②富比尼原理（算两次原理）

我们可否算出某些东西的数目，但却是用完全不同的方法去算出来？

1932年洛杉矶奥运中，一万米比赛的跑者必须在环状跑道上持续跑了许多圈之后，再多跑一圈，因为裁判算错了圈数。大家发现了这个错误后，就以最后一圈的实际结果来计算成绩，这让第2名和第3名的名次发生了变化。为此，美国选手约瑟夫·麦可斯基（Joseph McCuskey）拒领银牌，他说，这面奖牌应当让给英国选手汤姆·艾文生（Tom Evenson）。

哪一个孩子排行老大、老二、老三或老几，是依照出生顺序来决定的。

——引用自德国联邦就业局的公告

从逃跑的角度来看：墨西哥塔加纳（Tagara）监狱唯一的人犯卡罗·米塔布（Caro Mitrabu），有个合乎情理的潜逃动机。在他越狱后，警卫在他的牢房里发现一张纸条，上面写着：“我真的很厌烦了！每天要集合点名三次！”

——亚历山大的笨蛋：挫折，对生活本身的描述

许多世纪过去后，人们才了解到，一对雉鸡就跟两天一样，都是2这个数的例证。

——罗素（Bertrand Russell）

引自数字的历史

数字是抽象的概念，最初是用来当作计数的工具。计数是人类的基本活动；计数的能力，最早可以追溯到文明之初。计数的发展历史差不多就跟语言一样古老，数字（数码）的存在也跟文字一样久远。通过计数的进一步发展，数字系统便应运而生。从古至今，使用的数字系统有很多种，且各有各的文化特征。我们就先按年代顺序来简单介绍一下数字和数字系统。

数学家的日常缩影

一家企业正在举行面试，人事主管要求应征者只须从1数到10。电子工程师开始数：“0001、0002、0003、0004、……”人事主管把他打发走：“麻烦下一位！”

接着是数学家：“我们定义数列a(n)，令a(0) = 0，a(n + 1) = a(n) + 1。”人事主管翻了翻白眼，就要下一个应征者进来。

电脑工程师数着：“1、2、3、4、5、6、7、8、9、a、b、c……”即便如此，人事主管还是不满意。

最后一个应征者是社会学家：“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。”人事主管高兴极了：“就是你，你得到这份工作。”社会学家非常开心地说：“我还可以继续数，杰克J、王后Q、国王K。”

人的10根手指成了十进制的基础，如果连脚趾也用上，就变成二十进制。替每个数字都给予一个专属的符号，显然是不实用的，所以早期发展出来的记数方法，都会尽量以少数几个符号来代表许多数字。最古老的计数记录，是在木材上的缺口发现的（“你在木头上留下了什么吗？”），而且吻合现今西方计数符号的模式，例如IIIII IIIII IIIII III。

当数目变得较大时，大家就发现这种方法很没有效率，必须将较大的数目并成一捆。古埃及人在公元前3000年就开始使用象形文字，他们把10的次方数捆在一起。他们用以下符号来表示：

他们后来又增加了几个符号，并用一个代表更大的数目的符号，来取代十个相同的图案。譬如说，下图就代表5 322这个数目：

巴比伦人大约在公元前3000年，第一次使用位值系统：一个数字的值，取决于它所在的位置。我们今日所用的十进制，也是位值系统的例子。但是巴比伦人的位值系统，底数不是10，而是60。我们并不知道为什么巴比伦人要采用60，背后的原因可能与重量的制度有关。今日我们把一小时划分成60分钟，一分钟分成60秒，也是源自巴比伦人所使用的方法。假如巴比伦人是以10为底数，今天的时间划分很可能就会是一天有10小时，一小时有100分钟，一分钟有100秒。

Ah ju launtsam tunait？

几个月前，位于柏林的“重新设计德国”集团开始进行工作。该集团的清楚目标为：德国在各个领域的重组。随着新时代和新语言的开始，就是所谓的简单化德语，已经开始进行了。

——《南德日报》，2001年10月12日

下面是摘自“重新设计德国”集团宣言的几段话：

“重新设计德国”是用简单化德语来取代传统德语。简单化德语简化了德语的文法，使其易于学习，同时不需要有基础的知识就能够花更少的时间来学习。

“重新设计德国”在所有领域实施十进制。1天有100小时，1小时有100分钟，1年有100天。

对此有何评论？就像是强迫托尔斯泰复活啊！

巴比伦人的六十进制，只需要两个符号：楔形和钩形。他们把这些符号用方角笔刻在潮湿的陶板上，然后放着让它干燥或是烧冶。这种方式非常利于永久保存，因此直到超过五千年后的今天，依然有成千上万的巴比伦陶板留存下来。

楔形代表数字1，钩形代表数字10，到59之前的数字都重复使用这些符号来写，例如下面这个符号：

就代表24这个数目。

超过59之后，就要应用这个重要的原理了。在我们的十进制系统中，当最右边的个位数填满了就进位，巴比伦人的系统则是到59。我们现代所使用的数阶为1=100、10=101、100=102等等，在巴比伦人的六十进制制，就会是1=600，60=601，3 600=602，216 000=603等等。以694为例，就可写成694=11⋅60+34：

3241这个数在十进制的记数法事实上是3⋅103+2⋅102+4⋅101+1⋅100，同一个数也可以写成六十进制。为了感觉一下巴比伦人空前的成就，你可以把自己的出生年份用六十进制写下来！

尽管它是巴比伦人的伟大成就，这个计数系统还是有一个问题存在：巴比伦人没有零的概念，至少，他们最初并没有为零准备任何符号。现今我们能够使用零来区分32与302和320这三个数，并不是因为巴比伦人的功劳。例如下面这个数串：

可能表示21，也可能代表21⋅601或21⋅602等等。到底是指哪个数目，巴比伦人必须从上下文来推断，因为缺少了零让数字的位值暧昧不清。直到后来，巴比伦人才引进了一个符号，来代表空格。

大约从公元前1000年，中国人就开始使用算盘，并且利用竹子做成的小竹棍（算筹）来代表数字。这种系统化的记数法直接代替了文字，变成竹棍数码。而利用这些小竹棍来做演算，叫作筹算。

玛雅人和阿兹特克人采用了以20为底数的计数系统，把数字1到4用点来代表，而5、10、15则以横线来表示，至于零，他们用了贻贝的符号：

其余的数字就要靠位值系统，并把符号堆栈在一起。

数字213=10 × 20+13 × 1就会表示成：

罗马数字的历史可以追溯到古罗马帝国时代，起源时间可追溯到公元前8世纪。

罗马数字是由七个符号，并根据加减法的组合规则所形成。使用到的符号为I=1，V=5，X=10，L=50，C=100，D=500，M=1 000。

·相同的数字相邻，就相加，但最多只允许三个基本数字相邻（XXX=30）。

·较小的数字放到较大的数字右边时，代表相加，若放在左边，则代表减去（如XXXI=31或IXXX=29）。中间数码（即V、L、D）不得当减数。

·基本数码I、X、C，只能从下一个更大的中间数码或基本数码来减（MDCCCXLIV=1 844）。

罗马帝国结束后，罗马数字仍继续在中欧地区使用到大约12世纪。今天你还可以在手表表面与公元年看到罗马数字，特别是在建筑物上，在版权声明中，以及书里的章节编号和条例项目，西方人还会用来区分同名同姓的人，例如Benedikt XVI（本笃十六世）。

希腊最早的数字系统始于公元5世纪，使用的符号与罗马数字相似：

I（单一线条）= 1

∠（从pente这个字而来）= 5

∅（从deka这个字而来）= 10

H（从hekaton这个字而来）= 100

X（从chilion这个字而来）= 1 000

M（从myrioi这个字而来）= 1 0000

希伯来人的数字系统里，利用了22个希伯来字母来表示到400为止的数目。在《塔木德》中，是把大于400的数目直接记为相加的形式，例如700=400+300。

即使只是概括讨论计数的历史，也不能不提公元前3世纪在印度出现的婆罗米（Brahmi）数字，今日我们所使用的数字1至9，就是从这套系统发展出来的。大约在公元600年，印度人发明了零的概念，这个贡献实在是难以用言语形容。印度的数字和十进制的概念，最早是经由波斯数学家、天文学家兼地理学家花剌子密（al－Chwarizmi，约公元780—840年），传播到阿拉伯人所占领的领土，后来又由意大利数学家斐波那契（Fibonacci，本名比萨的雷奥纳多，约1170—1240）传至欧洲。斐波那契在他的《计算之书》中使用了这些数字，书中是这么开头的：

“印度的新数字符号是：

9 8 7 6 5 4 3 2 1

有了这些新的数字和0这个符号，阿拉伯人称之为zephirum（零），就可以写下任何一个数目。”

这套记数系统是目前世界上最为普遍的，这是人类史上最为开创性的发现，是征服了全世界、连接了各种文化的一项成就，是当今唯一的、真正的世界共通语言。数字已不再只是服务的功能；数字可以创造出新的真理。

偶尔，我们还是找得到古代传统计数系统的遗迹或奇特的地理特色。阿尔及利亚和贝宁境内的约鲁巴族（Yoruba），至今仍在使用复杂的二十进制，然后再利用一套加减运算法来记数。以下是一些例子：

35=2 × 20−5 47=3 × 20−10−3

51=3 × 20−10+1 55=3 × 20−5

67=4 × 20−10−3 73=4 × 20−10+3

约鲁巴族的数字1到10就代表自己，数字11至14是靠加法产生的（即11=10+1，以此类推），相反的，15至19则是由20做减法来产生：例如15=20−5。数字21至24，再次由加法规则产生，而25到29又是由30来做减法。这种模式一直持续到200，然后这种结构就终止了。

巴布亚新几内亚的欧克沙明（Oksapmin）文化，使用了上半身的27个部位来代表数字，这个数列始于一只手的大拇指，以另一只手的小指头作结。

在许多语言中，数字的书写与口述之间经常是不一致的。在法文中，95这个数字念成quatre-vingt-quinze，意思是“四个20加上15”。英国韦尔斯人把18说成“两个9”，法国布列塔尼人则说成“三个6”。丹麦人对数字60的说法是tres，从词源来看这个词可理解成“三个20”（tre snes）的缩写版；而halvtreds这个词（从最后面的20算来，只有一半，也就是halv）意指50。

在金邦杜语这种班图语中，7的说法是sambuari，字面意思是“5+2”，其原始的含义在修辞学中委婉的意义是用来替代7这个数字，因为禁忌的原因。非洲的尼姆比亚方言（Nimbia）采用十二进制的系统，144这个数目是12的12倍，念成wo。这些词真是了不起啊！

每一种计数法都是根据一种抽象化过程，必须经过一番努力才得以建立起来—而这个过程的结果，例如把两堆不同东西的数量都叫作2，也不是一蹴而就。偶尔我们会找到过去留下的遗迹。譬如在斐济群岛，他们用bole这个字表达“10艘船”，要说“10颗椰子”时却用另一个字karo。

数算当然是数字系统最基本的功能之一。最简单的计数行为，就是重复加1，而计数的目的通常是要看看东西的总量有多少，或是要从一堆东西里抽出我们想要的数量。有什么能比数算更容易？

然而，事情并非如此简单，因为我们还需要“零”才有办法数算，但正如前面提到的，一直要到13世纪“零”才传到欧洲。正因如此，直到中世纪，欧洲人在计算空间距离和时间间隔时，是把头尾都包含在内，于是从“今日”到“今日”算作1天，从“今日”到“明天”则是2天。一些古老的文本上仍然保留着这种算法，譬如“在8天里”这个说法意指一周，但事实上是7天。类似的例子还有法文中的quinze jours，意思是2周，但字面上直译为“15天”。

《圣经》上也可以找到一个有趣的例子。《圣经》记载耶稣是在第三天复活，不过他是在星期五下午死亡，经过星期六晚上，然后在星期日的夜里复活。在犹太教里，星期六晚上就算成是星期日。星期日是在星期五的两天后，按照包含头尾的算法就是第三天。若照着《圣经》的算法，把复活节星期日计算在内，那么就要在复活节后40天庆祝耶稣升天节，但以现代的算法则是只经过了39天。圣灵降临节也是同样的情形，若以今天的算法，是复活节过后的第49天，但以古法来算的话却是第50天。针对中世纪以前的历史研究，总是得处理这种包含头尾的算法。我们不能直接相加算出各君王的在位时间，始末之年可能都会重复计算。

即使到了今天，音乐上的音程（interval）依然是以包含头尾的算法来计算的。这就表示，intervallum这个拉丁词是名副其实的。音程的名称也是把头尾两音都算在内。因此，以现代的算法来看，一度音程的距离为0，二度音程的距离是1个音，三度的距离为2个音，八度的距离为7个音。

人类的交流互动与数字脱不了关系：没有了数字，贸易、建筑、运动就会变得无法想象。数字除了是计数的工具，也是细分大数目的工具。我们该如何将空间、时间、物质、能量和其他的量加以分割，以便计算和测量？哪些数字特别适合呢？

人类将日与夜分成12小时，1小时切成60分钟，把一个圆分割为360度。这是为什么？这么做原因何在？说到细分，有些数可以被很多数整除。在数学上，这些数称为高合成数；说得更具体些，这种数的特点就是，能够把它整除的因子，数目多过小于它的数的因子，同时也多过可整除它的两倍数、但无法整除它本身的那些因子的个数。很显然，一个数的两倍数带有的因子，一定会比原数的因子来得多，因为多了质因子2。有趣的是，照这样说来高合成数只有六个，即2、6、12、60、360、2 520。对许多实际用途来说，2和6两数太小，2 520又太大了。然而12、60、360相对于自身的大小来说，有很多因子，所以特别适合做分割与测量。

实验数学：测量，徒手实做

拇指跳眼法很简单，可用来测量本身和物体之间大概的距离。你可以借由大拇指来估算距离。它的原理相当简单，就是靠视线范围上的横向跨距，来估计距离深度。使用一些几何知识和几个小技巧，就可以间接量出物体的距离。

下面是步骤说明：手臂向前伸直、握拳，然后竖起大拇指，闭上左眼，靠着右眼让拇指对准目标。接着再闭上右眼，睁开左眼看向拇指，这时你会发觉拇指的位置往右跳了，我们令所跳的距离为s，如图21所示。

a是两眼瞳孔间的距离，d是手臂伸直后从眼睛到大拇指D的联机距离，s是已知或估计出的距离，而x是欲求出的未知距离。

根据我们从学校中已学过的截距定理：x/d = (s/2)/(a/2) = s/a；化简后可得x = s · (d/a)。

d/a这个比例当然因人而异，但绝大多数会落在9 : 1到12 : 1的范围内。为了获得最佳结果，必须事先自行测量出来。通常10 : 1就够精确了。无论如何，拇指跳跃法只是一种经验法则─你想称它拇指法则也行。

当然，我们可以用不同的方法来数算。但对于给定的问题，不同的算法应会得出相同的结果。在还没有计算器的时代，记账人员在没有计算机之前，就是用这个简单的想法。在算出账目表的总数时，他们会先算出各行小计的加总，再比对列的总计。如果账目是对的，行与项的总计会相等。以图形的方式可表达如下：

这个简单且简明扼要的观念，是一些数学技巧与证据的基础，往往又会与更复杂的观念作结合。所以，我们把这个由数字、计数、记数系统带来的轻松表演，定为第二个思考工具。这是最早的定量原理之一：

如果一组对象以两种不同的方法来计数，那么结果会是一样的。

这个事实十分基本，学龄前的孩童都可以理解，但借着巧妙的应用，也可以从中获得很有趣的知识。我可不是在开玩笑。我们马上就要化身成磨坊主人的女儿，将稻草纺成金子①。

有个直接推导出的结果是：如果要算出不同数字的加总，按照哪种顺序或是前后次序来做加总，都无所谓。套用数学家的说法就是：加法有交换律和结合律。这并不是什么震惊世界的事，再正常不过了。

投诉栏

“我痛恨总数。将算术视为精确的科学，是极大的错误。譬如说，如果由上往下去计算总和，然后从下往上再计算一次，算出来的结果永远不同。”

——女读者投书，《数学学报》（Mathematical Gazette），1924年第12卷

我们现在要跳回到200多年前，看看这个简单原理的应用，这个应用本身很平凡，但就当时的背景来说令人印象深刻。同时我们也要以大史实中的一段小插曲，向我们的英雄表达敬意：

蓝色星球之星：高斯

1777年4月30日，高斯出生于德国的布伦瑞克（Braunschweig），父亲是屠夫，母亲是家庭主妇，家境非常贫困。高斯从小就展现了卓越的思考能力，许多近代数学家据此而把他视为有史以来最不凡的数学家。

七岁时，他进入圣凯瑟琳学校就读，他的老师布特纳（Johann Georg Büttner）非常严格。布特纳必须同时面对不同年龄的学生，因此经常给一些学生很长的数学题目去计算练习，以便腾出时间照料其他学生。有一次，他要一群学生，包括高斯在内，从1加到100。根据当时的惯例，学生们写完作业后，会把写字板交到一张桌子上，而老师会按照分数来排序。

老师出完题才过几秒钟，小高斯就已经在他的写字板上写好答案，交到桌子上，还在旁边写下“因为就是这样！”这几个字。布特纳在整整一个小时里，都带着难以置信、愤怒和恶意，无视于高斯的表现，此时高斯则是双手交叉，保持着不受老师干扰的态度，坐在自己的座位上等其他同学继续计算。高斯的写字板上只有一个数字，而且是正确答案。高斯并不是直接去求解问题，而是靠着横向思维，把问题由繁化简成简短的计算。他已经展露了深刻的数学直觉，终其一生都不曾失去。在高斯向老师解释自己的思考方法之后，布特纳看出眼前这位学生是天才。而神童高斯的美誉随即传遍整个布伦瑞克。

高斯怎么这么快就能从1加到100？

他的策略根据的就是我们的第二个思考工具。

首先要做个小调整，以便使用思考工具。把这些数字写两次，而不是只写一次，这是灵光乍现，但也因此更加容易相加。我们把它写成上下两行：

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

100 + 98 + 98 + 97 + … + 3 + 2 + 1

然后我们把上下两个数相加，而不是逐行加总。第一列的相加结果为1+100=101，而第二列为2+99=101，第三列为3+98=101，以下类推。很明显的，重点在于把它变成100个101的总和。结果就得到100⋅101=10100，而这是从1加到100的总和的两倍。因此，从1加到100的总和是：

1 + 2 + 3 + … + 100 = 10100/2 = 5050

又快又巧妙。

也就是说，高斯发现了另一种求和的方法，在这个方法当中，每一组数字和的值永远相同，而且有多少组也很清楚。这正是富比尼原理简单却极为巧妙的应用。

如果我们用图像来表示高斯策略的一般情形1+2+ … +n=n（n+1）/2，就是：

我们就以另一个漂亮的例子来结束这一章。

假设我们要从一个有n名学生的班级里，选出学生代表派到校长那边去。如果学生代表的人数至少要有两位，有几种选法？

其中一个做法是，把学生代表人数有2或3或4……或n位的所有情形全算出来。这会是许多个别项的加总，计算起来很烦琐。另一个思考方法则是，每个学生都有2种可能：获选为代表，或者没有获选为代表。因此对n个学生而言，就会有2n种可能。但在这种算法中，只含一位和全班n位都含进去的情形都算进去了。这两种情形必须扣掉，所以总共有2n−n−1种选法。

[①　编按：典故出自《格林童话》。]