3.6　空间轴对称问题

空间轴对称问题的定义：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况及所受的外来因素，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、应变和位移也对称于这一轴。

在描述轴对称问题中的应力、应变、位移时，用圆柱坐标ρ、φ、z比用直角坐标x、y、z方便得多。这是因为，如果以弹性体的对称轴为z轴，则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是ρ和z的函数，不随φ而变，空间轴对称问题的微元体如图3-4所示。

取z轴铅直向上，用相距dρ的两个圆柱面、互成dφ角的两个铅直面及相距dz的两个水平面，从弹性体割取一个微小六面体PABC。沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用σρ表示；沿φ方向的正应力称为环向正应力，用σφ表示；沿z方向的正应力称为轴向正应力用σz表示；作用在圆柱面上、沿z方向作用的切应力用τρz表示，作用在水平面上、沿ρ方向作用的切应力用τzρ表示。根据切应力的互等关系，τρz=τzρ。由于对称性τρφ=τφρ、τφz=τzφ都不存在。这样，总共只有四个应力分量：σρ、σφ、σz、τρz=τzρ，它们只是ρ和z的函数。

如果六面体的内圆柱面上的平均正应力是σρ，则外圆柱面上的平均正应力是。由于对称，σφ在φ方向（环向）没有增量。如果六面体下面的平均正应力是σz，则上面的平均正应力应当是。同样，内面及外面的平均切应力分别为τρz和，下面及上面的平均切应力分别为τzρ及。径向的体力分量用fρ表示；轴向的体力分量，即z方向的体力分量，仍然用fz表示。由于对称性，环向的体力分量为零。微元体的投影面如图3-5所示。

将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上，取和分别近似等于和1，得平衡方程为

简化以后，除以ρdφdρdz，然后略去微量，得

将六面体所受的各力投影到z轴上，得平衡方程为

简化以后，除以ρdφdρdz，然后略去微量，得

于是，得空间轴对称问题的平衡微分方程如下：

沿ρ方向的正应变称为径向正应变，用ερ表示；沿φ方向的正应变称为环向正应变，用εφ表示；沿z方向的正应变称为轴向正应变，用εz表示；ρ方向与z方向之间的切应变用γzρ表示。由于对称，切应变γρφ及γzφ都等于零。沿ρ方向的位移分量称为径向位移，用uρ表示，沿z方向的位移分量称为轴向位移，用w表示。由于对称，环向位移uφ=0。

由于径向位移uρ引起的应变分量是

由于轴向位移w引起的应变分量是

将以上两组关系式相叠加，即得空间轴对称问题的几何方程：

由于圆柱坐标也是和直角坐标一样的正交坐标，所以物理方程可以直接根据胡克定律得来。在轴对称问题中，物理方程是

还可以得到用应变分量表示应力分量的物理方程为