两道习题

一、“电动力学”习题

题：在弱引力场中时钟变慢，试从量纲分析出发，并运用相对论知识，估算变慢公式，并由此推出引力红移公式。

解：我们设想

其中G为万有引力常数，M为产生引力的物体质量，R为天体表面某一点到引力中心的距离，又由于本问题与相对论理论有关，故必和光速c有关。

上式左边为无量纲数，则其右边也应为无量纲数。

注意G，M，c，R的量纲分别为：M-1T-2L3，M1，L1T-1，L1。

显然，正好满足上述条件。

根据常识，该式也不无道理：M越大，则引力越强，也应该越大；R越大，则表面引力势就越弱，也应越小。

再注意到频率v是单位时间的震荡次数，时钟变慢，表示有引力场时时钟读数比无引力场时小，这就使得v变大，因而有理由认为：

又，（λ为波长），微分两边得：

当Δv，Δt很小时，可以认为有：

现在是弱引力场，故可得：

这与用广义相对论导出的Z较小时的表达式吻合。

二、“理论天体物理学”习题

题：利用“转移方程”证明恒星光球向外辐射流量大于零，即辐射能量由里向外转移。

解：假定恒星处于局部热动平衡。

首先，如果Sv是常数，则“转移方程”的解分别化为：

再由辐射流立即可以看出：

也就是：，即能量向外转移。

如果Sv不是常数，则由LTE假设，其表达式为：

其值随着T的增大而增大。而恒星向外T又随tv增大而增大。

再注意到：

Iv是所有的层的辐射叠加，

是所有的层的辐射叠加。

就可看出，令后，只会使的情况更加显著。于是，能量仍然向外转移。