019 约公元前320年 亚里士多德轮子悖论

亚里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）

如图所示，一个大轮子上面黏着一个小轮子。亚里士多德的轮子悖论就是描述当这个组合轮从左往右滚时，小轮子滚过相接触棒子的距离，就和大轮子滚过地面的距离一样。

季诺悖论（约公元前 445 年），圣彼得堡悖论（1738年），康托尔的超限数（1874年），理发师悖论（1901年），巴拿赫—塔斯基悖论（1924年），希尔伯特旅馆悖论（1925年），生日悖论（1939年）， 海岸线悖论（约1950年），纽康伯悖论（1960年），无法证明的连续统假设（1963年）及巴兰多悖论（1999年）

记述在古希腊教科书《论力学》（Mechanica）上的亚里士多德轮子悖论，是一个好几百年以来让不少最伟大数学家们感到困惑的谜题。一个小轮以同心圆方式固定在另一个大轮上，则大轮圆周上的每一点，都可以在小轮的圆周上找出一对一的对应关系。也就是说，对大轮圆周上的任何一点而言，在小轮圆周上都只能找到唯一一个对应点，反之亦然。接下来，不论是以小轮在一根横杆上滚动，或者是让大轮直接在地面滚动时，这个组合轮的水平位移距离应该一样；可是这怎么可能呢？我们明明就非常清楚知道这两个轮子的圆周长是不一样的。

如今数学家们已经知道，存在一对一的对应关系并不表示两条曲线的长度相同；康托尔（Georg Cantor）就证明出不论线段长短，在上面可以取得的点基数都是一样的。他称点的这种超限数为“连续统”。举例而言，所有存在于 0 与1 这个区间中的点，都可以用一对一的对应方式摆进另一条无限长的直线上，而在康托尔之前的数学家显然就是对这个问题百思不得其解。不过，在此也要用物理学的观点说明一下，当大轮真的在地面滚动时，被拖行的小轮其实并不会完整滚过与其接触的横杆。

虽然普遍认为《论力学》出自亚里士多德之手，但有些学者怀疑这本最古老的工程教科书，作者恐怕另有其人，也就是亚里士多德的学生、朗普萨克斯的斯特拉图（Straton of Lampsacus，亦写做Strato Physicus）。斯特拉图早在约公元前 270 年就离开人世，因此，这本教科书确切问世的时间和真正的作者恐怕会永远覆上一层谜一样的面纱。■