2.4　集合[1]

2.4.1　集合的相关概念

1．集合的定义

虽然集合是数学及相关学科不可缺少的表示数据的工具，但目前我们还很难给出集合的精确定义，一般都采用描述的方式对集合进行定义。

定义2-21　具有相同性质的一组事物所构成的整体就可描述成一个集合。构成集合的单个事物称为该集合的元素。

例如：某学校的全体学生构成了一个集合，而该学校的每个学生都是该集合中的一个元素。

2．集合的表示

集合的表示：通常用大写的英文字母A,B,C,…表示集合。

元素的表示：通常用小写的英文字母a,b,c,…表示集合中的元素。

3．集合和元素之间的关系

定义2-22　若是集合中的一个元素，则称属于，并记作；若不是集合中的元素，则称不属于，并记作。

4．集合的特点

（1）无序性：构成集合的元素在集合中无位置和顺序的区分，如A={1,2,3,4}和B={3,2,4,1}可看作同一集合。

（2）互异性：在一个已经定义的集合中，不允许存在多个相同的元素。

（3）确定性：集合和元素之间是隶属关系，即元素属于集合。对于某个元素来说，它在集合中是否存在是确定的。

5．集合的描述

集合的描述可用如下方法。

（1）穷举法。穷举法有时也称为列举法，即将构成某集合的元素全部列举出来。

如、{学生，教师，校长}等表示集合，显然，，；学生，工人。

Python中可用如下的方式定义集合：

输出结果如下：

输出结果如下：

从输出结果来看，集合中的元素具有无序性。

（2）谓词法。谓词法也称为描述法，就是将某集合中元素所具有的共同属性描述出来，形式如下：

T={x|x具有性质s}

如T={y|y是大于1小于10的所有整数}表示该集合T由元素2,3,4,5,6,7,8,9构成。

6．常用集合的表示

一些常用的集合表示如下：

N={x|x为自然数}，表示自然数集合；

Z={x|x为整数}，表示整数集合；

Z+={x|x为整数且x>0}，表示正整数集合；

Q={x|x为有理数}，表示有理数集合；

R={x|x为实数}，表示实数集合；

C={x|x为复数}，表示复数集合。

2.4.2　集合关系

1．子集

定义2-23　若集合中的每个元素都在集合中出现，则称是的子集，记作。

如集合，，则可知。

如果，那么也称集合包含于。

同理：对于，也记作，此时可称包含。

特别地，若，即集合是集合的子集，同时，集合中至少存在一个元素不属于，则称是的真子集，记作或。

如集合，，则可知。

2．相等集合

定义2-24　若两个集合和互为子集，则称两个集合相等，记作。

如，，则。

两个相等的集合包含的元素个数一定相等，对应元素也一定一样。

3．全集

定义2-25　若就某个讨论范围而言，集合是讨论范围内所有元素构成的集合，则称是完全集，简称全集。

一般情况下，全集是对某个范围而言的，是一个相对概念。

如设=｛x|x是全体自然数｝，则称为自然数范围的全集，但在比自然数大的范围（如整数集合），就不再是一个全集。

4．空集

定义2-26　不包括任何元素的集合称为空集，记作。

空集是任何集合的子集。

5．幂集

定义2-27　对于有限个元素构成的集合简称有限集），由该集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集，记作，即。

如，则。

在集合的所有子集中，和又称为平凡子集。

假设是n个元素构成的有限集，则的幂集包含的元素个数为个。

2.4.3　基数

集合中元素的个数对于集合运算来说意义非常大，集合的基数和集合的元素有很重要的联系。

1．集合等势

定义2-28　设、为两个集合，若存在从到的双射函数，则称与是等势的，记作。

根据集合等势的概念，凡是等势的集合，必定能够构成一一对应关系，即能够把两个集合的元素按照一对一的关系进行对应，这样的方法既可以用于有限集，又可以用于无限集。

2．集合的基数

（1）有限集的基数。

定义2-29　对于有限集，根据等势关系，将与等势的唯一的自然数称为M的基数，记作（或cardM）。空集的基数记作0。

根据集合基数的定义，有限集的基数就是集合中所包含元素的个数。同理，按照等势集合的定义，凡是具有相同元素的有限集都具有相同的基数，也就是说当与按照等势关系属于同一类时，与就有相同的基数，即。

结论：单个元素构成的集合的基数为1，两个元素构成的集合的基数为2，以此类推，一个有限集的基数与自然数构成一一对应的关系。

（2）无限集的基数。

对于无限集，虽然没有具体的数值，但按照等势集合的定义，无限集也有基数。下面规定：

自然数集合的基数称为阿列夫零；

实数集合的基数称为阿列夫。

3．可数集和不可数集

对于有限元素构成的集合，其元素个数为集合的基数。

对于无限集，一般无法数出集合元素的个数，这时可以通过等势关系所建立的“映射”来确定集合的基数。

定义2-30　将能够与自然数集合等势的任何集合称为可数集合，简称可数集。将既不是有限集，又不是可数集的集合称为不可数集。

可数集的基数记作。如{1,2,3,4,…,n,…}{3,6,9,12,…,3n,…}{1,3,5,7,…,2n-1,…}都是可数集。

从上述定义和实例可以看出，可数集就是集合中的元素可以与自然数集合N的每个元素建立对应关系的集合，即可数集中的元素可以按照自然数的顺序排成类似于的序列。

2.4.4　集合运算

1．集合的交集运算

定义2-31　对任意两个集合、，将由这两个集合的共同元素组成的集合称为和的交集，记作，如图2-3所示。

例2-10　和是由学校计算机系专业课程构成的集合，且=｛‘高等数学’，‘英语’，‘数据结构’，‘Python编程’｝，=｛‘C语言程序设计’，‘Java程序设计’，‘英语’，‘编译原理’，‘数据结构’｝，则=｛‘英语’，‘数据结构’｝。

在Python中，、A.intersection(B)都表示A和B的交集。

2．集合的并集运算

定义2-32　对于任意两个集合、，将由所有属于A和属于B的元素组成的集合M称为和的并集，记作，如图2-4所示。

例2-11　=｛‘高等数学’，‘英语’，‘数据结构’，‘Python编程’｝，=｛‘C语言程序设计’，‘Java程序设计’，‘英语’，‘编译原理’，‘数据结构’｝，则=｛‘高等数学’，‘英语’，‘数据结构’，‘Python编程’，‘C语言程序设计’，‘Java程序设计’，‘编译原理’｝。

在Python中，、A.union(B)都表示和的并集。

3．集合的补（差）集运算

定义2-33　设、为任意两个集合，将由所有属于但不属于的元素组成的集合M称为关于的相对补集，或称集合的差，记作，如图2-5所示。

若给定全集，有，则中不属于的所有元素组成的集合称为的绝对补集，或简称补集，记作CUA。

例2-12　=｛‘高等数学’，‘英语’，‘数据结构’，‘Python编程’｝，=｛‘C语言程序设计’，‘Java程序设计’，‘英语’，‘编译原理’，‘数据结构’｝，则=｛‘高等数学’，‘Python编程’｝。

在Python中，、A.difference(B)都表示A和B的差集。

4．集合的对称差运算

定义2-34　对于任意两个集合、，将或属于或属于但不同时属于和的元素构成的集合M称为对称差，记作，如图2-6所示。

例2-13　=｛‘高等数学’，‘英语’，‘数据结构’，‘Python编程’｝，=｛‘C语言程序设计’，‘Java程序设计’，‘英语’，‘编译原理’，‘数据结构’｝，则=｛‘高等数学’，‘Python编程’，‘C语言程序设计’，‘Java程序设计’，‘编译原理’｝。

在Python中，、A.symmetric_difference(B)都表示和的对称差。

2.4.5　综合案例及应用

集合的运算可用于有限个元素的计数问题。

设是个有限集，集合的基数（集合包含元素的个数）分别用来表示，则对于个有限集来说，有如下结论：

这个结论称为包含排斥原理。

例2-14　某学校计算机系的“双创”团队有20名学生，现要统计他们在某年度参加大赛的情况，大赛项目包括“网络大赛”“创新创业大赛”“云计算大赛”三大类；经过统计，在20名学生中，参加过“网络大赛”的有7名，参加过“创新创业大赛”的有8名，参加过“云计算大赛”的有5名，有3名学生同时参加过上述三类大赛，试求至少有多少名学生没参加过上述任何一项比赛，并计算参加大赛的学生所占的比例。

解：设={x|x参加过“网络大赛”}，={x|x参加过“创新创业大赛”}，={x|x参加过“云计算大赛”}。

由题意可知：，，，。

因为，，，所以，即最多有14名学生参加过比赛，因此，至少有6名学生没参加过任何一项比赛。

利用Python程序实现上述实例的代码如下：

输出结果如下：