3.5 双筋矩形截面构件正截面受弯承载力计算[4]_水工钢筋混凝土结构学（第5版）-QQ阅读男生武侠网

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3.5 双筋矩形截面构件正截面受弯承载力计算^[4]

如果截面承受的弯矩很大，而截面尺寸受到建筑设计的限制不能增大，混凝土强度等级又不便于提高，以致采用单筋截面已无法满足ξ≤α₁ξ_b的适用条件时，就需要在受压区配置受压钢筋来帮助混凝土受压，此时就成为双筋截面，应按双筋截面公式计算。或者当截面既承受正向弯矩又可能承受反向弯矩，截面上下均应配置受力钢筋，而在计算中又考虑受压钢筋作用时，亦应按双筋截面计算。

用钢筋来帮助混凝土受压是不经济的，但对构件的延性有利。因此，在抗震地区，一般都宜配置必要的受压钢筋。

3.5.1 计算简图和基本公式

由于钢筋和混凝土共同工作时两者之间具有粘结力，因而受压区钢筋和混凝土有相同的变形，即ε_s=ε_c。当构件破坏时，受压边缘纤维混凝土的变形达到极限压应变ε_cu，此时受压钢筋应力最多可达到σ_s=ε_sE_s=ε_cE_s≈ε_cuE_s。ε_cu值约在0.002～0.004范围内变化，为安全计，计算受压钢筋应力时，取ε_cu=0.002，而E_s值为1.95×10⁵～2.05×10⁵N/mm²，所以σ_s=0.002×（1.95×10⁵～2.05×10⁵）=390～410（N/mm²）。由此可见，在破坏时，对一般强度的受压钢筋来说，其应力均能达到屈服强度，计算时可直接采用钢筋的屈服强度作为抗压强度设计值f′_y，但当采用高强度钢筋作为受压钢筋时，由于受到受压区混凝土极限压应变的限制，钢筋的强度不能充分发挥，这时只能取用360～410N/mm²作为钢筋的抗压强度设计值，见本教材附录2表3和表4。

双筋构件破坏时截面应力图形与单筋构件相似，不同之处仅在于受压区增加了受压钢筋承受的压力（图3-23）。试验表明，只要保证ξ≤α₁ξ_b，双筋构件仍为适筋破坏。

根据计算简图和内力平衡条件，可列出两个基本公式：

为了计算方便，将x=ξh₀代入式（3-19）和式（3-20），可得

图3-23 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算简图

式中——钢筋抗压强度设计值，按附录2表3取用；

——受压区纵向钢筋截面面积；

a′——受压钢筋合力点至受压区边缘的距离；

其余符号同前。

基本公式的适用条件有两个，分别为：

上列第一个条件的意义与单筋截面一样，即避免发生超筋情况。第二个条件的意义是保证受压钢筋应力能够达到抗压强度设计值。因为受压钢筋如太靠近中和轴，将得不到足够的变形，应力就无法达到抗压强度设计值，基本公式式（3-19）及式（3-20）便不能成立。只有当受压钢筋布置在混凝土压应力合力点之上，才认为受压钢筋的应力能够达到抗压强度设计值。

如果计算中不计受压钢筋的作用，则条件x≥2a′就可取消。

对于x＜2a′的情况，受压钢筋应力达不到，截面的破坏是由于受拉钢筋应力达到f_y所引起。对此情况，在计算中可近似地假定受压钢筋的压力和受压混凝土的压力，其作用点均在受压钢筋重心位置上（图3-24），以受压钢筋合力点为矩心取矩，可得：

图3-24 x<2a′时的双筋截面计算简图

上式是双筋截面当x<2a′时的唯一基本公式，受拉钢筋数量可用此式确定。

条件x≥2a′及式（3-25）的计算，都是由试验得出的近似假定。如果采用平截面假定，则可比较正确地求出截面破坏时受压钢筋的实际应力，但计算就没有近似假定那么简便了。

双筋截面承受的弯矩较大，相应的受拉钢筋配置较多，均能满足最小配筋率的要求，故可不再进行ρ_min条件的验算。

双筋截面中的受压钢筋在压力作用下，可能产生纵向弯曲而向外凸出，这样就不能充分利用钢筋强度，而且会使受压区混凝土保护层过早崩裂。因此，在设计时必须采用封闭式箍筋将受压钢筋箍住，箍筋的间距也不能太大，直径不能过细，其构造规定详见本教材4.5节。

3.5.2 截面设计

双筋截面设计时，将会遇到下面两种情况。

1.第一种情况

已知弯矩设计值、截面尺寸、混凝土强度等级和钢筋种类，需求受压钢筋和受拉钢筋截面面积。此时，可按下列步骤进行计算：

（1）先由单筋截面的式（3-21）计算α_s（设），即。

（2）根据α_s值由式（3-15）计算相对受压区计算高度ξ，并检查是否满足适用条件ξ≤α₁ξb。也可检查α_s是否满足条件可直接由表3-1查得。如满足，则可按单筋矩形截面进行配筋计算，而不必配置受压钢筋或根据情况按构造配置适量受压钢筋。

（3）如不满足适用条件ξ≤α₁ξ_b，则应按双筋截面设计。此时可根据充分利用受压区混凝土受压而使总的钢筋用量为最小的原则，取ξ=α₁ξ_b （即x=α₁ξ_bh₀），并根据α₁ξ_b由式（3-9）计算α_s，此时的α_s称α_sb。即

为便于区别，当按DL/T 5057—2009规范设计取α₁=1.0时称α_sb为；当按SL191—2008规范设计取α₁=0.85时称α_sb为。对于热轧钢筋，按式（3-26）计算得出的值已列于表3-1，以便直接查用。

（4）将代入式（3-21），计算受压钢筋截面面积：

（5）将α₁ξb及求得的值代入式（3-22），计算受拉钢筋截面面积A_s：

应该指出，在受压钢筋截面面积未知的第一种情况中，若实际选配超过按式（3-27）计算的较多时（例如，按公式算出的很小，而按构造要求配置的较多时；或在地震区为了增加构件的延性有利于结构抗震，适当多配受压钢筋时），由于此时的实际相对受压区计算高度ξ将小于相对界限受压区计算高度α₁ξb较多，则应按受压钢筋截面面积为已知（等于实际选配的）的下述第二种情况重新计算受拉钢筋截面面积A_s，以减少钢筋总用量。

2.第二种情况

已知弯矩设计值、截面尺寸、混凝土强度等级和钢筋种类，并已知受压钢筋截面面积，需求受拉钢筋截面面积A_s。由于受压钢筋截面面积已知，此时不能再用x=α₁ξbh₀公式，必须按下列步骤进行计算。

（1）由式（3-21）求α_s：

（2）根据α_s值由式（3-15）计算相对受压区计算高度ξ，并检查是否满足适用条件ξ≤α₁ξb。如不满足，则表示已配置的受压钢筋数量还不够，应增加其数量，此时可看作受压钢筋未知的情况（即前述第一种情况）重新计算和A_s。

（3）如满足适用条件ξ≤α₁ξ_b，则计算x=ξh₀，并检查是否满足适用条件x≥2a′。如满足，则由式（3-22）计算受拉钢筋截面面积A_s：

如不满足x≥2a′的条件，表示受压钢筋的应力达不到抗压强度，此时可改由式（3-25）计算受拉钢筋截面面积A_s：

为便于记忆，下面列出矩形截面（包括单筋与双筋）的配筋设计框图，以供参考，见图3-25。

图3-25 矩形截面配筋计算步骤图

3.5.3 承载力复核

已知构件截面尺寸、混凝土强度等级、钢筋种类、受拉钢筋和受压钢筋的截面面积，需要复核构件正截面受弯承载力的大小，可按下列步骤进行。

（1）由式（3-22）计算相对受压区计算高度ξ，并检查是否满足适用条件式ξ≤α₁ξ_b。如不满足，则取ξ=α₁ξ_b，再代入式（3-21）计算M_u。

（2）如满足条件ξ≤α₁ξ_b，则计算x=ξh₀，并检查是否满足条件x≥2a′。如不满足，则应由式（3-25）计算正截面受弯承载力M_u

（3）如满足条件x≥2a′，则根据ξ由式（3-9）计算α_s，再由式（3-21）计算正截面受弯承载力M_u。

（4）当已知截面承受的弯矩设计值M时，应满足。

当按DL/T 5057—2009规范进行截面设计与承载力复核时，取系数α₁=1.0。

当按SL 191—2008规范进行截面设计与承载力复核时，计算步骤相同，只需将基本公式中的γ_d换成K，M换成M^S，并取系数α₁=0.85 即可。

【例3-5】已知一矩形截面简支梁，结构安全级别为Ⅱ级，截面尺寸为b=250mm，h=500mm。在正常使用期，永久荷载设计值在跨中截面产生的弯矩为100.0 kN·m，可变荷载设计值在跨中截面产生的弯矩为135.0kN·m。采用C30混凝土及HRB400钢筋，保护层厚度c=35mm，试按DL/T 5057—2009规范配置钢筋。

图3-26 截面配筋图

解：由附录2表1和表3查得f_c=14.3N/mm²，f_y=f′_y=360N/mm²。由表2-3和表2-6，查得γ₀=1.0和γ_d=1.20。正常使用期为持久状况，设计状况系数ψ=1.0。

1.弯矩设计值计算

M=γ₀ψ(M_G+M_Q)=1.0×1.0×(100.0+135.0)=235.0(kN·m)

2.判别是否需要双筋截面

因弯矩较大，估计受拉钢筋要排成两层，所以取a=70mm，则h₀=h-a=500-70=430（mm）。

由式（3-14）得

，即ξ＞ξb，故不满足式（3-7）适用条件，须按双筋截面配筋。

3.配筋计算

对于HRB400钢筋，根据表3-1查得相应的ξb=0.518及，考虑受压钢筋为单层，故取a′=45mm。

由式（3-27）得

由式（3-28）得

由此，计算得总用钢量A_s+A′_s=203+2415=2618（mm²）。

受拉钢筋选用（A_s=2502mm² ）；受压钢筋选用（A′_s=226mm²），见图3-26。

如按SL191—2008规范设计，可得，A_s=2278mm²，。SL 191—2008规范和DL/T 5057—2009规范相比，总用钢量稍有增大，但仅相差2.3%。这是由于SL191—2008规范取系数α₁=0.85，即用ξ≤0.85ξb代替了ξ≤ξb的缘故。

【例3-6】一矩形截面梁（Ⅱ级安全级别），截面尺寸b×h=200mm×500mm，已配有受压钢筋，选用C30混凝土及HRB400钢筋。在正常使用期，梁承受永久荷载设计值产生的最大弯矩为70.0kN· m，可变荷载设计值产生的最大弯矩为90.0 kN·m，试按DL/T 5057—2009规范计算受拉钢筋截面面积A_s。

解：已知受压钢筋，查附录3表1可得。由附录2表1和表3查得材料强度设计值f_c=14.3N/mm²，。由表23和表26，查得γ₀=1.0和γ_d=1.20。正常使用期为持久状况，设计状况系数ψ=1.0。

1.计算弯矩设计值

M=γ₀ψ(M_G+M_Q)=1.0×1.0×(70.0+90.0)=160.0(kN·m)

2.计算ξ，验算已配A′_s是否足够

估计为单层钢筋，取a=a′=45mm（二类环境），h₀=h-a=500-45=455（mm）。

由式（3-21）得

由式（3-15）计算ξ得

满足ξ≤ξ_b适用条件，表明已配的A′_s足够。

3.计算A_s

x=ξh₀=0.222×455=101(mm)>2a′=2×45=90(mm)

满足x≥2a′适用条件。

由式（3-30）得

受拉钢筋可选用。

如按SL 191—2008规范设计，α_s=0.197，ξ=0.222<0.85ξ_b=0.440，A_s=1311mm²，与DL/T 5057—2009规范计算的相同。

【例3 7】上例简支梁，若受压区配置受压钢筋，试求受拉钢筋截面面积A_s（取a=a′=45mm）。

解：

1.计算弯矩设计值

同上例 M=160.0kN·m

2.计算ξ，验算已配A′_s是否足够

满足ξ≤ξb适用条件，表明已配的足够。

3.计算A_s

x=ξh₀=0.185×455=84(mm)<2a′=2×45=90(mm)

不满足条件x≥2a′，由式（3-31）求受拉钢筋截面面积A_s：

受拉钢筋可选用。

如按SL 191—2008规范设计，结果与按DL/T 5057—2009规范设计相同。

【例3 8】某水电站厂房中的一简支矩形梁，结构安全级别为Ⅰ级，计算跨度l₀=6.50m，从原设计图纸上得知：该梁截面尺寸为b=250mm，h=600mm，配置受拉钢筋6（双层，A_s=1884mm² ）及受压钢筋；采用C30混凝土及HRB400钢筋。在正常使用期，跨中承受一集中力Q_k=80.0kN，同时承受梁与铺板传来的自重g_k=12.0kN/m，试按DL/T 5057—2009规范校核是否安全。