1.3.4　立体的投影

根据基本几何体表面的几何性质，立体可分为平面立体和曲面立体。立体表面全是平面的立体称为平面立体，立体表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体。

1. 平面立体的投影

平面立体的各个面都是平面多边形，用三面投影图表示平面立体，可归纳为画出组成立体的各个表面的投影，或者画出立体上所有棱线的投影。需要注意的是，在作图时，可见棱线应画成粗实线，不可见棱线应画成虚线。

如图1-30所示，五棱柱的顶面和底面平行于H面，它们在H面上的投影反映实形，且重合在一起，而它们的正面投影及侧面投影分别积聚为水平方向的直线段。

五棱柱的后侧棱面EE1D1D为一正平面，在正平面上投影反映其实形，EE1、DD1直线的正面投影不可见，其水平投影及侧面投影积聚成直线段。

五棱柱的另外四个侧棱面都是铅垂面，其水平投影分别积聚成直线段，正面投影及侧面投影均为比实形小的类似形。

立体图形距离投影面的距离不影响各投影图形的形状及它们之间的相互关系。为了作图简便、图形清楚，在以后的作图中省去投影轴，如图1-31所示。

在立体表面上取点，就是根据立体表面上的已知点的一个投影求出它的其他投影。由于平面立体的各个表面均为平面，所以其原理与方法与在平面上取点的原理和方法相同。

2. 回转体的投影

常见的回转体有圆柱、圆锥、圆台、球、圆环等，回转体也是曲面立体。构成回转体的表面称为回转面。回转面是由一条母线（直线或曲线）绕某一轴线回转形成的曲面，母线在回转过程中的任意位置称为素线，母线各点运行轨迹皆为垂直于回转体轴线的圆，如图1-32所示。

图1-33是圆柱体的三面投影，圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面，水平投影反映实形；正面和侧面投影重影为一条直线；圆柱面用曲面投影的转向轮廓线表示。

3. 截切体的投影

如图1-34所示，正六棱柱被平面P截为两部分。其中，用来截切立体的平面称为截平面；立体被截切后的部分称为截切体；立体被截切后的断面称为截断面；截平面与立体表面的交线称为截交线。

尽管立体的形状不尽相同，截平面与立体表面的相对位置也各不相同，由此产生的截交线的形状也千差万别；但所有截交线都具有以下基本性质。

• 平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点。

• 由于平面立体的表面具有一定范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形。

• 多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与截平面的交点，多边形的各边是平面立体的棱边与截平面的交线或截平面与截平面的交线。

在具体应用时，通常利用投影的积聚性辅助作图。

【实例解读】

如图1-35（a）所示，求作五棱柱被正垂面Pv截断后的投影。

（1）分析。

截平面与五棱柱的5个侧棱面均相交，但与顶面不相交，因此截交线为五边形abdec。

（2）作图。

① 由于截平面为正垂面，所以截交线的V面投影a'b'c'd'e'已知。因此截交线的H面投影五边形abdec已确定。

② 运用交点法，依据“主左视图高平齐”的投影关系，作截交线的W面投影a''b''c''d''e''。

③ 五棱柱截去左上角，截交线的H面和W面投影均可见。截去的部分，棱线不再画出，但有侧棱线未被截去的一段，在W面投影中应画为虚线。

④ 检查、整理、描深图线，完成全图，如图1-35（b）所示。

4. 两曲面立体相交投影

立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线，如图1-36所示。

由于立体分为平面立体和曲面立体，所以两立体相交可分为以下三种情况。

（1）两平面立体相交：相贯线一般是封闭的空间。

（2）平面立体与曲面立体相交：相贯线是由若干平面曲线或直线围成的空间。

（3）两曲面立体相交：相贯线一般为封闭的空间曲线。

相贯线是相交两立体表面的共有线，由两立体表面的一系列共有点组成，因此，求解相贯线的作图可以归结为找共有点的作图。下面主要讨论两回转面立体相交的情况。

【实例解读】

如图1-37（a）所示，求切割后圆锥的投影。

（1）分析。

根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置确定截交线的形状：切割后的圆锥可以看作被Pv、Rv、Qv三个平面所截的结果。Pv和Rv两平面都垂直于轴线，其截交线为圆；Qv平面过锥顶，其截交线为两条素线。

根据截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影：Pv平面与Rv平面为水平面，截交线水平投影为实形圆，其他两个投影积聚为直线；Qv平面为正垂面，截交线正面投影重合为一条直线，其他两个投影为三角形。

（2）作图。

① 求特殊点：1、5、6三点为Rv平面与圆锥表面相交的点；2、3、4三点为Pv平面与圆锥表面相交的点；同时，3与4、5与6又分别为Rv平面与Qv平面、Pv平面与Qv平面相交的点。根据各点的正面投影先求出其水平投影，再求其侧面投影。

② 本题不需要求一般点。

③ 连点并判别可见性：所有点全部可见。

（3）检查、整理、描深图线，完成全图，如图1-37（b）所示。