2.2　平衡微分方程

首先根据平衡条件，来导出应力分量与体力分量之间的关系，即平面问题的平衡方程。根据前一节的分析，取出一个微小的平行六面体PACB，平面问题的微元体如图2-5所示。它在x和y方向的尺寸分别dx和dy，z方向取单位长度。

在弹性力学中应力分量的正负号的规定如下：如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为坐标面的正面，该截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负；相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为坐标面的负面，该截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。

应力分量σx、σy和τxy（τyx）是位置坐标x和y的函数，因此，作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。设作用于左面PB的正应力是σx，则作用于右面AC的正应力可用泰勒级数表示为

略去二阶及更高阶的微量，简化为 。

同样，设左面的切应力是τxy，则右面的切应力是。

设上面的正应力及切应力分别为σy及τyx，则下面的正应力及切应力分别为和。

因为六面体是微小的，所以它在各面上所受的应力可以认为是均匀分布的，其合力作用在对应面的中心。同理，六面体所受的体力，也可以认为是均匀分布的，其合力作用在它的体心。

以x轴为投影轴，列出力的平衡方程∑Fx=0，即

约简以后，两边除以dxdy，得

同样，由平衡方程∑Fy=0可得一个相似的微分方程。

其次，以通过微元体中心O′并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩平衡方程∑MO′=0，即

将上式的两边除以dxdy，并合并相同的项，得到

因为dx、dy为微小量，去掉含dx、dy的项，得出

τxy=τyx　　（2-3）

式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）即为平面问题的平衡微分方程。有一点注意，在建立力矩平衡方程时，按照小变形假定，用了微元体变形以前的尺寸，而没有用变形以后的尺寸。