广义相对论首胜：水星轨道额外进动43角秒

到了1912年夏天，爱因斯坦终于决定采用适当的数学形式来表述自己的新猜想。由于不懂非欧几里得几何，他请求数学家、大学时代的朋友马塞尔·格罗斯曼帮助自己，以应对这种错综复杂的新型数学。“格罗斯曼，”爱因斯坦刚到老朋友在苏黎世的家时就喊道，“你一定要帮我，否则我会疯的。”爱因斯坦选对了人。正是格罗斯曼向爱因斯坦提议，他的理论最适宜于用一种特殊的几何语言——黎曼几何来表达。这种几何语言最初由德国数学家波恩哈德·黎曼于19世纪50年代创建，后来由德国和意大利的几何学家进一步发展并完善。爱因斯坦于1914年搬迁到柏林后继续自己的研究，并对狭义相对论进行了大刀阔斧的修改和调整。在此期间，他已在研究中采用了格罗斯曼向他推荐的黎曼几何。

爱因斯坦的进展很缓慢。次年，他变得越来越沮丧。他当时的理论还不能准确地解释水星轨道的特殊进动。通过早期对广义相对论的思考，爱因斯坦知道，新的引力理论必须能解释这种进动。

为什么呢？我来解释一下吧。水星是一颗距离太阳大约5 800万千米的行星，它围绕着太阳旋转，这和其他所有行星一模一样。然而，行星们的运行轨道并不是完美的圆形（根据开普勒的发现），而是呈椭圆形。考虑到这一点，你可以把行星轨道想象成一个被拉扁的圆环。这个圆环离太阳最近的点被称为“行星的近日点”，它会随着时间的推移而发生变化。水星的近日点每百年向前移动574角秒（约为轨道周长的0.04%）。这种微小的进动主要是水星与其他行星互相作用的结果，也就是说，其他行星的引力合力改变了水星原有的轨道，但这个因素只占其中的531角秒。其余的43角秒（据今天所测量到的）原因不明，天文学家时过多年仍未能揭开其神秘面纱。牛顿定律虽不能解释这个难题，但至少给出了太阳系的结构。水星轨道的特殊进动使得一些人推测，金星可能比先前认为的更重，或者水星有颗微小的卫星。最流行的解决方案是，还有一颗行星比水星更接近太阳，它被称为“火神星”⁽²⁾，是这颗行星的引力对水星的轨道发生了作用。甚至有人报告说，他们观测到了火神星，但没有一例报告是真实可信的。

爱因斯坦试图用广义相对论解释水星轨道那个额外的小引力推动问题，一次性终结一切。他的方程早在1915年初就已建立，当时这个方程预测的水星轨道额外进动值是每百年18角秒，但后来人们测量到的需要确认的额外进动值是这个值的两倍多。爱因斯坦在沮丧之余，着手复查以前的演算过程。就在那时，他注意到，他与格罗斯曼早先一起推导的一个计算步骤有误。这个有误的算法曾被他们两人放弃，但爱因斯坦考虑重新启用这种算法。他开始修改方程。在修改的过程中，他还发现了早期的另一些错误。多年来的辛苦和烦恼即将结束。

他的主要成就是在1915年11月取得的。在11月的每个星期四，他都会向普鲁士科学院汇报他的研究进展。11月11日，在第二次向科学院提交报告后不久，他就取得了突破。在那个星期，他终于成功计算出水星轨道的额外进动值。后来他写信给一个朋友说，看到这个结果，他的心都要跳出来了：“我那几天简直欣喜若狂。”这是广义相对论的第一次成功应用，与现实世界实现了完美对接。除此之外，爱因斯坦的新方程还预言，星光经过太阳时会发生偏折，偏折角度是他早些时候计算数值的两倍（相当于牛顿理论所预言的数值的两倍）。由于牛顿理论只考虑了空间，爱因斯坦则明白引力同时影响着空间和时间，因此有加倍的作用。

11月25日，爱因斯坦终于迎来了他的胜利日。就在这一天，他向普鲁士科学院提交并介绍了他题为《引力场方程》（The Field Equations of Gravitation）的总结性论文。在这次发言中，他说明了他是如何通过添加一个术语，来完成对狭义相对论的最终完善的。终于，在他的新理论中⁽³⁾，任何参考系都不再特殊⁽⁴⁾。爱因斯坦真真正正、无可置疑地得出了广义相对论。为期一个月的疯狂计算让他疲惫不堪。不久后，爱因斯坦在给老朋友米歇尔·贝索的信中这样写道：“（我）最大胆的梦想现在已经实现。”署名为“你心满意足却精疲力竭的阿尔伯特”。