2.5　平面问题中一点的应力状态

若已知任意一点P处的应力分量为σx、σy、τxy=τyx，试求出经过该点的，且平行于z轴而倾斜于x轴和y轴的任何斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB，平面问题中一点的应力状态如图2-7所示。厚度（z轴方向）取单位长度。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。

用N代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为

cos（N，x）=l

cos（N，y）=m

px和py表示该斜面上的应力p在x轴和y轴上的投影。另外，设斜面AB的面积为dS，则截面PB及PA的长度分别为ldS及mdS。于是由PAB的平衡条件∑Fx=0可得

约去dS，并略去含dS的项，得

px=lσx+mτyx　　（2-13）

同样，由平衡条件∑Fy=0得出

py=mσy+lτxy　　（2-14）

1.斜面上的正应力和切应力

斜面AB上的正应力为σN，并规定其沿外法线N的正方向为正，反之为负。由投影可得

σN=lpx+mpy　　（2-15）

将式（2-13）和式（2-14）代入式（2-15），得出

σN=l2σx+m2σy+2lmτxy　　（2-16）

命斜面AB上的切应力为τN，并规定：如果把N转动90°而达到τN的方向是顺时针的，则τN为正，反之为负。由投影可得

τN=lpy-mpx　　（2-17）

将式（2-13）和式（2-14）代入式（2-17），得到

τN=lm（σy-σx）+（l2-m2）τxy　　（2-18）

2.主应力和应力主向

如果经过P点的某一斜面上的切应力等于0，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向（即主应力的方向）称为P点的一个应力主向。

在应力主面上，切应力等于0，该面上的全应力p就等于该面上的正应力，也就等于主应力σ。于是该面上的全应力p在坐标轴上的投影成为

px=lσ

py=mσ

将式（2-13）和式（2-14）代入，得到

lσx+mτxy=lσ　　（2-19）

mσy+lτxy=mσ　　（2-20）

接下去，是如何求解σ。上式中包含未知量l、m和σ，只有两个方程。因此，需要将l和m处理为，如此，两个方程包含两个未知量和σ，可以求解。

以上两个方程，消去，得到

据此，求出两个主应力为

设σ1与x轴的夹角为α1，则

根据式（2-19）和式（2-20），可以求出σ1与x轴的夹角为α1为

同理，可以求得σ2与x轴的夹角为α2为

3.最大应力和最小应力

如果已经求得任一点的两个主应力σ1和σ2，以及与之对应的应力主向，将x轴和y轴分别放在σ1和σ2的方向，于是就有

σx=σ1

σy=σ2

τxy=0

根据式（2-16），得出正应力为

σN=l2σ1+m2σ2

利用关系l2+m2=1，得出

σN=l2（σ1-σ2）+σ2

由此，可以得出

（1）σN最大为σ1，此时l2=1；

（2）σN最小为σ2，此时l2=0。

根据式（2-18），得出切应力为

τN=lm（σ2-σ1）

利用关系l2+m2=1，得出

由此，可以得出τN最大和最小为，此时。