2.1　大尺度坝工材料宏观抗剪强度的随机——临界研究

对于大尺度材料（如大面积软弱结构面和大体积岩体，土体，混凝土等）抗剪强度的确定问题，由于不可能对涉及大范围的材料作整体原位力学试验，只可能作有限个小尺度试块的破坏试验，而小尺度试验测出的数值又波动变幅大，具离异性，分散性，如何用小尺度试验结果来确定大尺度材料抗剪强度的是一个于工程安全和经济均具有重要影响而长期又未得到合理解决的课题。目前坝工界习惯采用的一些计算方法，诸如算术平均值，小值平均值（我国现行规范法），综合值法，优定斜率法，保证率法，Hoek-Brown法等，均属于经验公式，无理论上的依据，其结果难以避免主观性和随意性。

本节将立足于实际工程所能提供的小尺度材料试验结果的试验水平，采用随机场理论和现代物理学逾渗（Percolation）理论相结合的方法，来研究大面积软弱结构面和大体积岩体、土体、混凝土及坝基面等材料抗剪强度的确定问题。

2.1.1　大尺度材料性能的随机场概率模型

由于实际工程对大尺度材料性能的了解，是建立在一系列小尺度试样基础上的，而各试件试验结果的离散表明，当用试件尺度去观察大尺度材料时，大尺度材料内任一部位的性能是不确定的，是个服从一定概率分布的随机变量；而且大尺度材料的性能存在空间变异性，各部位的性能不完全相关。这两点说明大尺度材料相应于试件尺度下的任一性能是一个与空间位置矢量有关的随机函数，由概率理论，也就是一个随机场，例如弹性模量随机场。因此，对于大尺度材料，其性能应该采用随机场的概率模型来描述。

在一般情况下，描述大尺度材料性能的随机场模型十分复杂。但对于同一地质单元内的基岩、土体、软弱结构面和混凝土坝基胶结面，以及预定同一配合比和同一施工条件的混凝土，由于影响它们性能的主要因素在空间各处相同，可以假定材料性能随机场具有以下性质：

（1）统计均匀性：即随机场的统计特性（如均值和协方差），不随空间位置的变动而变化。满足这一性质的随机场称为平稳随机场。

（2）统计各向同性：即随机场的统计特性不随空间位置坐标系的旋转而变动。

对于工程中会遇到的另一类材料—成层岩体、土体和碾压混凝土，本条性质应改为统计横观各向同性，亦即随机场的统计特性在层面各个方向相同。

（3）各态历经性：即设想当试件数目取得足够多时，试验所得的材料性能可历经大尺度材料内任一部位处材料性能的所有可能数值。

2.1.2　基岩材料抗剪强度的随机参数估计方法

对于因地质条件等因素差异引起的岩基材料抗剪强度的随机参数，不可能简单地应用数理统计所给出的样本参数估值方法计算f、c、。本研究从随机场的角度（赖国伟，1991），直接由工程试验提供的一系列形如（σ1，τ1），（σ2，τ2），…，（σn，τn）的不同部位试块抗剪强度试验结果，来寻求摩擦系数和粘结力的均值和方差的估值方法。

设（σ1，τ1），（σ2，τ2），…，（σn，τn）来自岩基同一岩区（或地质单元），其中σi不全相同，则根据用来反映岩区（或地质单元）内材料力学性质随机场所具有的随机均匀性和各态历经性，或通俗地说因来自同一概率总体，这n对不同部位试块结果可看成是岩区任一部位的n次独立试验结果，亦即岩区任一部位试块关于抗剪强度τ与法向应力σ相关关系的一个样本。另外，因试块法向正应力σ是实验可控制的变量，它为非随机变量（即确定性变量）。这样，根据Mohr-Coulomb准则，并假定摩擦系数与粘结力相互独立，则试块抗剪强度τ与法向正应力σ存在以下相关关系：

其中f、c、τ均为随机变量，＝E（τ）为τ的均值，＝E｛（τ-）2｝为τ的方差。于是，最后所需解决的问题归结为：

已知一组样本（σ1，τ1），（σ2，τ2），…，（σn，τn），其中σ1，σ2，…，σn不全相同，τ1、τ2，…，τn相互独立，试根据式（2.1-1）～式（2.1-3）确定f与c的均值与方差：（图2.1-1）。

这个问题数学上属于有两个随机自变量（f与c）的线性回归，而通常的线性回归只有一个随机自变量ε（y＝a＋bx＋ε），因而也就不可以采用现成的线性回归公式求解上述问题。

2.1.2.1　均值的估值方法

由于反映的是材料抗剪强度τ的平均情况，可以考虑应用最小二乘法：

得均值f与的估值公式分别为：

其中分别为的估计，。容易验证，式中分别是的无偏估计。因此采用上式计算与是适宜的。

2.1.2.2　方差估算方法

假设样本（σ1，τ1），（σ2，τ2），…，（σn，τn）是依法向正应力σi从小到大排列的。由于待求的方差有两个，试从该样本取出这样的两组样本来研究：一组为（σ1，τ1），（σ2，τ2），…，（σm，τm），另一组为（σp，τp），（σp＋1，τp＋1），…，（σn，τn），其中m＜n，p＞1。

设第一组子，样本各试块的抗剪强度τi与平，均抗剪强度估计的离差的平方和为DτⅠ相应第二组子样本的为DτⅡ亦即

以下将首先探讨离差平方和Dτ Ⅰ、DτⅡ的数学期望E｛DτⅠ｝、E｛DτⅡ｝与可能存在的关系，然后依此推求方差的估值公式。

1.E｛DτⅠ｝与的关系

经过一系列繁杂的推导（因篇幅所限，推导过程略），由式（2.1-6）可得：

2.E｛DτⅡ｝与的关系

同样由式（2.1-7）可得E｛DτⅡ｝与的关系为

3.方差的估值公式

联立求解式（2.1-8）、式（2.1-9），即可得岩基材料摩擦系数和粘结力的方差在一般情况下的估值公式分别为：

从式（2.1-10）、式（2.1-11）可看出，在不使分母DⅠEⅡ-DⅡEⅠ接近零的前提下，允许。这也就是说，从全部抗剪强度试验结果构成的样本（σ1，τ1），（σ2，τ2），…，（σn，τn）中所取出的两组子样本可以相互覆盖一部分开：（σp，τp），（σp＋1，τp＋1），…，（σm，τm）。

不过，在有足够多试验结果（σi，τi）的情况下，为避免式（2.1-10）、式（2.1-11）的畸形，从子样本（σ1，τ1），（σ2，τ2），…，（σm，τm）与子样本（σp，τp），（σp＋1，τp＋1），…，（σn，τn）的精度均衡出发，还是取，p＝n-m为妥，其中表示取的整数部为值。

2.1.3　逾渗（Percolation）理论的启示

1.逾渗（Percolation）理论简介

设有一个无限多节点（Site）和连接相邻结点的键（Bond）组成的随机网格（图2.1-2），其中各结点（或键）相互独立地被质点占据的概率为p，不被占据的概率为1-p，当p由0增加到1时，根据概率论，该随机网络的节点（或键）显然由一个不被质点占据到全部被质点占据。但是，在p由0变化到1的过程中，随机网络会发生什么样的现象则是Percolation理论所要研究的内容。

根据Percolation理论，随着p的变化，无限随机网络将呈现非常奇特的临界现象，亦即当p小于某一临界值pcr时，网络中占据结点（或键）的所有质点呈孤立状态；而当p大于pcr时，网络中则存在有相互连通的质点贯穿整个无限网络。因此，如果设想该无限随机网络表示一个电网，其中p为电网中每一根电线畅通的概率，则当p＜pcr时，电网不会有电流通过；而当p＞pcr时，则会有电流通过（图2.1-3）。自然如果将电网换成渗流网，前述临界现象则表明当p＜pcr时，没有水流渗透过该介质；而当p＞pcr时，则会有水流渗透过该介质。所以又称Percolation临界理论。

在Percolation理论中，随机网络在p由0变到1的过程中所发生的现象被视为一个逾渗过程（Percolation Process）。当质点随机占据结点时，该过程称为结点逾渗过程（Site Percolation Process）；当质点随机占据键时，该过程则被称键逾渗过程（Bond Percolation Process）。

2.逾渗理论的启示

从大尺度材料内取出一区域ΔΩ（图2.1-4）。在宏观均布应力的作用下，由于材料小尺度力学性质存在空间上的离异性，ΔΩ内各点（对应小尺度特征单元）的屈服并不一致，而总是有先有后的。但是根据小尺度力学性质随机的统计均匀各向同性，ΔΩ内各点的屈服概率为同一数值p。

于是，当所取区域ΔΩ的范围足够大时（这时ΔΩ所包含的小尺度特征单元数很大，可认为有无穷多），如果将ΔΩ中一点的屈服概率看成是该点被一个质点随机占据的概率，在宏观均布应力作用下的区域ΔΩ的屈服演化过程与Percolation理论中的逾渗过程有着很相似的地方：随着p增大，由于的各态历经性，ΔΩ内随机出现的屈服材料，如同逾渗过程中随机出现的质点，也是越来越多的。

显然，如果对ΔΩ也存在一个临界的屈服概率pcr，使得当p＞pcr时，ΔΩ中屈服的材料能连通形成ΔΩ整个屈服的滑动面，而当p＜pcr时，则不存在这样的滑动面，那么对于确定大尺度材料的宏观强度具有非常重要的意义。因为利用屈服滑动面形成的一刹那的临界条件p＝pcr（或其他形式）即可建立求解材料宏观强度的方程式。

2.1.4　大面积软弱结构面的抗剪强度

1.宏观软弱结构面屈服的临界条件

从大面积软弱结构面中任意取出一包含足够多小尺度软弱结构面特征单元的方形区域аA（图2.1-5），并定义之为宏观软弱结构面特征单元。在统计均布应力的作用下，由于软弱结构面小尺度力学性质的统计均匀性，аA内各点材料的屈服概率为同一数值p（忽略边缘效应），亦即：

由于软弱结构面的小尺度抗剪强度远比两侧材料小，在外力作用下，宏观软弱结构面特征单元аA的屈服总是沿软弱结构面本身进行的。或者说，аA的屈服必须经过其中所有小尺度特征单元。因此，аA中各点的屈服概率p小于1，由于аA所取范围足够大，由小尺度力学性质的各态历经性，аA中必然还有没屈服的点（小尺度特征单元）存在，这样即使аA中有很多小尺度特征单元屈服，аA仍不可能发生整体屈服。而当p＝1时，由于аA中所有小尺度特征单元均已屈服，аA必然屈服，所以，宏观软弱结构面特征单元的аA存在一个屈服与否的临界状态，相应的临界条件为

式中　pcr、

——аA处于临界状态时各点的屈服概率和屈服面积；——аA的面积。

2.软弱结构面的宏观抗剪强度

根据工程试验，可以认为软弱结构面的小尺度特征单元为理想弹塑性材料（图2.1-6）。于是，由式（2.1-13）或式（2.1-14）的临界条件，宏观软弱结构面特征单元аA的临界抗剪强度，亦即软弱结构面的宏观抗剪强度τcr为

式中　——аA处于临界状态的小尺度剪应力（相应于小尺度特征单元），是一个随机场；dA＝dxdy。

为了进一步导出τcr，试考察宏观软弱结构面特征单元аA相应于任一次小尺度力学性质实现的一次小尺度应力随机场实现），其中即可为小尺度剪应力，也可为小尺度正应力）。由于的统计均匀性，在均布荷载的作用下（图2.1-5），аA内各点的应力具有相同的概率分布，亦即也是统计均匀的，这样аA中的一次应力实现可看成是其中任一处小尺度随机应力的许多次实现。根据的各态历经性，在这处小尺度随机应力的许多次实现中，相应的小尺度力学性质实现历经了其所有可能的状态或数值。而当аA中一点的小尺度力学性质的各种可能状态或数值都已历经时，相应点的小尺度应力实现显然也将历经其所有状态。所以，аA中小尺度应力随机场的任一次实现历经了其所有可能状态或数值。这就是说是各态历经的。故有

于是，由式（2.1-13）得

注意аA到处于临界状态时其内各小尺度特征单元均已屈服，有

式中　——材料摩擦系数随机场和黏结力随机场；

）——аA处于临界状态时的小尺度正应力。

аA中小尺度特征单元的屈服是由于作用于相应小尺度特征单元的剪应力过大所致。因而，аA因其内材料屈服引起的小尺度应力重分布，是由于屈服材料要转移其所不能承受的、超过抗剪强度的多余应力给аA中尚未屈服而处于弹性的材料。从简单材料力学的观点来看，多余剪应力的转移主要是将引起аA内小尺度剪应力的变化，而对于垂直其方向的小尺度正应力不会产生什么大的影响。因而，可以不妨将式（2.1-18）中的用аA的弹性小尺度正应力来代替。故

为便于工程应用，更进一步地，可偏于安全地假设аA中材料的小尺度变形参数随机场［如法向刚度系数）、切向刚度系数］与小尺度强度参数随机场［如、］相互独立。事实上，由于的统计均匀性，强度参数随机场在一点的二维联合分布函数与位置矢径无关，若记它为F2（f，c），则有

相应的二维联合概率密度f2（f，c）为

将аA中一点的联合概率密度f2（f，c）曲面与foc平面所包围的体积ΔV用满足条件的一维概率密度］的截面f＝g划分两部分：ΔVf≤g、ΔVf＞g（图2.1-7），其中

根据小尺度力学性质的各态历经性，体积ΔVf≤g与ΔVf＞g分别表示аA内强度参数f、c落入区域与аAf＞g＝｛g≤f≤＋∞，0≤c≤∞｝的小尺度特征单元所占的比例。根据随机场相互独立，f2（f，c）＝fF（f）fC（c），其中fC（c）为）的一维概率密度。故由式（2.1-23）、式（2.1-24）得

结合式（2.1-22）、式（2.1-25）、式（2.1-26）表明，аA内的小尺度特征单元可等分为ΔVf＞g两部分。

考虑到在实际工程中小尺度变形参数随机场与小尺度强度参数随机场存在这样的相关关系：变形参数大的小尺度特征单元往往强度参数也大，变形参数小的小尺度特征单元则往往强度参数也小（对同一地质单元而言），因此对于аA的力学性质的任一实现，由于ΔVf≤g部分材料的小尺度摩擦系数取值均小于ΔVf＞g部分材料，而这两部分材料的小尺度粘结力实现条件相同（因为与相互独立），亦即ΔVf＞g部分材料的强度参数实现要优于ΔVf≤g部分，根据的各态历经性，ΔVf≤g部分材料的小尺度变形参数实现（取值）更多地要大于ΔVf≤g部分材料。从而，在均布荷载作用下，作用在ΔVf＞g部分材料的小尺度正应力也更多地要大于ΔVf≤g部分材料。

显然，如果假定材料小尺度变形参数随机场与小尺度强度参数随机场相互独立，上述现象则荡然无存，作用在аA中ΔVf≤g、ΔVf＞g两部分材料上的小尺度正应力呈均衡状态，没有偏颇，这也就是相当于把小尺度变形参数与小尺度强度参数相关时作用在ΔVf＞g部分材料的小尺度正应力消减了一部分给ΔVf≤g部分材料来承担，由于ΔVf＞g部分材料的小尺度摩擦系数均要比ΔVf≤g部分材料大，任一小尺度特征单元被消减的正应力Δσ1在ΔVf≤g部分材料产生的抗剪强度f′Δσi（f′≤g），均要比它在本来作用的ΔVf＞g部分材料里产生的抗剪强度fΔσi（f＞g）小，所以，假设аA中小尺度变形参数随机场与小尺度强度随机场相互独立是偏安全的。

由于аA的弹性小尺度正应力是由它的小尺度变形参数随机场和外力所确定的，当偏安全假设小尺度变形参数随机场与小尺度强度参数随机场相互独立时，与也相互独立，故有

将式（2.1-27）代入式（2.1-19），得

根据аA中小尺度应力随机场的各态历经性，有

这表明也就是аA的宏观正应力。

若记E并注意到，则由式（2.1-28）即可得软弱结构面的宏观抗剪强度为

上述表明，软弱结构面的宏观抗剪强度可以用Mohr-Coulomb准则来表达，并且相应的摩擦系数与粘结力分别等于小尺度摩擦系数均值与小尺度粘结力均值。

由于法向应力一定（设与σn相同）的小尺度抗剪强度的均值为

故比较式式（2.1-30）、式（2.1-31）可发现，在法向应力相同的情况下，软弱结构面的宏观抗剪强度在数值上与小尺度抗剪强度的平均值相等（图2.1-8）。

2.1.5　大体积岩土、混凝土的抗剪强度

2.1.5.1　宏观岩土、混凝土的屈服临界性分析

1.宏观岩土、混凝土存在的屈服临界现象

从大体积岩土或混凝土中截取任一包含足够多的小尺度材料特征单元的立方体аV来（图2.1-9），并定义之为宏观特征单元。在如图2.1-9所示的统计均匀应力（即аV的宏观应力）作用下，由于小尺度材料力学性质的随机均匀性，аA内各点（对应小尺度材料特征单元）的屈服概率相同为一个数值（忽略边缘效应），即

其中p，由的随机各向同性，仅为аV的宏观主应力σ1，σ2，σ3的函数；再由的各态历经性，p还表示中屈服于小尺度特征单元所占的比例。

同样地，如果假设在p一定的情况下（不等于0或1），аV既可能发生整体屈服，也可能不发生整体屈服，亦即аA存在整体屈服的概率Pin（≠0），和整体稳定概率Oin＝1-Pin（≠0），若记аV整体稳定时所存在的贯穿аV的、由非屈服小尺度材料特征单元构成的通道为Le，那么аV中各点属于Le的概率也相同为一个数值，即

由于аV中各点的相同，类似于p，根据ξ（r→）的各态历经性，pe还具有一个非常重要的整体意义，那就是它还以概率1表示аV中属于Le的小尺度特征单元所占比例。因此，当pe＝0时，整个аV将以概率1不存在属于Le的小尺度特征单元，从而也就以概率1不存在Le，这时аV显然将总处于整体屈服之中（忽略概率为零的小事件）；当pe＞0时，整个аV将以概率1出现属于Le的小尺度特征单元，亦即以概率1出现Le，这时аV显然将总处于整体稳定之中（忽略概率为零的小事件）。故可看出不论pe在其值域［0，1］内取任何一个数值，所得的结果总是与前述假设相矛盾，注意到pe又必须为［0，1］中的一个数值，因而可知前述假定是不正确的。这样，可以确知在p一定的情况下，аV要么总保持整体稳定（对应pe＞0），要么总不发生整体屈服（对应pe＝0），两者只居其一，而不可兼而有之。

我们知道，在p由0到1的过程中，аV总会发生整体屈服，因而也就总存在pe为零的p值。另外，考虑pe为p的非增函数，如设pcr为使pe为零的最小点屈服概率，则有：

上两式很明显地表明宏观材料аV是存在整体屈服与否的临界现象（图2.1-10）：当p＜pcr时，宏观材料аV一直保持整体稳定，而当p＞pcr时，аV则将发生整体屈服，pcr亦即аV的临界点屈服概率。

2.宏观岩土、混凝土任一截面所存在的临界现象

设аAα为аA中任一截面，Se和Sp分别为其中贯穿аAα的、由非屈服与屈服小尺度特征单元构成的长通道，完全类似于上小节对Le的分析，аAα中各点属于Se或Sp概率

分别相同为一个数值，即

其中p2e与p2p还分别以概率1表示аA中属于Se或Sp的小尺寸特征单元所占比例。故当p2e或p2p为零时，аAα中将总不存在通道Se或Sp（忽略概率为零的小事件），而当p2e或p2p大于零时，аAα则总存在Se或Sp（忽略概率为零的小事件）。

设аAH为аAa中任一有限宽度的长条区域，由于аAH宽度有限，在p≠0情况下，аAH中横断线ΔH上小尺度特征单元全部屈服的概率PΔH不为零，这样，由小尺度力学性质）的各态历经性，当аV取得足够大（从而аAH足够长）时，对的各态经历性，沿аAH的长度方向将以概率1遇到全部小尺寸特征单元屈服的横断线，从而在аAH中出现Se的概率为零。于是，当P2e＞0时，在的许多实现、…、、…、（i＝1、2、3、…）中，所出现的经过аAα中任意一点的各长通道Se至少将分别宏观地沿两个不同方向延伸出去（图2.1-11）。据此，再由的各态经历性和各点的相同，对的任意实现，аAa将总出现蔓延整个аAα的由非屈服小尺度特征单元构成的网格结构［图2.1-12（a）］。

同样地，当P2p＞0时，аAα中则出现蔓延整个аAα的、由屈服小尺度特征单元构成的网格结构［图2.1-12（b）］。

由于在аAα内不允许同时出现上述两种类型的网格结构（因为它们必相交）。故аAα的p2e与p2p不可能同时不为零。另外根据实际情况，аAα中总得有Se或Sp存在，这样，截面аAα的p2e与p2p又不可同时为零。注意到p2p为p的非减函数，因此对аAα必存在一个p′cr，使得有：

根据上两式可以看出宏观材料аV的任一截面аAα存在这样一种临界现象（图2.1-13），那就是随着p的增大，尽管аAα中屈服材料所占比例也不断增大，在p还不达一个临界值之前，аAα中的屈服小尺度特征单元被非屈服小尺度特征单元所包围，而呈孤立状态，这时аAα只存在蔓延整个аAα的非屈服材料网格结构，当p大于时，аAα中的屈服单小尺度特征单元将突然连通形成蔓延整个аAα的网格结构。这时аAα内的非屈服小尺度特征单元则被屈服小尺度单元特征单元所包围，呈孤立状态。

3.宏观岩土、混凝土屈服的临界条件

如果аA中各小尺度特征单元是相互孤立地发生屈服或保持弹性状态的话，那么可以证明аV中任一截面аAα存在蔓延整个аAα的屈服材料网格与否的临界点屈服概率为

事实上，如果假设，亦即аAα将在时出现蔓延的屈服材料网格，当将аAα中各点屈服概率换成各点不屈服概率来分析时，由对称性，可以发现аAα也将在时出现蔓延的非屈服材料网格，这样，аAα则会在）之间同时存在蔓延аAα的屈服材料网格与非屈服网格；类似地，如果则将在之间既不存在蔓延的屈服材料网格，也不存在蔓延аAα的非屈服材料网络。根据上小节的分析，这两种结果都是不合理的，故式（2.1-40）成立。

在实际情况中，аV中各小尺度特征单元是不会相互独立发生屈服与否的，因为至少屈服的小尺度特征单元就会将引起邻近材料的应力变化，从而也就影响他们的屈服发生。不过，根据圣维南定理，аV中一处小尺度特征单元的应力改变（为一平衡力系）不会对远处的小尺度特征单元产生影响，而距离一定长度的小尺度特征单元的力学性质是相互独立的（否则的各态历经性将不成立），故可以看出аV中相距一定的距离（如设为ΔL）的各小尺度特征单元是相互独立发生屈服与否的。由于аV取得足够大，与аV的尺寸相比，ΔL显得微不足道。因此，我们不妨认为аV中任一截面аVa存在蔓延屈服材料的网格与否的临界点屈服概率，与ΔL＝0亦即各小尺度特征单元相互独立地发生屈服和不屈服时的临界点屈服概率相等，即

由于аV内任一截面аAa中非屈服材料长通道Se的消失并不意味着贯穿аV的非屈服长通道的消失，аV还可以存在向各个方向延伸的、不在一个截面内的非屈服长通道，而在这种情况下аV仍保持整体稳定，故必有

考虑到精确的pcr值，很难确定，在这里我们将偏安全地取宏观特征单元аV整体屈服与否的临界点屈服概率pcr等于，即

2.1.5.2　大体积岩土、混凝土的抗剪强度

在上一小节中我们已论证宏观软弱结构面特征单元аV内的小尺度特征单元可等分为ΔVf＞g、ΔVf＞g两部分（式2.1-25）、式（2.1-26），并且ΔVf＞g内的小尺度特征单元的强度参数实现要优于ΔVf≤g部分。完全类似地，宏观材料特征单元аV也存在这样的结论。于是，根据强度参数大的小尺度特征单元，其弹性模量与泊松比往往分别大和小的实践经验，对的任一实现，ΔVf＞g内的小尺度特征单元的弹性模量与泊松比则平均地要分别大小和小于ΔVf≤g部分，从而在均布应力的作用下（图2.1-9），аV内ΔVf＞g部分材料所承受的小尺度弹性应力也平均地大于ΔVf≤g部分。

因此，如果试把аV相应于小尺度弹性模量和泊松比下的弹性应力场均匀化，则总的说来，这将缓解ΔVf＞g部分材料所承受的小尺度弹性应力，但对ΔVf≤g部分材料，则会加重它所承受的小尺度弹性应力，考虑到ΔVf≤g部分材料本来就比ΔVf＞g部分材料容易屈服（总的来说），因则小尺度弹性应力场均匀化后，аV内各小尺度特征单元的屈服将比原来更分散、更不一致。

另一方面，从аV中任取一截面аAα来看，在аV的小尺度弹性应力场均匀化之前，类似于式（2.1-15）的推导，аAα内各小尺度特征单元沿аAα方向的弹性安全系数）＝F 的平均值为

其中分别为аAα上的小尺度弹性正、剪应力；σα、τα分别为аAα上的小尺度弹性正、剪应力的平均值，即显然，它们也分别是小尺度弹性应力场均匀化之后，аAα中各小尺度特征单元沿аAα方向的弹性安全系数的平均值（用表示）为

根据的各态历经性，也分别就是小尺度弹性应力均匀前后，аV内一点沿аAα方向的弹性安全系数的平均值。于是，表示式（2.1-34）、式（2.1-35），并结合上一段的分析可以看出，аV的小尺度弹性应力场均匀化之后，其中各点的弹性安全系数除了离散程度有所增加外，它们的平均值并没有发生改变。所以，为了便于推导岩土或混凝土的宏观抗剪强度，我们可以首先偏安全地将宏观材料的特征单元аV的小尺度弹性应力场均匀化。

当аV的小尺度弹性应力场均匀化之后，аAα中具有各态历经性的抗剪强度小于τα的小尺度特征单元所占比例为（τ）dτ［图2.1-14（a）］，其中fτα（τ）为小尺度抗剪强度的一维概率密度，其余符号同上。显然，相应于这部分材料不能承受或称应转移的剪力为。如果偏安全地假设这部分待转移的剪力全部由截面аAα上抗剪强度依次大于τα的小尺度特征单元来承担，则可建立一平衡方程

或

其中Tα为截面аAα中剪应力达抗剪强度亦即屈服的小尺度特征单元的最大抗剪强度（图2.1-14）。当已知τα、σα，根据上式即可解得Tα。由Tα，也就知道根据截面аAα的应力而确定屈服的小尺度特征单元在аAα中所占比例ρα为［图2.1-14（b）］。

进一步地，分别将аV中各界面上的小尺度弹性正、剪应力带入式（2.1-46）、式（2.1-47），总可以求得ρα的最大值。这样，设ρα＝max截面上的诸变量的下标为n，则根据的各态经历性，当аV的点屈服概率为p时，其中截面上的屈服小尺度特征单元所占比例也是p，我们就可以近似地建立求解p的方程为

当宏观材料特征单元аV处于整体屈服与否的临界状态时，式（2.1-48）应满足临界条件式（2.1-44）。因此，如已知ρα＝max截面上的小尺度弹性正应力σn，并注意到小尺度弹性应力场均匀化后，аV中任一截面上的小尺度弹性正、剪应力（如σn、τn）也分别就是相应截面上的宏观正、剪应力，若特别地记大体积岩土和混凝土的抗剪强度为τcr，则由式（2.1-43）、式（2.1-48）可得求解τcr（＝τn）的联立方程为

图2.1-15是一实验室根据室内所测449个试件的抗剪强度描绘的统计分布曲线，从中可以看出小尺度抗剪强度呈正态分布，故不妨假设小尺度材料强度参数分别服从正态分布，亦即，其中分别为小尺度摩擦系数、粘结力的均值，分别为小尺度摩擦系数、粘结力的方差。于是根据概率论，也服从正态分布，因而

以及式（2.1-49）可改写成

将式（2.1-50）可代入式（2.1-53）的第一式，有

代入方程组（2.1-53）的第二式，则可得大体积岩土或混凝土的宏观抗剪强度τcr为

注意到式（2.1-50），有

将式（2.1-51）、式（2.1-52）代入，得

式（2.1-57）即为所导出的大体积岩土、混凝土抗剪强度（为下限值）的表达式。从中可以看出，大体积混凝土的抗剪强度τcr与宏观正应力σn是成非线性关系的。另外，岩土、混凝土的宏观抗剪强度不仅与小尺度材料强度参数的均值有关，还与反映它们离散程度的方差及相关系数ρfc有关系。在小尺度材料强度参数的均值一定的情况下，小尺度强度参数越离散，相应宏观抗剪强度则越小；反之，小尺度强度参数离散小时，宏观抗剪强度则要大。

如果将式（2.1-55）改写成，并考虑离散情况下的小尺度抗剪强度的小值平均值公式：

其中为试验测得的一组小尺度抗剪断强度τf1、τf2、…、τfl（正应力一定）的均值，m为τf1、τf2、…、τfl中小于或等于的作用，将会发现亦即连续情况下的小尺度抗剪强度的小值平均。因此，我们还看出，在数值上，大体积岩土、混凝土的抗剪断强度与小尺度抗剪强度的小值平均值相等（注意，不是对摩擦系数或粘结力言）。这点是很有意义的，它表明如果过去工程单位是用抗剪断强度的小值平均来确定大体积岩土、混凝土的设计抗剪强度的话，那将碰巧是合理、安全的。

由于＝0.213，从τcr［参见式（2.1-56）］在小尺度的个数，则比较抗剪强度的概率密度曲线上的位置还可以看出（图2.1-16），在数值上，岩土或混凝土宏观抗剪强度还与保证率78.7%（或者失效率21.3%）所取的小尺度抗剪强度相等。

2.1.5.3　宏观岩土、混凝土屈服条件的主应力函数式

式（2.1-57）也就是宏观岩土、混凝土的屈服条件。在这里将进一步把它转换成主应力σ1、σ2、σ3所表达的函数式。从图2.1-17可看出，实现转换的条件有三个：

（1）材料宏观抗剪强度的包络线方程［式（2.1-57）］

（2）莫尔圆方程

（3）式（2.1-57）与式（2.1-59）相切于A点。

要求严格满足上述条件来导出宏观材料屈服条件的主应力表达显示是不可能的。为此，我们假设强度包络线的斜率tanφ变化比较缓慢（通过实际应用发现强度包络线（2.1-57′），在工程应力的范围内可以很好地用直线来逼近，因而可作本假设），这样就可以近似地用包络线上的邻近点A的B点斜率tanφB来代替tanφA，其中B点的正应力σB取自莫尔圆上斜率与均值直线的斜率f相等的B′的点（图2.1-17）。这亦即由式（2.1-59）

得

再由式（2.1-61）及式（2.1-57′）得

另一方面，由图2.1-17，可得

于是，将式（2.1-62）代入上式后，再把τA、σA代入上式（2.1-57′），即可得到宏观岩土、混凝土屈服条件的主应力函数表达显式为（为简洁，去掉φA下标）

图2.1-18、图2.1-19中的应力莫尔圆即是应用式（2.1-64）对若干工程材料求得的宏观主应力σ1、σ3绘出。从图中可以看出，所求得的极限莫尔圆与宏观抗剪强度包络线非常贴近，因而这也就很好地说明了式（2.1-64）的正确性。

2.1.5.4　计算机模拟试验验证

为了避免浩大的计算机模拟计算工程量并能在现在拥有计算机水平下能实现，现将本属三维问题的大体积岩土、混凝土的计算机模拟试验转化为平面问题来模拟验证岩土、混凝土宏观抗剪强度的理论成果。

试由大体积岩土或混凝土的任一截面构造一个平面应变材料，这一虚拟平面应变材料与岩土或混凝土的任一截面具有完全相同的小尺度力学性质。从虚拟平面应变材料中任一截取一包含足够多小尺度材料特征单元（与岩土或混凝土截面上的小尺度特征单元大小相应）的方形区域аA0，并定义之为虚拟平面应变材料的宏观特征单元，在如图2.1-20所示的宏观均布应力作用下，由小尺度力学性质的统计均匀性质，аA0内各点的屈服概率pf）相同为一数值，即

类似于岩土或混凝土的点屈服概率p，式中p0还表示аA0中屈服的小尺度材料特征单元所占比例。

经过与式（2.1-38）、式（2.1-39）和式（2.1-40）完全相同的推导，可以得知аA0也存在一个是否出现蔓延整个аA0的屈服材料网络的临界状态，并且相应的临界条件为

式中pocr为аA0的临界点屈服概率，亦即当p0＜pocr时，аA0只存在蔓延整个аA0的非屈服材料网络；反之，当p0＞pocr时，аA0只存在蔓延整个аA0的屈服材料网格。

由于问题的平面性，显然p0＜pocr时，аA0处于整体稳定之中，而当p0＞pocr时，аA0则会发生整体屈服。故式（2.1-66）也就是аA0发生整体屈服与否的临界条件。

根据式（2.1-66），完全类似大体积岩土、混凝土抗剪断公式的推导，可得到虚拟平面应变材料的宏观抗剪断强度τn为

式中　σn——作用于аA0中宏观滑线上的宏观正应力；

——虚拟平面应变材料的小尺度摩擦系数和粘结力的均值和方差；

ρfc——小尺度材料摩擦系数与粘结力的相关系数。

进一步地经过与岩土、混凝土对应式［见式（2.1-64）］相同的推导，可得式（2.1-67）亦即аA0的宏观屈服条件在主应力σ1、σ2坐标的表达式（暂取ρfc＝0）为：

对比岩土、混凝土与上述虚拟平面应变材料宏观抗剪断强度的整个推导过程可以发现，除了岩土或混凝土是偏安全地取了临界点屈服概率Pcr，而虚拟平面应变材料则没有外，两者的推导结果完全一致。因此只要验证了这里关于虚拟平面应变宏观抗剪断强度的理论分析结果——式（2.1-66）～式（2.1-68）的正确性，前面推导的确定大体积岩土、混凝土抗剪断强度的理论公式自然也就成立。

现应用弹塑性有限元随机模拟方法，对一虚拟平面应变材料进行了计算模拟计算，作为简图如图2.1-21所示。计算时，宏观特征单元аA0中所模拟的小尺度特征单元数40×40＝1600个；各小尺度特征单元的强度随机参数为＝0.938，σf＝0.136，＝1.429MPa，σc＝0.218MPa；荷载加载方式为先施加аA0以等量的σ1、σ2，然后再逐步增加σ1，直至аA0完全屈服为止。

通过对аA0的两次弹塑性有限元随机模拟计算，所得结果见表2.1-1及图2.1-22～图2.1-24。

表2.1-1表明由两次模拟所得的强度随机参数与实际值很接近。图2.1-22直观地反映了第一次模拟所产生的强度参数的实现在аA0中B—B线上（图2.1-21）的分布情况。

从第一次模拟的аA0的屈服过程来看（图2.1-23），宏观材料特征单元аA0中的小尺度特征单元不是要么一个也不屈服，要么就全部屈服，而是随着垂直荷载σ1（即аA0的第一宏观主应力）的不断增加，аA0中的屈服小尺度特征单元越来越多。在σ1小于11.27MPa之前［图2.1-23（1）～（5）］，аA0中所有屈服材料是被非屈服材料所包围的，呈孤立状态，未屈服材料则绝大多数相互连通构成蔓延整个аA0的非屈服材料网络，这是аA0显然处于整体稳定之中。当σ1大于11.27MPa之后［图2.1-23（6）～（7）］，情况则与前相反，аA0所有没有屈服的材料被屈服材料所包围，аA0中只存在蔓延整个аA0的屈服材料网络，这是аA0已发生整体屈服。

因此，通过第一次模拟所得的平面应变材料аA0的宏观强度σ1为

式中上标（1）表示宏观强度σ1的第一次模拟值。另外，根据小尺度材料力学性质随机场的统计均匀各向同性和各态历经性，аA0中屈服材料所占比例亦即为аA0的点屈服概率p0。故由此时的屈服材料所占比例ρ＝0.466，还可得аA0发生整体屈服时的临界点屈服概率pocr的第一次模拟值为

同样地，由图2.1-24可得аA0的宏观强度σ1和临界点屈服概率pocr的第二次模拟值分别为：

根据式（2.1-68），宏观特征单元аA0在σ2＝1.1MPa时的宏观强度σ1的理论值（为偏安全值或下限值）为

分别比较式（2.1-70）、式（2.1-72）和式（2.1-66）与式（2.1-69）、式（2.1-71）和式（2.1-73）可以发现，通过对虚拟平面应变材料的计算机模拟试验所得的结果与其理论值是相符的。这样，就验证了式（2.1-66）～式（2.1-68）的正确性，从而关于大体积岩土、混凝土抗剪强度的理论分析结果也就成立。