2.3 光的传播特性

威廉·亨利·布拉格，不向贫穷低头，穿着破皮鞋努力奋斗成功

威廉·亨利·布拉格，年轻时在威廉皇家学院求学。

在威廉皇家学院读书的年轻人，大多是富有人家的子弟，衣着很讲究，唯有身材还较矮小的布拉格衣衫褴褛，拖着一双比他的脚大得多的破旧皮鞋。

尽管布拉格品学兼优，但一些纨绔子弟见他这套装束，不仅讥刺他，而且诬蔑他，硬说这双又破又旧的大皮鞋是偷来的。

有一天，老学监把他叫到办公室，两眼死死盯紧那双破旧的皮鞋。聪明的布拉格心里明白是怎么回事，便从怀里掏出一张小纸片交给学监。这是他父亲写给他的一封信，上面有这样几句话：

“儿子，真抱歉，但愿再过一两年，我的那双破皮鞋，你穿在脚上不再嫌大……我抱着这样的希望：一旦你有了成就，我将引以为荣，因为我的儿子正是穿着我的破皮鞋努力奋斗成功的。”

老学监看完后，慈爱地紧紧握住布拉格的手，深有感触地说：“孩子，对不起，我也误解了你。你的父亲虽然贫穷，但对你满怀希望。有一位好父亲，就是有一笔巨大的财富。你不要辜负他的希望，我也会尽力帮助你。”

威廉·亨利·布拉格与其威廉·劳伦斯·布拉格均为英国著名物理学家，通过对X射线谱的研究，提出晶体衍射理论，建立了布拉格公式（布拉格定律），并改进了X射线分光计。父子俩分享了1915年诺贝尔物理学奖。

2.3.1 光的反射、折射和全反射——光纤波导传光基础

光在同一种物质中传播时，是直线传播的。但是光波从折射率较大的介质入射到折射率较小的介质时，在一定的入射角度范围内，光在边界会发生反射和折射，如图2.3.1a所示。入射光与法平面的夹角θ_i叫入射角，反射光与法平面的夹角θ_r叫反射角，折射光与法平面的夹角θ_t叫折射角。

把筷子倾斜地插入水中，可以看到筷子与水面的相交处发生弯折，原来的一根直直的筷子似乎变得向上弯了，这就是光的折射现象，如图2.3.1b所示。因为水的折射率要比空气的大（n₁>n₂），所以折射角θ_t要比入射角θ_i大，所以我们看到水中的筷子向上翘起来了。

水下的潜水员在某些位置时，可以看到岸上的人，如图2.3.2中入射角为θ_i1的情况。但是当他离开岸边向远处移动，当入射角等于或大于某一角度θ_c时，他就感到晃眼，什么也看不见，此时的入射角θ_c就叫临界角。

现在考虑一个平面电磁波从折射率为n₁的介质1传输到折射率为n₂的介质2，并且n₁>n₂，就像光从纤芯辐射到包层一样，如图2.3.3和图2.3.5a所示，k_i、k_r和k_t分别表示入射光、反射光和折射光的波矢量，但因入射光和反射光均在同一个介质内，所以k_i=k_r；θ_i、θ_r和θ_t分别表示入射光、反射光和折射光方向与两介质边界面法线的角度。

入射光在界面反射时，只有θ_r=θ_i的反射光因相长干涉而存在，因入射光A_i和B_i同相，所以反射波A_r和B_r也必须同相，否则它们会发生相消干涉而相互抵消，所有其他角度的反射光都不同相而发生相消干涉。

折射光A_t和B_t在介质2中传输，因为n₁>n₂，所以光在介质2中的速度要比光在介质1中的大。当波前AB从介质1传输到介质2时，我们知道在同一波前上的两个点总是同相位的，入射光B_i上的相位点B经过一段时间到达B′，与此同时入射光A_i上的相位点A到达A′。于是波前A′波和B′波仍然具有相同的相位，否则就不会有折射光。只有折射光A_t和B_t以一个特别的折射角θ_t折射时，在波前上的A′点和B′点才同相。

如果经过时间t，相位点B以相速度υ₁传输到B′，此时BB′=υ₁t=ct/n₁。同时相位点A以相速度υ₂传输到A′，AA′=υ₂t=ct/n₂。波前AB与介质1中的波矢量k_i垂直，波前A′B′与介质2中的波矢量k_t垂直。从几何光学可以得到（见图2.3.3左上角的小图）

这就是斯奈尔定律，它表示入射角和折射角与介质折射率的关系。该定律由威里布里德·斯奈尔（Willebrord Snell）于1621年重新发现，图2.3.4为斯奈尔像。

现在考虑反射波，波前AB变成A″B′，在时间t，B移动到B′，A移动到A″。因为它们必须同相位，以便构成反射波，BB′必须等于AA″。因为BB′=AA″=υ₁t，从三角形ABB′和A″AB′可以得到

因此θ_r=θ_i，即入射角等于反射角，与物质的折射率无关。

在式（2.3.1）中，因n₁>n₂，所以折射角θ_t要比入射角θ_i大，当折射角θ_t达到90°时，入射光沿交界面向前传播，如图2.3.5b所示，此时的入射角称为临界角θ_c，有

当入射角θ_i超过临界角θ_c（θ_i>θ_c）时，没有折射光，只有反射光，这种现象叫作全反射，如图2.3.5c所示。这就是图2.3.2中入射角为θ_i2的那个潜水员只觉得水面像镜面一样晃眼，看不见岸上姑娘的原因。也就是说，潜水员要想看到岸上的姑娘，入射角必须小于临界角，即θ_i< θ_c。

由此可见，全反射就是光纤波导传输光的必要条件。光线要想在光纤中传输，必须使光纤的结构和入射角满足全反射的条件，使光线闭锁在光纤内传输。

对于θ_i>θ_c，不存在折射光线，即发生了全内反射。此时，sinθ_t>1，θ_t是一个虚构的折射角，所以沿着边界传输的光波称为消逝波。

2.3.2 光的衍射——单频激光器基础

波的一个重要特性是它的衍射效应。

举一个简单例子来解释这一原理，假设有两个相邻房间A、B，两个房间之间有一扇敞开的门。当声音从房间A的角落里发出时，则处于房间B的人所听到的这声音有如是从位于门口的波源传播而来的。对于房间B的人而言，位于门口的空气振动是声音的波源。

又比如，用防洪堤围成一个入口很窄的渔港，港外的水波会从入口处绕到堤内来传播，这种现象也是一种衍射现象。

1.光的衍射

衍射是波的一种共性，光也是波，所以光也有衍射。光的衍射是指直线传播的光可以绕射到障碍物背后去的一种现象。

1801年，英国物理学家托马斯·杨（Thoms·Young）进行了一个经典的双缝干涉实验，如图2.3.6所示，他把一支蜡烛放在一张开了一个小孔的纸前面，这样就形成一个点光源。在点光源的后面再放一张开了两道平行狭缝的纸，结果发现，在白色像屏上可以看到明暗相间的黑白条纹，如图2.3.6a所示。他遮住一个狭缝时，屏上只有一个红的光强均匀的光带；当两个狭缝均不遮掩时，屏上两个光带重合区出现了红黑交替的光带，红带相当明亮，其宽度相等；同时，各黑带的宽度也相等，并且等于红带的宽度。因此得出了光是一种波的结论，明亮的地方，那是因为两道光正好同相位，即它们的波峰和波谷正好相互增强，这就是所谓的“相长干涉”，结果造成了两倍光亮的效果，如图2.3.6b所示；而黑暗的那些条纹，则是两条光反相位，它们的波峰和波谷相对，即所谓的“相消干涉”，正好相互抵消了，如图2.3.6c所示。

与杨氏干涉的双缝设计不同，奥古斯丁·让·菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel，1788—1827年）采用小孔干涉实验，证实了光束通过小孔时，能够产生一圈圈明暗相间的同心圆，如图2.3.7所示。菲涅尔的干涉实验再一次有力证明了光的波动说，因此在1819年获得了巴黎科学院的大赛奖。

19世纪早期由托马斯·杨和菲涅尔所演示的双缝干涉实验和小孔干涉实验为惠更斯的理论提供了实验依据，这些实验显示，当光穿过网格时，可以观察到一个干涉光斑，与水波的干涉行为十分相似。

声波在传播过程中可以弯曲和偏转，光波也有类似的特性，例如一束光在遇到障碍物时也弯曲传播，尽管这种弯曲很小。图2.3.7a表示准直光通过孔径为a的小孔时发生光的偏转，形成明暗相间的光强花纹，称为弥散（爱里）环，这种现象称为光的衍射，光强的分布图案称为衍射光斑。显然，衍射光斑与光通过小孔时产生的几何阴影并不相符。

衍射可以理解为从小孔发射出的多个光波的干涉。我们考虑一个平面光波入射到长为a的裂缝中，根据惠更斯-菲涅尔（Huygens-Fresnel）原理，每个波前上没有被遮挡的点在给定的间隔都可以作为球面二次波光源，其频率与首次波的频率相同，在远处任一点光场的幅度是所有这些波的幅度和相位的叠加。当平面波到达裂缝时，裂缝上的点就变成相干的球面二次波光源，这些球面波干涉构成新的波前，是这些二次球面波波前的包络。这些球面波可以相长干涉，不仅在正前方向，而且也在其他适当的方向发生相长干涉，在观察屏幕上出现明亮相间的花纹。衍射实际上就是干涉，它们之间并没有什么区别。

可以把裂缝宽度a划分成N个相干光源，每个长δ_y=a/N，如果N足够大，就可把该光源看作点光源，如图2.3.7b所示。

小孔衍射的光斑是明暗相间的衍射花纹，如图2.3.7c所示。明亮区对应从裂缝上发出的所有球面波的相长干涉，黑暗区对应它们的相消干涉。

托马斯·杨和菲涅尔的故事

1773年的6月13日，英国一个教徒的家庭里诞生了一个男孩，叫托马斯·杨（Thomas Young）。他两岁的时候就能够阅读各种经典，到了16岁时已经能够说10种语言，并学习了牛顿的《数学原理》等科学著作。

托马斯·杨19岁的时候，去伦敦学习医学，研究了人体眼睛的构造，开始接触到了光学上的一些基本问题，并最终形成了他的光是波动的想法。

我们都知道，一列普通的水波，它有波峰和波谷，如果两列波相遇，当它们正好都处在波峰时，两列波叠加就会出现两倍的波峰值；当它们都处于波谷时，两列波叠加就会出现两倍深的谷底值；当一列波在它的波峰，另外一列波在它的波谷，两列波就会互相抵消，将会波平如镜，既没有波峰，也没有波谷。

托马斯·杨在研究牛顿环的明暗条纹时，被这个关于波动的想法深深打动了。为什么会形成一明一暗的条纹呢？一个思想渐渐地在杨的脑海里成型：用波来解释不是很简单吗？明亮的地方，那是因为两道光正好是“同相”的，它们的波峰和波谷正好相互增强，结果造成了两倍光亮的效果；而黑暗的那些条纹，则一定是两道光处于“反相”的，它们的波峰波谷相对，正好互相抵消了。这一大胆而富于想象的见解使托马斯·杨激动不已，他马上着手进行了一系列的实验，并于1801年和1803年分别发表论文，阐述了如何用光波的干涉效应来解释牛顿环和衍射现象。

在1807年，托马斯·杨总结出版了他的《自然哲学讲义》，综合整理了他在光学方面的工作，并在里面第一次描述了令他名扬四海的光的双缝干涉实验。

但是，托马斯·杨的著作开始受尽了权威们的嘲笑和讽刺，被攻击为“荒唐”和“不合逻辑”，在近20年间竟然无人问津。托马斯·杨为了反驳专门撰写了论文，但是却无处发表，只好印成小册子，但是据说发行后“只卖出了一本”。

但是，微粒说对一个简单的两个小孔衍射的实验结果却几乎无法反驳，为什么两道光叠加在一起反而造成黑暗。而波动说对此的解释却简单而直接：两个小孔距离屏幕上某点的距离是波长的整数倍时，两列光波正好互相加强，形成亮点。反之，当距离差刚好是半个波长的相位差时，两列波就正好互相抵消，形成暗点。理论计算出的明亮条纹距离和实验值分毫不差。

微粒说和波动说决定性的时刻在1819年终于到来了。1818年，一个不知名的31岁的法国年轻工程师——菲涅尔向法国科学院的一个悬赏征文竞赛组委会提交了一篇《关于偏振光线的相互作用》论文。在这篇论文里，菲涅尔采用了托马斯·杨关于光是波动说的观点，但是革命性地提出光是一种类似水波的横波而不是一种类似弹簧波的纵波。从这个观念出发，他以严密的数学推理，圆满地解释了光的衍射，并解决了一直以来困扰波动说的偏振问题。他的体系完整无缺，以致使委员会成员为之深深惊叹。

菲涅尔理论的胜利，为他获得了那一届的科学奖，同时一跃成为可以和牛顿、惠更斯比肩的光学界的传奇人物。1819年5月6日，一位科学家向法国科学院提交了他关于光速测量实验的报告，在准确地测出光在真空中的速度之后，他也进行了水中光速的测量，发现水中光速小于真空中的光速。这一结果彻底宣判了微粒说的死刑，波动说终于在100多年后登上了物理学统治地位的宝座。

麦克斯韦于1861发表了《论物理力线》的论文，他预言，光其实只是电磁波的一种。这个预言被赫兹在1887年用实验证实。波动说突然发现，它不仅是光学领域的统治者，而且已成为了整个电磁王国的最高司令，而它的基础，就是麦克斯韦不朽的电磁理论。

图2.3.8表示不同入射光波的衍射光斑，图2.3.8a表示平面入射光波射入一个小孔，射出的光波发生衍射，在其背后的屏幕上产生光强度变化的光斑（爱里环），如果屏幕离开小孔足够远，屏幕上的光斑就是弗琅荷费衍射光斑。图2.3.8b表示尺寸为b×a的方孔产生的衍射光斑。图2.3.8c和图2.3.8d表示两个相距不同的点光源通过小孔后在其后屏幕上产生的衍射光斑，由图可见，当距离s变得越来越短时，将导致两个爱里环圆盘靠得越来越近，最后将难以分辨。

1678年，荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）（图2.3.9）完成著作《光论》，1690年这本书公开发行，在这本书中他提出“惠更斯原理”。他认为，波前的每一点是产生球面次波的点波源，而以后任何时刻的波前则可看作是这些次波的包络。

借着这一原理，惠更斯给出了波的直线传播与球面传播的定性解释，并且推导出反射定律与折射定律；但是他并不能解释为什么当光波遇到边缘、孔径或狭缝时，会偏离了直线传播，即衍射效应。

1815年，奥古斯汀-让·菲涅尔在惠更斯原理的基础上假设这些次波会彼此发生干涉，因此惠更斯-菲涅尔原理是惠更斯原理与干涉原理的结晶。用这种观点来描述波的传播，可以解释波的衍射现象。惠更斯-菲涅尔原理是建立衍射理论的基础，并指出了衍射的实质是所有次波彼此相互干涉的结果。

惠更斯-菲涅尔（Huygens-Fresnel）原理是研究波传播问题的一种分析方法，用荷兰物理学者克里斯蒂安·惠更斯和法国物理学者奥古斯丁·让·菲涅尔的名字命名。

菲涅尔的科学成就主要有两个方面。一是衍射，他以惠更斯原理和干涉原理为基础，用新的定量形式建立了惠更斯-菲涅尔原理，完善了光的衍射理论。他的实验具有很强的直观性、明确性，如菲涅尔透镜、小孔衍射等。另一成就是偏振，他与其他人一起研究了偏振光的干涉（见2.3.3节）。

2.衍射方程和衍射光栅

最简单的衍射光栅是在不透明材料上具有一排周期性分布的裂缝，如图2.3.10a所示。入射光波在一定的方向上被衍射，该方向与波长和光栅特性有关。图2.3.10b表示光通过有限数量的裂缝后，接收到的衍射光强分布。由图可见，沿一定的方向（θ）具有很强的衍射光束，根据它们出现位置的不同，分别标记为零阶（中心）及其分布在其两侧的一阶和二阶光波等。假如光通过无限数量的裂缝，则衍射光波具有相同的强度。事实上，任何折射率的周期性变化，都可以作为衍射光栅，衍射光栅解复用器将在4.4.2节介绍。

我们假定入射光束是平行波，因此裂缝变成相干光源。并假定每个裂缝的宽度a比把裂缝分开的距离d更小，如图2.3.10a所示。从两个相邻裂缝以角度θ发射的光波间的路径差是dsinθ，由式（2.2.3）可知，Δz=dsinθ =（Δϕ/2π）λ=mλ，令m=Δϕ/2π，所以，所有这些从一对相邻裂缝发射的光波相长干涉的条件是路径差dsinθ一定是波长的整数倍，即

很显然，相消干涉的条件是路径差dsinθ一定要等于半波长的整数倍，即

式（2.3.3）就是著名的衍射方程，有时也称为布拉格衍射条件，式中m值决定衍射的阶数，m=0对应零阶衍射，m=± 1对应一阶衍射，……当a＜d时，衍射光束的幅度被单个裂缝的衍射幅度调制，如图2.3.10b所示。由式（2.3.3）可见，不同波长的光对应不同长度的距离d，因此，衍射光栅可以把不同波长的入射光分开，它已被广泛应用到光谱分析仪中。

威廉·亨利·布拉格（图2.3.10c）与其子威廉·劳伦斯·布拉格皆为英国著名物理学家，通过对X射线谱的研究，提出晶体衍射理论，建立了布拉格公式（布拉格定律），并改进了X射线分光计。

2.3.3 光的偏振——菲涅尔的贡献

当光通过不同介质界面时，入射光分为反射光和折射光，斯奈尔推导出了式（2.3.1）所示的反射定律和折射定律。但是，这两个定律只决定了它们的方向，为了确定这两部分光的强度和振动的取向，1821年，菲涅尔发表了题为《关于偏振光线的相互作用》的论文，假设光是横电磁波，把入射光分为振动平面平行于入射面的线偏振光和垂直于入射面的线偏振光，成功地解释了偏振现象，并导出了能够表示光的折射比、反射比之间关系的菲涅尔方程，解释了马吕斯的反射光偏振现象和双折射现象，奠定了晶体光学的基础。1823年，菲涅尔又发现了光的圆偏振和椭圆偏振现象。

奥古斯汀·让·菲涅尔（图2.3.11）是法国物理学家，被誉为物理光学的缔造者。

光波和声波同样都是波，但它们具有不同的性质。声波是在它的行进方向上，以反复的强弱变化来传播的疏密纵波；而光波却是在与传播方向垂直的平面内振动的横波（见2.2.1节）。自然光在垂直于它行进方向（z轴）的平面内（由y轴和x轴构成的平面）的所有方向上都有振动，我们把这种光称为非偏振光。然而，在晶体中传输时，自然光振动方向要受到限制，它只允许在某一特定方向上振动的光通过，如图2.3.12所示。我们把这种只在特定方向上振动的光称为偏振光。

光的偏振（也称极化）描述了当光通过晶体介质传输时其电场的特性。线性偏振光是它的电场振荡方向和传播方向总在一个平面内（振荡平面），如图2.3.12a所示，因此线性偏振光是平面偏振波。与此相反，非偏振光是一束光在每个垂直z方向的随机方向都具有电场E。如果一束非偏振光波通过一个偏振片，就可以使它变成线性偏振光，因为偏振片把电场振荡局限在与传输方向垂直的一个平面内，这个偏振片就叫作起偏器。

2.3.4 光的双折射——光调制器基础

巴塞林那斯——双折射现象发现者

丹麦物理学家（E Bartholinus，1625—1698年）出版了一本关于晶体的小册子，首次观察到，当一束光通过方解石晶体时，会分解成两束光，一束光遵守斯奈尔折射定律，而另一束光却表现为异常（e）光线，即使光束垂直入射晶体的解理面，在晶体内部，e光束也以偏离正常的（o）光线而折射。这种想象就是双折射现象。当巴塞林那斯旋转该晶体时，o光束保持不动，而e光束也随着晶体的旋转而旋转。巴塞林那斯的发现是晶体学和光学的一个里程碑，从而引起科学家们对材料的各向异性特性的研究和开发利用。

我们从2.3.1节已知道，当光从空气进入水或玻璃时，就产生折射。但是，当偏振光进入某些晶体时，却会发现折射光线不只一条，而是两条。这种现象称为双折射，如图2.3.13所示。下面就来说明为什么会产生双折射。

1.各向同性材料和各向异性材料

晶体的一个重要特征是它的许多特性与晶体的方向有关。因为折射率n=ε_r，介电质常数ε_r与电子极化有关，电子极化又与晶体方向有关，所以晶体的折射率与传输光的电场方向有关。大部分非晶体材料，例如玻璃和所有的立方晶体是光学各向同性材料，即在每个方向具有相同的折射率。所有其他晶体，如方解石（CaCO₃）和LiNbO₃，它们的折射率都与传输方向和偏振态有关，这种材料叫作各向异性晶体，如图2.3.15所示。1669年，丹麦物理学家巴塞林那斯（E Bartholinus）首次观察到双折射（Double Refraction）现象，如图2.3.13所示，但是他无法解释这一现象。图2.3.14是双折射现象的发现者——巴塞林那斯。

可用三种折射率指数n₁、n₂和n₃来描述光在各向异性晶体内的传输，n₁、n₂和n₃分别表示互相垂直的三个轴x、y和z方向上的折射率。这种晶体具有两个光学轴，所以也称为双轴晶体。当n₁=n₂时，晶体只有一个光轴，称这种晶体为单轴晶体。在单轴晶体中，n₃>n₁的晶体（如石英）是正单轴晶体，n₃<n₁的晶体（如方解石和LiNbO₃）称为负单轴晶体。

由于实际光纤的纤芯折射率并不是各向同性，即n_1x≠n_1y，所以单模光纤也存在双折射现象，引起偏振模色散（Polarization Mode Dispersion，PMD）。

2.双折射的3种特例

偏振光与光轴的关系虽然不同，但均垂直投射到方解石晶体切割出来的薄片上，会产生不同的现象，如图2.3.16所示。图2.3.16a表示晶片切割成光轴与晶体的表面垂直，偏振光与光轴平行投射到晶片上，o光和e光均以o光的速度υ_o无偏向地通过晶片。所以出射光束有与入射光束相同的偏振特性，此时的方解石表现得与各向同性晶体一样，o光和e光没有任何区别。图2.3.16b表示另外一种特例，所用的晶片切割成光轴与晶片的表面平行，入射光束虽然无偏向地传播，但在晶体内o光以υ_o传播，e光以与υ_o不同的速度υ_e传播，o光和e光在互相正交的方向上偏振。图2.3.16c使用的晶片光轴与晶片的表面成任意角，在这样切割成的晶片中，产生两条分开的光束，以不同的速度通过晶体。图2.3.16d使用的晶片与图2.3.16c的相同，并且画出两条与图2.3.13c一样的出射光束，在互相正交的方向上偏振。