照不同行业划分为工业、农业、生活和生态等，则水资源势能主体是工业、农业、生活和生态等。
水资源势能场就是一个以主体和客体为基本框架的系统。在水资源势能场中，水资源势能主体一方面受到水资源势能客体的限制和制约，另一方面又不断地开发自己的能力和增大自己的需求，以自觉能动的活动不断打破客体的限制，超越水资源势能客体。因此，水资源势能主客体是互为前提，互相作用的。水资源势能主客体也是变化发展的，随着时间的推移，水资源势能的主客体随时间的发展而不断发展，相对于水资源势能主体，水资源势能客体随时间的变化幅度更小。
2.2.3 水资源势能的热力学基础
热力学是研究一个系统的状态变化及其与周围环境关系的学科，水资源系统也是为了研究水资源、社会经济和生态环境的相互作用关系。热力学对系统宏观状态的描述方法，是分析和研究水资源系统的有效工具。
在热力学中，系统的状态可以用一些确定的且只和系统状态相关而和系统变化路径无关的物理量来表征其属性，这些物理量称为系统的状态参数或状态函数。
水资源势能定义是类比热力学中关于能量的基本理论得到的。
热力学系统中，描述系统最基本的参数是体积V、压力P和温度T，三者之间的关系通常称为状态方程。热力学中表征系统状态的参数还有很多，内能U则是其中之一，它是指系统内部的一切形式的能量。根据热力学第一定律（即能量守恒定律）：
式中：dQ为系统从周围环境中吸收的热量；dU为系统内能的增加量；PdV为系统对环境所做的膨胀功或容积功；
为系统对环境所做的非容积功。
热力学第二定律可以表示为
式中：dS为系统熵值S的变化。
对于一个与周围环境无能量交换的孤立系统，dQ=0，则有dS≥0，即系统的熵值不减少。热力学第二定律有不同的文字表述形式，但其基本点是指出了系统在自发状态下的变化趋势，即热量只能从高温向低温变化，气体只能从高压流向低压等。
对于可逆过程有：
代入式（2.3）可得
等价变换后得
定义Gibbs自由能G：
则有
式（2.9）是热力学重要的能量方程表达式，表明自由能G的物理意义是：等温等压变化过程中，系统对周围环境所做的非容积功等于系统自由能的减少量。
2.2.4 水资源势能理论
下面利用类似的思路定义水资源势能。对于水资源系统定义3个基本状态参数，即主河道河长l、主河道过水断面面积Fs和用水效率S。首先根据能量守恒定律有
式中：dQ为水资源系统从周围环境中吸收的总能量；dU为系统内部条件变化引起的能量；ld（Fs-F）为系统地理位置的变化引起的能量；dA为系统其他条件变化引起的能量。
根据热力学第二定律的基本含义，可以定义水资源系统中的相应规律为：在自发的状态下，流域的水资源总是首先满足效率高的用水需求，然后才满足效率低的用水需求。数学形式表示为
式中：dS为系统效益变化，其物理意义可以解释为沿河道水量需求的不均衡程度，等号在水资源短缺的条件下成立。
在水资源短缺情况下有dQ=RdS，代入式（2.10）可得
等价变换后得
定义水资源势能G：
则有
式（2.15）是水资源势能理论的微分方程表达式，表明水资源势能G的物理意义是：如果水资源短缺，则在空间位置和利用效率不变的情况下，系统其他条件变化引起的水资源能量的变化等于系统水资源势能的减少量。
如果认为dG为流域中某一点的水资源势能变化量，记为
，则式（2.15）中的右端第一项（Fs-F）dl表示的是由于某点在流域中的空间位置变化而引起的水资源势能增量，相应定义为地理势能的变化量，记做
；第二项（-SdR）为由于人类利用水资源的单位效益变化而导致的水资源势能的增加，相应定义为效率势能的变化量，记作
；第三项（-dA）是由于除了人类生产生活直接利用以外的其他条件变化引起的水资源势能的增加，相应定义为制度势能的变化量，记作
，制度势能的主要影响因素包括水政策、水法规等。则水资源势能可以表示为
从式（2.16）可以看出，水资源量的运动方向由三种作用力的合力决定，即地理势能、效率势能和制度势能。
2.2.5 水资源分势
概括地讲，水资源系统在一种动态的平衡状态下，由于系统外部环境的改变，导致系统状态偏离平衡状态，而在这三种力的合力作用下，使得系统内的各种物质、能量和信息产生流动，形成的结果就是系统的水资源运动状况的调整，最终达到系统内的各个节点具有相同的水资源势能，这时整个水资源系统达到了一种新的动态平衡状态，从而实现水资源量的运动和流域演化的推动。
根据前述水资源势能理论，定义水资源分势能，包括地理势能、效率势能和制度势能。
2.2.5.1 地理势能
地理势能是由于地理位置变化而引起的水资源势能变化，主要目的是模拟用水对象距离水源地越近，直接引水越便利。其示意图如图2.6所示。
图2.6 地理势能示意图
用公式表示为
式中：
为地理势能；l为该点以上主河道河长；F为该点河道平均过水断面面积，是一个随着用水对象社会经济发展变化的物理量，是水利工程投资量和需水量的函数；Fs为主河道平均过水断面面积，对确定的流域，是一个常数。
河道平均过水断面面积F的公式可以表示为
式中：wvi为i用水对象水利工程投资量；
为流域总水利工程投资量；wtai为i用水对象需水量；
为流域总需水量。
考虑势能量纲，式（2.17）改写为
式中：kz为地理势能单位转换系数；φz为转换后的地理势能。
假设河道过水断面面积无变化，从式（2.19）可以看出，φz随着l的增大而增大。因此，距离水源地越近，用水对象的地理势能越小，反之亦然。由于距离水源地越近，用水对象越靠近流域上游，因此，在其他势能保持不变的条件下，上游的用水对象分配到较多水资源。实际上，在自然（水资源使用权制度没有形成）状态下，由于地理位置的差异，上游用水对象对下游用水对象来讲，具有优先得到水资源的权利。
2.2.5.2 效率势能
效率势能是由于人类利用水资源的效率提高而导致用水对象的水资源势能减小。某点的水资源利用效率越低，效率势能越大。
式中：
为效率势能；S为效益，以工业总产值或GDP表示；R为单位用水效益。考虑量纲，式（2.20）改写为
式中：ke为效率势能单位转换系数；φe为转换后的效率势能。
假设系统效率无变化，φe随着S的增大而减小。效益变化越大，用水对象的效率势能越小。在其他势能保持不变的条件下，效益大的用水对象分配到更多的水资源。
2.2.5.3 制度势能
制度势能是除了人类生产生活直接利用以外的其他条件变化引起的水资源势能的增加。制度势能主要是由于水资源使用权的变化而引起的。
式中：
为制度势能；A为水资源使用权。
考虑量纲，式（2.22）改写为
式中：ka为制度势能单位转换系数；φa为转换后的制度势能。
制度势能与水资源使用权成反比。水资源使用权越大，制度势能越低，水资源使用权大的用水对象分配到更多的水资源。
修正后的水资源总势能为
水资源势能的三个分势能在实际问题中并不是同等重要的。以黄河流域为例，在“87分水方案”以前，地理势能和效率势能起主要作用；在“87分水方案”之后，制度势能和效率势能起主要作用。因此，在没有水资源使用权的流域，地理势能和效率势能是主要的，制度势能一般不予考虑；对于具有水资源使用权的流域，制度势能是水资源势能的主要组成部分。
没有水资源使用权的流域，水资源势能为
具有水资源使用权的流域，水资源势能为
