2.2 液体平衡微分方程及其积分

2.2.1 液体平衡微分方程

液体平衡微分方程描述的是液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间关系的方程式。

如图2.2.1所示，在静止液体中取一个微小六面体，各边长分别为dx、dy、dz，并与相应的坐标轴平行。作用在平衡六面体上的力有质量力和表面力。设单位质量的质量力在x、y、z坐标轴方向上的三个分量分别为X、Y、Z，则质量力在x、y、z坐标轴方向的三个分量分别为

XdM=Xρdxdydz

YdM=Yρdxdydz

ZdM=Zρdxdydz

图2.2.1

在液体静止的条件下，液体内部不存在切应力，表面力中只有沿法线方向的静水压力。根据液体连续性的假定，压强是坐标的连续函数，当六面体中心O′点的压强为p=p（x，y，z）时，用泰勒级数展开得L点与R点的压强分别为

上两式忽略了级数展开后的高阶微量。

由于六面体中各面的面积微小，可以认为平面各点所受的压强与该面中点的压强一样。由此推出作用在左右两个平面上的压力分别为

根据液体平衡条件，作用在平衡微小六面体上一切外力在任一坐标轴上的投影总和应为0，对于x轴则有

或

以ρdxdydz除上式，整理后得

同理，对y、z轴方向可推出类似结果，从而可得

式（2.2.1）称为液体平衡微分方程。它指出液体处于平衡状态时，单位质量液体所受的表面力与质量力彼此相等。该方程是1775年首先由瑞士学者欧拉（Euler）导出，故又称为欧拉平衡微分方程。该方程对于不可压缩液体和可压缩液体均适用。

2.2.2 液体平衡微分方程的积分

将方程式（2.2.1）中各式依次乘以dx、dy、dz并将它们相加，得

式（2.2.2）等号左边是连续函数p（x，y，z）的全微分dp，这样有

由于不可压缩液体的密度ρ为常数，式（2.2.3）右边括号内三项之和也应为某一力势函数Ω（x，y，z）的全微分，即单位质量力在各坐标轴上的投影X、Y、Z与力势函数Ω应具有以下关系：

满足式（2.2.4）的质量力称为有势力。由此可见，只有在有势力作用下不可压缩液体才能处于平衡状态。由式（2.2.4）可得

于是式（2.2.3）可写成

对式（2.2.6）积分，得

式中积分常数C可由已知边界条件确定。式（2.2.7）为不可压缩液体平衡微分方程的积分式，其具体应用将在以后各节中展开。

2.2.3 等压面

静止液体中，静水压强是空间坐标（x，y，z）的连续函数，各点的静水压强都有一定的数值。静止液体中压强相等的各点所组成的面（平面或曲面）称为等压面。

根据等压面的定义可知，在等压面上p=C，C为常数，因而dp=0，由式（2.2.3）可得到等压面方程式为

由式（2.2.8）可以得到等压面的性质：

（1）等压面也是等势面。由式（2.2.6）可见，当dp=0时，dΩ=0，所以等压面上各点的力势函数Ω也是常数。

（2）等压面与质量力正交。证明如下：设单位质量力f=Xi+Yj+Zk，它与等压面上任意微小线段dl=dxi+dyj+dzk的点积为

f·dl=(Xi+Yj+Zk)·(dxi+dyj+dzk)=Xdx+Ydy+Zdz

由式（2.2.8）可知：f·dl=0，由于矢量f与dl都不为0，所以质量力f与等压面上任一微小线段dl互相垂直，即质量力垂直于等压面。根据这一性质，我们可以通过质量力的方向确定出等压面的形状。例如当质量力只有重力时，由于重力的方向是铅直向下的，所以等压面是水平面。当除重力外还有其他质量力同时作用时，等压面与质量力的合力垂直。