4.1.3 矩阵及矩阵的运算

在讨论“矩阵”的概念之前，读者需要先了解“线性方程组”的概念。线性方程组分为“n元非齐次线性方程组”和“n元齐次线性方程组”两种。n元非齐次线性方程组是指由n个未知数、m个方程组成的方程组，其中，a_ij是第i个方程的第j个未知数的系数，b_i是第i个方程的常数项，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。当常数项b₁，b₂，…，b_m不全为0时，该方程组被称为“n元非齐次线性方程组”，示例如下：

反之，当b₁，b₂，…，b_m全为0时，该方程组被称为“n元齐次线性方程组”，示例如下：

“n元线性方程组”往往会被简称为“线性方程组”或“方程组”。解的概念也在4.1.1节中提到过。既然知道了矩阵可以用来求解方程组，那么接下来就来介绍矩阵的定义。

由m×n个数a_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的m行n列的数表加上中括号后得到如下式子：

上式被称为m行n列矩阵，简称为“m×n矩阵”。

若组成矩阵的元素全是实数，则称为“实矩阵”；若全为复数，则称为“复矩阵”。行和列都为n的矩阵称为“n阶方阵”。只有一行的矩阵称为“行矩阵”或“行向量”，示例如下：

A=[a₁ a₂ … a_n]

只有一列的矩阵被称为“列矩阵”或“列向量”，示例如下：

下面介绍几种不同类型的矩阵的概念，分别为“系数矩阵”、“未知数矩阵”、“常数项矩阵”和“增广矩阵”，示例如下：

式中，A是“系数矩阵”，x是“未知数矩阵”，b是“常数项矩阵”，B是“增广矩阵”。

紧接着介绍对角阵，构成矩阵Λ的主对角线的数字全不为0，而其他的元素全为0，则称为“对角阵”，示例如下：

而主对角线的数字全为1的对角阵称为“单位阵”，记为E，示例如下：

不仅是线性方程的求解需要借助矩阵运算，众所周知，图像在计算机上显示为二维的像素点阵，想要将图像旋转，也需借助矩阵运算，实际上是先将二维的像素点阵转化为2阶矩阵，再通过矩阵乘法计算。在此之前，读者还需要了解矩阵的相关运算法则。

先来看矩阵的加法运算，设有两个m×n的矩阵A=（a_ij）和B=（b_ij），那么它们的和记为

只有当矩阵A、矩阵B和矩阵C都是m行n列时，A和B才可以相加，且需要符合以下两条规则。

（1）A+B=B+A。

（2）(A+B)+C=A+(B+C)。

同时规定矩阵的减法运算为A-B=A+（-B），即将矩阵B中的值全部加负号和矩阵A相加求和。下面来介绍数与矩阵的乘法以及矩阵与矩阵的乘法。

数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，式子如下：

数与矩阵的乘法满足下面的规则（假设A、B为m×n的矩阵，λ、μ为数）。

（1）(μλ)A=μ(λA)。

（2）(μ+λ)A=μA+λA。

（3）μ(A+B)=μA+μB。

矩阵相加和数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

这里以一个2×3矩阵与一个3×2矩阵相乘为例，介绍矩阵与矩阵相乘的用法，示例如下：

由此可以得出结论：设A=（a_ij）是一个m×s矩阵，B=（b_ij）是一个s×n矩阵，那么矩阵A与矩阵B相乘的结果必定是一个m×n矩阵，记为C=（c_ij），并且满足

需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，当然这只是在通常情况下。若满足AB=BA这一条件，就称“矩阵A与矩阵B是可交换的”，而这只是一个巧合。矩阵乘法虽然不满足交换律，但是满足结合律和分配律，即

（1）(AB)C=A(BC);

（2）λ(AB)=(λA)B;

（3）A(B+C)=AB+AC;

（4）E_mA_m×n=A_m×n=A_m×nE_m（可简记为EA=A=AE，E是单位矩阵）。

还有一个概念是矩阵的转置，矩阵D的转置矩阵记为D^T。示例如下：

它的转置矩阵为

矩阵的转置作为一种单独的运算，遵循如下的运算法则。

（1）(A^T)^T=A。

（2）(A+B)^T=A^T+B^T。

（3）(λA)^T=λA^T。

（4）(AB)^T=B^TA^T。

若B^T=B，则称矩阵B是“对称矩阵”，简称“对称阵”，它的特点是元素以对角线为对称轴对应相等。

下面介绍方阵的行列式：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记为detA或|A|。

需要注意的是，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n²个数按一定方式排列成的数表，而n阶行列式则是这些数构成的数表A按一定运算法则得到的一个数。方阵的行列式的运算法则如下。

（1）|A^T|=|A|。

（2）|λA|=λⁿ|A|。

（3）|AB|=|A||B|。

下面介绍“伴随矩阵”。行列式|A|的各个元素的代数余子式A_ij所构成的如下矩阵：

称为矩阵A的“伴随矩阵”，简称“伴随阵”，记为A^*。

同样地，根据伴随矩阵的性质，其满足如下公式：

A^*A=|A|E

“逆矩阵”又被称为“逆阵”。假设矩阵A可逆，那么矩阵A只有一个逆矩阵，且满足如下式子：

AB=BA=E

其中，E是单位阵，A是示例矩阵，B是矩阵A的逆矩阵，也可记为A^-1，即B=A^-1。逆矩阵具有如下性质：

其中，A^*是矩阵A的伴随矩阵；A^-1是矩阵A的逆矩阵；|A|是矩阵A的行列式。这里有一个关于逆矩阵的重要推论：若AB=E或BA=E，则B=A^-1，这也印证了在开始讲解逆矩阵时的说法。

克拉默法则是用来求n个n元线性方程组的。这里使用本节开头所示的线性方程组，具体如下：

如果上式的系数矩阵行列式不等于0，那么齐次方程组有唯一解，如下：

其中，A_j（j=1，2，…，n）是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后得到的n阶矩阵，如下：