069 1669年 牛顿法

牛顿（Isaac Newton,1642—1727）

当运用牛顿法计算方程式复数根的时候，透过计算机绘图可以展示计算结果错综复杂的程度。这张图是尼蓝德（Paul Nylander）用牛顿法计算z5-1=0 的计算机绘图成果。

发现微积分（约1665年），混沌与蝴蝶效应（1963年）及分形（1975年）

利用递归—也就是让序列中的每一项都定义为前一项的函数—的算术方法可以追溯到数学发轫之初，巴比伦人就是透过这种方法计算正数的平方根，希腊人也用这种方法估算圆周率 π，今天有很多重要又特殊的数学物理，也是使用递归公式进行计算。

数值分析通常与求取困难问题的近似解答相关，牛顿法就是用来计算不太能用简单代数运算求取方程式f（x）=0 之解的最著名数值分析方法之一。使用牛顿法求取令函数值为0 的x，也就是求取该函数之零位或根的这类问题，普遍见于科学与工程领域之中。

牛顿法的使用方式如下。首先，任选根的一个数值近似值 x，那么，这个函数f（x0）的图形（是一条曲线）就会被它在 （x0, f（x0）） 的切线所逼近。所谓切线就是一条只跟函数图形“恰好交会”于一点的直线。接着，算出切线与 x 轴的交会点，而这个交会点通常会比原先猜测的数值更接近函数真正根值的位置。透过不断重复相同方式，就能找到越来越精确的估算。牛顿法可以写成精确的方程式 xn+1=xn- f（xn）/f ′（xn），其中“′”这个符号表示函数f（x）的一阶导函数。

如果在复数域使用牛顿法时，透过计算机绘图的显示结果，就可以看出牛顿法在什么时候可以套用，在什么时候会变得相当诡异。通常这些图案会演变成混沌的形态，并产生美丽的分形图案。

牛顿法最初的想法记载在牛顿于1669 年所著《论无限项方程式的分析》一书中，之后才在1711 年由琼斯加以印制发行。1740 年，英国数学家辛普森（Thomas Simpson）将牛顿法加以改良，并形容牛顿法是一种迭代法，计算一般非线性方程式的方法。■