第二部分 专业详解
第三章 理学类专业详解
第一节 数学与应用数学专业详解
>自然科学的皇冠<
数学与应用数学专业分为“数学理论”和“应用数学”两部分。数学理论学习的内容涵盖近现代数学各分支的基础部分，应用数学涉及和计算机、经济、金融等众多学科的交叉。正是由于数学对其他学科具有重要的意义，数学被公认为是其他学科的基础，视其为“自然科学的皇冠”。
一、专业情况概览
1.专业定义
数学与应用数学可以简单地理解为是大学阶段进一步学习研究数学的专业，学习的内容及深度与高中数学差异较大。高中数学里的导数、微积分初步、矩阵行列式等内容是大学数学的基本知识和概念，为大学数学的学习做了一定的铺垫工作。
目前国内本科阶段该专业的教学安排大部分偏向数学理论学习，在应用数学方面主要通过学生自由选修的方式安排一些课程。
2.专业发展
数学的历史与发展可以分为以下4个时期：
数学形成时期（远古时期—前5世纪），在这个阶段建立了自然数的概念，创造了简单的计算法，认识简单的几何图形，算术与几何尚未分开。
常量数学时期（前5世纪—17世纪），也称为初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果构成中学数学的主要内容。
变量数学时期（17—19世纪），这个时期的成果如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等已成为高等学校数学教育的主要内容。
现代数学时期（19世纪70年代—至今），这个时期的主要代表人物及成果有康托的“集合论”，柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”，希尔伯特的“公理化体系”，高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”，伽罗瓦创立的“抽象代数”，黎曼开创的“现代微分几何”。此时期也包含了其他的研究成果，如数论、拓扑学、随机过程、数理逻辑、组合数学、分形与混沌等。
数学专业在我国的发展也经历了许多过程。
1913年，京师大学堂“算学门”正式招生，成为我国第一个大学数学系。
辛亥革命以后，我国成立了许多新式大学，其中都有数学系，培养出一批杰出的数学家，如陈省身、华罗庚、徐宝騄等以其重大贡献而享誉世界。
1958年以前，凡是涉及数学的专业都统称为数学专业。
1958年开始，数学专业获得了很大的发展，形成了基础数学、数学应用、计算数学、概率统计、数学教育、数学史、概率论、运筹学、自动控制等专业方向。
1998年，在教育部的领导下，调整了数学学科专业的数量与名称，将原来的8个专业合并为3个专业，即数学与应用数学专业、信息与计算科学专业和统计学专业（与经济类的统计学合一），为进一步淡化专业、拓宽培养口径奠定了基础。
2003年，全国“数学与应用数学专业”的专业点有324个，“信息与计算科学专业”的专业点有366个，分别居全国高校理科专业点的第二位和第一位。
二、本科课程介绍
专业编号：070101
本科阶段修业年限：4年
本科阶段授予学位：理学学士
1.培养目标
本专业培养掌握数学科学的基本理论和方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力；经过科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。
2.学习内容
大类一：基础教育课程
【数学分析Ⅰ】主要学习实数系基本定理、数列以及函数的极限、导数及对函数极值的研究、微分和不定积分等。
【数学分析Ⅱ】主要学习定积分及应用、广义积分、数项级数、函数列及函数级数、幂级数、fourier级数、多元函数的基本介绍等。
【大学物理】主要学习质点运动学、质点动力学、振动和波、分子动理论、热力学以及电磁学等。
大类二：专业必修类课程
【解析几何】主要学习向量及运算、空间的平面及直线、常见的曲面（球面、柱面、锥面、二次曲面、直纹面等）、坐标变换（仿射坐标、直角坐标）、二次曲线方程及性质、射影及射影变换等。
【高等代数Ⅰ、Ⅱ】主要学习行列式、矩阵、线性空间、线性映射、多项式、特征值、相似标准型、二次型、内积空间、双线性型等。
【数学分析Ⅲ】主要学习多元函数微分积分、隐函数定理、含参量积分及广义积分、重积分及应用、曲线和曲面积分等。
【抽象代数】主要学习群论、环论、域及伽罗瓦理论等。
【拓扑学】主要学习点集拓扑学、拓扑空间的基本概念、拓扑空间之间的连续映射与同胚、拓扑基等。
【常微分方程】主要学习常微分方程的初等解法、线性常微分方程组、常微分方程基本理论、幂级数解法等。
【复变函数】主要学习复数及复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数展开、残数理论等。
【实变函数】主要学习集合和点集、lebesgue测度、可测函数、lebesgue积分等。
【泛函分析】主要学习线性空间、线性映射、hahn-banach定理、赋范线性空间、hilbert空间等。
【概率论】主要学习初等概率论、概率空间及随机变量、条件概率及全概率公式、数学期望、连续型随机变量、随机向量、特征函数、随机序列的收敛等。
【数学模型】主要学习驾驶问题、流水线设计、密码的加密与解密等模型案例等。
【数理方程】主要学习波动方程、热传导方程、调和方程等。
【微分几何】主要学习曲线论、曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、曲面论基本定理、测地曲率和测地线等。
大类三：专业选修类课程
此类课程数量非常多，可根据个人的兴趣和后续发展规划选取其中的部分课程。以下列举几类专业选修课供大家参考：
【数学理论类】包括微分流形、多复变函数论、抽象代数续论等。
【计算机交叉类】包括数据结构、计算机辅助几何设计等。
【金融交叉类】包括利息理论、寿险精算学、非寿险精算学、数学金融学等。
【计算类】包括科学计算、有限元方法、可计算性理论等。
【统计类】包括统计推断、回归分析、马氏链及其应用等。
3.毕业要求
（1）掌握马列主义、毛泽东思想与中国特色社会主义基本理论，具有良好的人文素养、职业道德和心理素质，社会责任感强。
（2）系统掌握数学专业必需的基础理论，掌握教育创新和科学技术创新的思想和方法。了解本学科的发展动态、应用前景和行业需求。
（3）具有一定的外语应用能力，能阅读本专业的外文材料，具有一定的国际视野和跨文化交流、竞争与合作的能力。
（4）具有终身学习意识以及运用现代信息技术获取相关信息和新知识、新技术的能力，形成具有传统文化底蕴与现代精神的健康人格。
（5）掌握比较扎实的数学基础，接受严格的科学思维训练，初步掌握数学科学的思想方法。
（6）具有运用数学知识建立适当的数学模型以解决实际问题的初步能力和进行数学教学的能力。
（7）具有一定的组织管理能力、表达能力、独立工作能力、人际交往能力和团队合作能力。
（8）熟练掌握计算机的使用（包括常用语言、工具软件及数学软件），具有编写简单程序的能力和计算机应用能力。
三、学习体验分享
在进行数学专业介绍之前，想先聊一聊学习和报考数学专业的“初心”。有同学说“从小到大我的数学成绩一直很好，所以我喜欢数学”；也有同学说“我喜欢看数学科普知识，除考试之外也喜欢思考和数字有关的问题”。很明显，后者是真正喜欢数学这个学科，对数学知识本身充满好奇心，对学习更多的数学知识有强烈的欲望，而不仅仅是通过数学获得优越感。大学四年的数学专业学习艰苦卓绝，因此报考大学数学专业之前，必须对自己学习数学的理由做充分的思考。简单地说，高考数学150分，不见得能学好大学数学；高中数学学得没那么好，也不见得就学不好大学数学。只要自己感兴趣，数学基础不太差，肯努力、意志力强，就适合报考这个专业。
除了有纯粹热爱数学的初心外，报考数学专业之前，考生还应该充分理解大学数学的本质特点。总体而言，大学数学和高中数学差异非常大，高中数学的部分内容到了大学就不再学习了，如解析几何。大学数学更多的是着力于研究很多常规问题，比如研究“实数是什么”“映射真的只是高中的函数吗”“比无穷大还要大的数是什么”“高次方程怎么去解”等。这些看起来答案显而易见的问题，恰恰发展出近现代数学的各分支前沿理论。如果是仅仅关注考试分数，对这些问题从来也不感兴趣，甚至比较厌恶，那么报考本专业就需要三思而行了。相反，正由于大学数学和高中数学本质上不是一类问题，高中数学更加偏重技巧性，而大学数学是建立在理解问题的深度与解决问题的逻辑上的，因此对学生思考深度与逻辑推导的要求更高。
就学习内容而言，我主要从数学的研究内容着手介绍。数学主要分为基础数学、应用数学、概率论与数理统计、计算数学、运筹学与控制论几个研究方向。本科阶段主要接受这几个方向的基础理论教育，做好基础知识储备，同时选取感兴趣的方向进行初步学习。就数学本身而言，由于现代的数学和计算机结合得越来越紧密，数学系的学生还需要掌握一些编程方法和专业软件，如C++编程语言、matlab建模软件等。后面学习应用类数学知识，运算时也常需要借助计算机。
随着学习的深入，学习对象也不断地发生变化。以高等数学和数学分析为例，如果把高等数学比喻为教你怎么做回锅肉，那么数学分析就是在告诉你回锅肉里的猪肉是怎么来的，炒回锅肉过程中的化学原理以及物理变化是怎样的。也就是说，在初级阶段，学生通过学习高等数学了解某个公式是什么、什么时候用、怎么用；而在高级阶段，数学分析则要从这个公式的最开始出发，证明一系列定理和引理，最后得到这个公式。
就学习场景而言，数学专业的学习刷题是很重要的一种学习方法，不需要像很多理工科专业一样“蹲”实验室。还记得自己大一学习微积分时，老师总会给我们讲苏步青老先生当年刷了一万道积分题的传闻，同专业的同学听罢纷纷去书店里买吉米多维奇厚厚的一本本习题集开始做题。同时，数学专业还涉及较多的自主学习内容。许多专业成绩较好的同学往往从大一开始就选修高年级的课程，甚至是到物理系选修量子力学等难度较高的课程。我也曾听说过有的专业“牛人”在本科四年就把研究生阶段的所有数学课都学完了，还把物理专业的四大力学专业课全部学完。
针对不同的学习目标，数学专业的同学也有着不同的重点学习任务。有志于做学术研究的同学会经常参加一些讨论班，有些去旁听研究生的讨论班，有些由导师把同学聚集起来，每人都上台发言分享自己的学习内容和心得，把一些问题拿出来大家一起讨论，导师做点评和补充。同时，大学阶段数学竞赛也不少，最有名的是数学建模竞赛，这是不限定专业的一种竞赛，因此参与人数最多，竞争很激烈。3个同学组成一个队伍，在72小时内针对指定的题目（可以上网查询资料，但不可以咨询老师），给出最终的解决方案并写成规范的文章参与评比。72小时是非常紧张的，有很多同学都不怎么休息，借助各方面的帮助和资源，以最快的速度得出最优的方案。这种竞赛比拼的是专业素养和建模能力，还有意志力和团队协作精神。
除建模竞赛外，提高专业竞争力的另一种方式是参加大学生数学竞赛。大部分数学竞赛旨在全面测试大学生的数学知识、素养与能力，促进中国的大学数学教育改革。以丘成桐大学生数学竞赛为例，该竞赛着重考查学生在“分析与微分方程”“几何与拓扑”“代数、组合与数论”“计算、统计与应用数学”4个方面的能力，分别设立“华罗庚奖”“陈省身奖”“周炜良奖”和“许宝騄-林家翘奖”。每名参赛学生可参加至多4个科目的比赛，根据参赛的3项最好成绩，评选出个人全能奖，即丘成桐奖。竞赛题目由丘成桐领衔欧美一流数学家命题，难度与国外知名大学的研究生资格考试相当。
最后要提醒有志于报考数学专业的考生：大学学习的初期，大部分内容都偏原理性的，应用性的较少，此时切勿焦虑。一方面要多刷题保证自己会熟练使用这些公式；另一方面要经常带着整体性的思维来看待学习，把学过的知识融为一体。只有扎实地掌握了这部分理论知识，后续学习各分支的应用时才能做到厚积薄发、得心应手。以“概率论与数理统计”为例，它在很多行业上都被广泛应用，目前最热门的应用是在金融和大数据方面。有的同学针对股市的数据开发了股价波动预测软件，有的同学使用统计的方法提出了照片除雾算法等，可以做出各种各样新奇实用的应用来。在大学阶段，只有建立起强大的理论根基，才能具备有深度和新意的数学素养，为将来的深入学习和工作应用打下基础。
四、毕业方向说明
主流出路一：国内读研
国内读研是大部分数学专业同学的选择，很多学生留在本学院选择攻读方向，少部分学生会选择其他学院的专业，如经济金融、计算机、管理等。目前好的大学本科生读研大多是通过本校直升和外校推免的方式，少部分学生通过考研的方式。
数学类的研究生专业主要有5个方向，分别是基础数学、应用数学、概率论与数理统计、计算数学和运筹学与控制论。基础数学以后的发展方向基本是从事理论研究，如果想留在高校（学士、硕士学位至少是211高校的）工作，得继续读博；应用数学可以到企业从事应用类的工作；概率论与数理统计可以去金融机构从事经济方面的工作；计算数学偏向计算机；运筹学与控制论偏向自动化。
主流出路二：出国
目前数学专业的同学出国的比例是较高的，顶尖学校甚至超过三分之一的同学会选择出国继续深造。大部分同学去了美国，少数同学去了日本、新加坡或欧洲国家，还有部分同学选择了中国香港，主要是美国的数学很强大，选择院校多，而且设置的奖学金也较为丰富。实力较强的同学会直接申请读ph.D.（研究型博士），但有些院校或地方只允许本科生申请master（硕士）。出国选择的专业方向通常有基础数学、经济、应用数学、生物统计、精算、统计、金融数学、金融工程等。
总体来看，出国出境去的国家或地区仍以美国为主，而本科生出国以攻读硕士为主。在专业分布方面，统计或生物统计为最多数，其次是数学或应用数学、计算数学、金融或金融工程等。
对选择留学继续深造的同学而言，GPA（平均学分绩点）尤为重要，学分越高越好，如果能得到国外有学术名气的教授的推荐信，则更为理想。
主流出路三：工作
数学专业由于与其他学科交叉性强，因此各行各业都需要数学方面的人才。
目前本科生毕业去的行业主要有IT、咨询、投资管理、期货证券、教育等；硕士毕业生去的行业主要有投资管理、期货证券、银行、教育等；博士毕业生的就业单位主要集中在高校和科学研究所。
下面以IT、金融、教育行业为例，列举数学专业毕业生的职场发展轨迹。
IT行业：本科生做应用开发的居多，现在热门的android、ios、php等开发有很多数学系的学生在做，从事这部分工作需要提前学习一些计算机编程的知识。刚毕业的月薪大多在0.5万~1万元，工作2~3年后月薪能到1.5万~2万元。研究生毕业的同学大多从事一些算法工作，比如云计算和大数据方向，人工智能等。这部分工作对数学的要求较高，给出的薪水也是非常不错的，刚毕业月薪能达到1万~2万元，工作几年后月薪可达3万元以上。
金融行业：数学系毕业的同学在金融行业主要从事金融衍生品设计、量化投资分析等专业型的工作。由于对数学知识以及金融知识要求较高，这类岗位一般偏向招聘硕士、博士毕业生，最好是金融数学方面的研究生或者本科学数学、研究生学经济金融方向的学生。从事金融方向的工作薪水较高，毕业起薪一般在1万~1.5万元/月，工作几年后月薪可达3万元以上。
教育行业：有公私立学校可以选择，也可以选择校外培训机构等。进入公立学校，对学历要求较高，现在大城市或者重点学校的初高中一般都要求研究生学历。私立学校和校外培训机构等对学历要求较低。待遇薪水公/私立学校和校外培训机构差不多。如果肯努力，培训机构的薪水能大大超过公/私立学校。一般起薪在5000~10000元/月，工作几年后月薪在1万~2万元。
五、专业入门点津
为了给大学数学学习打下坚实的基础，也为了验证自己在数学专业上的兴趣，大家一定要提前做一些了解和准备。我不推崇考生在高中就去看大学的教材，一方面内容差异太大，对高中的学习帮助很小；另一方面难度和深度加大不少，在高中紧张的学习过程中没有足够的精力反而会让有志于报考数学专业的同学打消念头。
虽然高中和大学数学的差异较大，但还是有较多衔接点需要大家注意。在以往对大一新生的调研过程中，我们发现高中和大学衔接困难的知识点从高到低依次为反三角函数、微分的理解、积分的计算、极坐标、极限定义的理解、三角函数的公式、参数方程、导数的理解、求导的方法、复数等。下面就部分知识点给考生们一些建议。
反三角函数：很多高中数学教材中根本就没出现过正割函数、余割函数和反三角函数的内容，超过80%的同学反馈高中老师仅提到这些概念并没有细讲，而大学的微积分里这些函数经常被用到，建议大家在高中的时候把这些函数的概念、定义、图像、性质等了解清楚，对加深三角函数一章的理解很有帮助。
复数：复数在高中教材中掌握要求比较低的，考试难度也很小。超过95%的同学表示自己没听过复数的三角形式，但在大学的常微分方程和复变函数中经常用到复数的三角表达式，建议大家若学有余力可以把这部分内容熟悉起来。
极坐标和参数方程：一部分同学表示高中没有学习这部分知识，大部分同学则学习了极坐标和直角坐标的转化以及简单直线、曲线的参数方程。到大学，直线和曲线基本不再以高中的方程形式出现，而是以参数方程的形式参与微分、积分。大家在高中阶段对参数方程和极坐标的内容一定要非常熟练，学有余力的同学可以把二次曲线的参数方程也了解起来。
数学归纳法：大部分同学在高中阶段都学习了数学归纳法，但对于数学归纳法的使用不太熟练。在大学数学中，数学归纳法使用得较为频繁，建议大家在了解第一数学归纳法、第二数学归纳法的前提下，多练习一些相关习题。
微积分：高中阶段在微积分这部分内容中，对导数及最值、极值的考察力度最大，对积分的要求则不高。高中学生大部分只是掌握了其中的计算方法，如初等函数的导数计算、几类函数的积分计算。超过80%的同学不清楚微分和导数的联系与区别，微分和积分的原理，而大学里对数学原理的掌握要求很高，建议大家把课本上关于这部分的内容了解清楚，务必能独立推导各类初等函数的导数、积分的计算公式。
以上是对高中数学学习的侧重点建议，除了常规学习之外，有余力的同学建议参加数学竞赛。数学竞赛的内容对数学思维深度和广度的提升还是非常好的。初等数论、近代欧式几何、解析几何、组合数学等大学课程和高中数学竞赛是直接挂钩的，高中生可以先尝试学习这部分内容，体验大学部分课程的内容。另外，推荐大部分同学参与课题研究活动，在老师的指导下，用学过的数学知识解决生活中的问题，初步感受数学建模的魅力。
最后，推荐几本图书供感兴趣的同学了解参考，以帮助加深对数学学习的理解。
《怎样解题》（G.波利亚）：这本书指导性非常强，你甚至不需要思考，只要按照他要求的去做就可以了，把解数学题当作一种技能训练，帮助自己养成良好的解题习惯。开始阶段进展会有点缓慢，但是一旦熟练后提分效果明显，对那些数学基础一般，又没有完全提炼出解题技巧的同学很有帮助。
《数学之美》（吴军）：书中将高深的数学原理讲得更加通俗易懂，让非专业读者也能领略数学的魅力。书中列举了非常多的例子（主要是计算机行业）来展示数学的应用，具备高中数学水平的读者即可理解其中的数学原理。
《从一到无穷大》（G.伽莫夫）：本书以生动的语言介绍了20世纪以来科学中的一些重大进展。作者先漫谈一些基本的数学知识，然后用一些有趣的比喻，阐述了爱因斯坦的相对论和四维时空结构，并讨论了人类在认识微观世界（如基本粒子、基因）和宏观世界（如太阳系、星系等）方面的成就。
《思考的乐趣》（顾森）：这本书有意挑选了初等的数学话题，让大大小小的读者都能没有障碍地阅读。文章内容新，有数学背景的人也会发现很多自己没见过的初等问题，这是热爱思考的年轻人一定会喜欢上的趣味书。
《高观点下的初等数学》（菲利克斯·克莱因）：这本书是作者克莱因根据自己多年在哥廷根大学为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物，对读者的数学水平要求较高，学有余力的同学可以看看这本书，了解自己学习的数学和大学数学的衔接是怎样的。
（易星晨 复旦大学）