简介 数学之美与效用

聪慧的观察者看过数学家所从事的工作后，大概会认为他们是一群狂热流派奉献者，宇宙的神秘钥匙的追寻者。

—戴维斯（Philip Davis ）与赫什（Reuben Hersh ），

《数学经验谈》（ The Mathematical Experience ） 一书作者

数学已经渗入每一个需要费尽心思去理解的科学领域，并且在生物学、物理、化学、经济、社会学和工程等方面取得无法替代的角色。我们可以用数学说明夕阳色彩分布的情况，也可以用来说明人类的大脑结构。数学帮助我们打造超音速飞机和云霄飞车，模拟地球天然资源流转的方式，进入次原子粒子的量子世界探索，甚至让我们得以想象遥远的银河系。可以说，数学改变了我们看待宇宙的方式。

在本书中，我希望运用少量数学公式提供一点数学品位，而鼓励读者发挥想象力。对大多数读者而言，这本书所谈论的应该不只是能满足好奇心却缺乏实用价值的单元，根据美国教育部实际调查的结果显示，能够顺利完成高中数学课程的学生升上大学后不论选读哪一个专业，都能展现出比较优秀的学习能力。

数学的实用性让我们可以建造宇宙飞船，探索所处宇宙的几何结构。数字也可能是我们与有智能的外星生物间所采用的第一种沟通手段。有些物理学家认为掌握更高空间维度和拓扑学（topology，探索形状与彼此间相互关系的一门学问），或许有一天当现在这个宇宙处于在极热或极冷的末日之际，我们就能逃出，在不同的时空环境下安身立命。

数学史上不乏许多人同步有重大发现的例子，就以这本书中的莫比乌斯带为例。德国数学家莫比乌斯（August Mobius）和当时另一位德国数学家利斯廷（Johann Benedict.. Listing）同时在1858年各自发现莫比乌斯带（一个只有单面，神奇的扭曲物体）。这种同步发现的现象就跟英国博学多闻的牛顿（Isaac Newton）与德国数学家莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自同时发现微积分的例子相似 。这些例子让我不禁怀疑科学领域为何经常有不同人，在相同时间，独立发现同一件事情的情况？其他例子还包括英国博物学家达尔文（Charles Darwin）和华莱士（Alfred Wallace）都在相同时间各自提出演化论的观点，匈牙利数学家鲍耶（János Bolyai）和俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）似乎也是在同一时间各自提出双曲几何的想法。

最有可能解释同步重大发现的理由，是因为人类在那些时间点对于即将诞生的发现，已经累积足够的知识，这些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出来；可能两位科学家都受到当代其他研究人员同一篇先导研究论文的影响。另一种带有神秘色彩的解释，会从较深层的观点说明这种巧合。奥地利生物学家卡梅纳（Paul Kammerer）曾表示：“或许我们可以说，尽管打散、重组的过程在现实世界繁华的表面下与宇宙无垠的千变万化中不断重复发生，但是物以类聚的现象也会同时在这些过程中产生”；卡梅纳把现实世界的重大事件比喻成海洋波涛的顶端，彼此间看起来各自孤立，毫无瓜葛，不过根据他充满争议性的理论，我们其实只看到上层的波浪，却没注意到海面下可能存在某种同步机制，诡谲地把世上各种重大事件串在一起，才显现出这种一波又一波的风潮。

易法拉（Georges Ifrah）在《数目溯源》（The Universal History of Numbers）一书中谈论玛雅数学时，顺便论及了这种同步情况：

我们因此又再一次地见证，散居在广大时空环境下互不认识的人……也会有非常类 似甚至是一模一样的想法。……有些例子的解释；是因为他们接触了另一群不一样的人并受到 对方的影响……真正的有效解释是因为前面提过的深层文化融合：智人（Homo sapiens）这种生物的智力具有共通性，把世界各个角落统整串连的潜力非常可观。

古代的希腊人受到数字深深的吸引。在这个不停变动的世界，会不会只有数字才是唯一恒常不变的？对于源自一门古希腊学派、毕达哥拉斯理念的追随者而言，数字是具体不变和缓永恒的—比所有朋友更值得信赖，却不像阿波罗或宙斯般让人无法亲近。

本书中有很多条目都跟整数有关 ，聪颖的数学家艾狄胥（Paul Erdos）醉心于数论—有关于整数课题的研究，他经常能轻易使用整数提出问题，尽管问题的陈述很简单，但是每一题却都是出了名的难解。艾狄胥认为如果有任何数学问题提出后经过一个世纪依然无解的话，那一定是个与数论有关的问题。

有很多宇宙万物可以用整数来表达，譬如用整数描述菊花花瓣构成的方式、兔子的繁衍、行星的轨道、音乐的和弦以及周期表元素间的关系。德国代数学家暨数论大师克罗内克（Leopold Kronecker）曾经说过：“只有整数来自于上帝，其他都是人造的。”这句话也暗示整数是一切数学的最主要根源 。

自从毕达哥拉斯的年代以来，按照整数比例演奏出的音乐，就相当受欢迎，更重要的是，在人类理解科学的演进过程中，整数也扮演着相关关键的角色，像是法国化学家拉瓦锡（Antoine Lavoisier）就是依照整数比调配组成化合物的元素，显示出原子存在的强烈证据。1925年，激态原子放射出一定整数比的光谱波长，也是当时发现原子结构的一项证据。几乎按照整数比呈现的原子量，显示原子核是由整数个数的相似核子（质子跟中子）所组成，与整数比的误差则促成同位素（基本元素的变形体，拥有几乎一样的化学特性，只在中子数的个数上有所差异）的发现 。

纯同位素（pure isotope）原子量无法完全以整数比呈现的微小差异，确认了爱因斯坦（Albert Einstein）著名方程式E=mc2是成立的，也显示出生产原子弹的可能。在原子物理领域随处可见整数的存在。整数关系是组成数学最基本的一股势力—或者引用高斯（Carl Friedrich Gauss）的说法：“数学是所有科学的女王—而数论则是数学中的天后。”用数学描述宇宙这门学科成长迅速，但是，我们的思考方式和语言表达能力却有待好好加强。我们一直发现或创造出新的数学，但是，我们还需要用更先进的思维才能加以理解。譬如最近这几年已经有人针对数学史上几个最著名问题提出证明，可是，他们的论证方式非常冗长又复杂 ，就连专家们也都没办法确定这些论证是否正确。数学家哈里斯（Thomas Hales）将一篇几何学论文投稿到世界顶级数学杂志《数学年刊》（Annals of Mathematics）后 ，整整花了五年的时间等待专家审查意见—专家们最后的结论是找不到这篇论文哪里有错，建议该期刊加以发表，可是必须加上免责声明—他们无法肯定这个证明是对的！另一个例子来自数学家德福林（Keith Devlin），他在《纽约时报》（New York Times）刊出的文章中承认：“数学已经进展到一个相当抽象的程度 ，甚至就连专家有时都无法理解最新的研究课题到底在讲什么。”如果就连专家都有这样的困扰，想要把这些信息传递给普罗大众当然更是困难重重，我们只好竭尽所能，尽力而为。虽然数学家们在建构理论、执行运算这些方面很在行，不过他们在融会贯通、解说传达先进观念的能力恐怕还是有所不足。

在此引用物理作为模拟。当海森堡（Werner Heisenberg）担心一般人可能永远也无法真正理解原子是怎么一回事时，波耳（Niels Bohr）显得相对乐观。1920年，波耳在一封回给海森堡的信中提到：“我认为这是有可能的，但是要配合我们重新认识‘理解’这个词汇真正含义的过程。”我们现在使用计算机进行研究的真正原因，是因为我们直观能力有限，透过计算机实验实际上已经让数学家们取得更进一步的发现与洞见，这是在计算机普及以前做梦也想不到的结果。计算机及其绘图功能，让数学家们早在有办法正式完成证明之前，就先看到结果，也开启了一项全新的数学研究领域，就连电子表格这种简单的计算机工具，也能让现代数学家拥有高斯、欧拉（Leonhard Euler）、牛顿等人渴望的数学功力。随便举个例子，20世纪90年代末由贝利（David Bailey）和佛格森（Helaman Ferguson）两人设计的计算机程序用一条新公式把圆周率π、log 5和其他两个常数串在一块，如同克拉瑞克（Erica Klarreich）在《科学新知》（Science News）上的报导，只要计算机能把公式先找出来，事后完成证明的工作就简单多了，毕竟在完成数学证明的过程中，简单地知道答案这项工作，通常也是最难以跨越的障碍。

我们有时候会用数学理论预测某些要经过好几年后才能确认的现象，譬如以物理学家马克斯韦尔（James Clerk Maxwell）命名的马克斯韦尔方程式（Maxwell equation）预测了无线电波的存在；爱因斯坦场论方程式 （fields equation）指出重力可以折弯光线及宇宙扩张论。物理学家狄拉克（Paul Dirac）曾说过，今天研究的数学课题可以让我们偷偷瞄见未来的物理理论，事实上，狄拉克的方程式预测了之后才陆陆续续发现反物质（antimatter）的存在。数学家罗巴切夫斯基也说过类似的话：“就算再抽象的数学分支 ，也总有一天会运用在诠释现实世界的物理现象上。”

在这本书里，读者们将会碰上许多被认为掌握宇宙之钥、相当有趣的几何学家。伽利略（Galileo Galilei）曾说过：“大自然的鬼斧神工不外乎是数学符号写成的篇章。”克卜勒（Johannes Kepler）曾使用正十二面体之类的柏拉图正多面体，建构太阳系的模型。20世纪60 年代的物理学家维格纳（Eugene Wigner）对于“数学在自然科学中具有超乎常理的效用”感到印象深刻；像是E8这种大李群（large Lie Group，参照249页条目）：探索特殊E8李群的旅程（2007年）—则可能在某一天协助我们创造一统物理学的终极理论。2007年，瑞典裔的美国宇宙学家泰格马克（Max Tegmark）发表一篇大受欢迎、谈论数理宇宙假说的科学文章，指出我们看到的物理实体其实都是数学结构；也就是说，我们不只可以用数学描述所处的宇宙，甚至可以说—宇宙本身就是数学 。