015 约公元前445年 季诺悖论

伊利亚的季诺（Zeno of Elea， 约公元前490—约 公元前430）

根据最著名的季诺悖论，只要乌龟在起点拥有些许领先优势的话，兔子将永远追不上乌龟；甚至可以得到乌龟跟兔子都无法抵达终点的推论。

亚里士多德轮子悖论（约公元前320年），发散的调和级数（约1350年），发现圆周率 π 的级数公式（约1500年），发现微积分（约1665年），圣彼得堡悖论（1738年），理发师悖论（1901年），巴拿赫—塔斯基悖论（1924年），希尔伯特旅馆悖论（1925年），生日悖论（1939年），海岸线悖论（约1950年），纽康伯悖论（1960年）及巴兰多悖论（1999年）

哲学家和数学家花了超过一千年的时间想要了解季诺悖论—关于某些运动若非应该办不到就根本是个幻觉的一组谜题。季诺是居住在南意大利、早于苏格拉底的一位希腊哲学家，最有名的季诺悖论谈及希腊英雄阿喀琉斯与一只迟缓的乌龟赛跑时，只要乌龟在起点拥有些许领先优势的话，阿喀琉斯就绝不可能在赛跑途中超越乌龟。事实上，这个悖论还可以蕴含我们绝对无法离开所处房间—当朝房门走去要离开房间时，我们必须先走完这段距离中的一半，接下来得走完剩余那半段距离中的再一半，再接着一直重复把剩余距离减半的动作；结果，我们将永远不可能在有限的跨步中抵达房门！在数学上，我们可以把这种无穷序列的动作之极限透过（1/2+1/4+1/8+…）的无穷级数总和来表现。一个近代的想法，是坚持这个无穷级数的总和为 1，以解决季诺悖论。只要每一跨步都耗去前一步所需的时间之一半，则完成这一连串无止境跨步所花费的时间，就跟现实生活中走出房间所需耗费的时间一样。

可是这种论证方式并不够圆满，因为它并无法解释我们如何能完成逐一走过无穷多个跨步点，因此现在的数学家采用无限小量（无法想象的极小数量，小到几乎却又不等于 0）的微观概念分析季诺悖论。结合一个称之为非标准分析的数学分支以及特别地，内含集合论，或许我们可以解释季诺悖论，但相关的论辩并不会因此歇止，例如就有些人认为当时间、空间都是离散的时候，从甲地前往乙地所需要的跨步数就一定会是有限的。■