四、关于对应原理

对应原理（也叫对应论证）是旧量子论时期玻尔的一个重要贡献。在矩阵力学出现后，玻尔曾表示：“量子力学的整个工具，可以看成是对包含在对应原理中的那些倾向的一种精确表述。”玻恩也认为，对应原理是从经典力学通向量子力学的桥梁。但对于究竟什么是对应原理，文献中却存在着广泛误解。这一点，戈革先生曾反复指出过。

文献中对对应原理最常见的误解有这样几种：

（1）对应原理是指：量子数很大时，量子理论应过渡为经典理论。

（2）对应原理是指：普朗克常数趋于零时，量子理论应过渡为经典理论。

（3）对应原理是指：任何理论，在应用于经典理论可以适用的情形时，必须过渡为经典理论。

这些误解流传极广，几乎所有学过量子力学的人对上述表述都会有似曾相识的感觉。戈革曾在《尼耳斯·玻尔和他的对应原理》一文中列举了十类包含误解的文献，这其中包括了像派斯那样的物理学家撰写的文章。在我的藏书中也可以找到很多类似的误解，并且也都来自物理学家。比如美国物理学家玻姆（David Bohm）在其《量子理论》（Quantum Theory）一书中这样叙述对应原理：量子定律必须这样来选择，即在涉及众多量子的经典极限下，量子定律的平均结果应导致经典方程。又比如法国物理学家德斯帕那特（Bernard d'Espagnat）在《量子力学的概念基础》（Conceptual Foundations of Quantum Mechanics）一书中认为，对应原理指的是当量子不连续性可被视为无穷小时，量子理论与经典理论对可观测量的预言应当重合。这些说法大致对应于上述第一、二两种误解。德斯帕那特并且把他的同胞、法国物理学家梅西亚（Albert Messiah）也拉下了水，他说后者的经典教材《量子力学》（Quantum Mechanics）包含对应原理的一种“稍微不同的想法”，而那个“想法”其实乃是上述第一种误解。

一般来说，戈革在指出他人错误时所用的口气是很不客气的，虽不能与如今互联网上的笔战风格相比，却也颇为尖锐。这一点在评述有关对应原理的误解时也不例外。不过值得一提的是，戈革在批评误解对应原理的人时，对误解者作了区分，将物理学家单独列为一类。他认为物理学家的兴趣不在于回顾过去，在历史问题上的误解最可同情和原谅。能作出这种区分，是难能可贵的，因为很多搞冷门研究的人，喜欢拿一些自己擅长的犄角旮旯的东西来抨击别人，通过别人（尤其是名人）在少数冷门内容上的疏失，来对他们进行语气夸张的否定，却全然不顾那些东西在别人的论述中是细枝末节还是核心主题。而戈革既指出了问题，又不夸大问题，意识到同样的问题对不同的人或在不同的作品中，其重要性是不同的，有些——比如随口提到对应原理的量子力学教材——是出现在蛇足上，有些——比如专论对应原理的科学哲学或科学史作品——则是出现在七寸上。他的批评更多的是针对后者，这是一种比较清醒的史学视角。

那么究竟什么是对应原理呢？戈革给出的表述是这样的：

对应原理是指：对于从定态n′到n的跃迁：

（1）当n与n′都是大数，且都比n′-n大得多时，跃迁辐射的频率与相应轨道的经典绕转频率的某个倍频（或者说与一个经典泛频）基本重合。特别是，当n′与n为相邻定态时，跃迁辐射的频率基本等于相应轨道的经典绕转频率。

（2）在上述大量子数极限情形下，跃迁几率正比于相应泛频所对应的经典振幅的平方。

（3）上述规律不仅适用于单周期体系，并且也适用于多周期体系。

（4）上述规律不仅在大量子数极限下成立，而且或许在任意量子数下也成立。

与之相比，包括前面所提文献在内的多数文献的表述至多只包含了上述含义的前三条，有的甚至只包含了第一条——这一条在玻尔1913年的原始论文中曾被用到过，这可能是那些文献将之误解为对应原理的原因。但玻尔从未将上述第一条或前三条单独称为对应原理，相反，他曾对罗森菲尔德表示：“那不是对应论证。对于低频振模来说量子理论应该变成经典描述，这样的要求根本不是一条原理。它只是对理论的一种显然的要求。”因此，对应原理的真正关键实际上是在被多数文献所忽略的第四条上。正是因为有这一条，玻尔才可以表示“量子力学的整个工具，可以看成是对包含在对应原理中的那些倾向的一种精确表述”。否则的话，对应原理变成了只针对大量子数极限，它的“精确表述”又岂能成为“量子力学的整个工具”？

但是，戈革对上述第四条的表述却并不正确。因为如果那个表述正确的话，整个原子光谱理论除定态条件外，就完全变成经典物理了，这显然是不可能的。因此，由对应原理的前三条所表述的规律，事实上还真的“仅在大量子数极限下成立”，在任意量子数下是不成立的。这一点玻尔早在1918年首次正式表述对应原理时就已意识到了。因此戈革对这一条的表述（这里所选的已是戈革文章中最谨慎的表述，因为其中包含了“或许”二字，他在其他文章中采用的均是肯定语气）不仅低估了玻尔当时的知识，不同于玻尔原始论文的表述，而且从物理上讲也是不成立的。

那么究竟什么才是玻尔当时的知识，以及他本人的表述呢？我在这里引述一下，以供对历史感兴趣的读者参考，也作为对戈革先生文章的补充。玻尔的表述是这样的（该表述来自玻尔1918年初次表述对应原理的论文《论线光谱的量子论》，重点是我加的）：

没有关于定态间跃迁机制的详细理论，我们当然不能普遍地得到两个这种定态之间自发跃迁几率的严格确定法，除非各个n是一些大数。……对于并不是很大的那些n值，在一个给定跃迁的几率和两个定态中粒子位移表示式中的傅里叶系数值之间也必定存在一种密切的联系。

在这里，玻尔明确表示，在一般情形下“当然不能普遍地得到”跃迁几率的严格确定法，在这点上连“或许”这样的含糊度都是不存在的。关于跃迁几率与相应泛频所对应的经典振幅的关系，他只表示存在“一种密切的联系”。而对于将跃迁几率视为正比于经典振幅平方的这种估算方法，他在同一篇论文中明确表示：“各个n值越小，这种估计当然就越不准确”，在这里，他同样没有提出或认可哪怕是“或许”意义下的普遍规律。在后来的文章中，玻尔反复强调了这种普遍联系的不存在性，比如在1921年第三届索尔维会议（Solvay conference）的发言稿中，他表示在“跃迁的几率和运动之间得到一种简单直接的定量联系的可能性”已经被“很自然地排除了”。因此戈革对上述第四条的表述无疑是不准确的。

对应原理对今天学物理的学生已无重要性，我就不再多写了。有读者可能会问：既然玻尔并未提出小量子数情形下跃迁几率与经典振幅之间普遍而定量的关联，对应原理在旧量子论中为何还如此有用，以至于玻尔和玻恩对它作出了如此高的评价？这是因为，对应原理虽未能给出计算跃迁几率的普遍方法，但玻尔所说的跃迁几率与经典振幅之间的“密切的联系”包含了一些重要的定性对应，比如可以通过对经典振幅的分析确定量子跃迁为零的情形。这样他就可以导出量子跃迁的选择定则（selection rule），以及跃迁辐射的偏振性质，而这些在旧量子论时期具有极大的重要性。