2.7 浮体的平衡与稳定

浸没或部分浸没于液体中的物体都受到液体的一种向上的作用力，这就是浮力。在工程实际中，例如沉箱、船舶、潜艇等物体的设计与使用，都需要有关浮力与浮体方面的知识。下面介绍其概念与分析计算方法。

2.7.1 浮力及物体的沉浮

静止液体作用于潜体或浮体上的合力称为浮力。设一浸没于液体中的物体如图2.7.1所示，为研究液体作用于此物体上的力，作一平行于x轴的柱面，此柱面与物体相切于ABCD。由此曲线所围成的平面将物体分成左、右两部分。这两部分物体在yOz平面上的投影面积相等且均为A_x，因此该物体左部表面所受沿x轴方向的静水压力P_x左和右部表面所受x轴方向的静水压力P_x右应相等，即P_x左=P_x右，但方向相反。这样，浸没于液体中的物体受到的x轴方向静水总压力应为零，即ΣP_x=0。同理可证：y轴方向的静水总压力也应为零，即ΣP_y=0。

图2.7.1

为确定铅直方向的静水压力P_z，作一平行于z轴的柱面，柱面与物体相切于EFGH，且将物体分为上、下两部分。作用于上表面与下表面的铅直力分别为P_z上=γV_p上与P_z下=γV_p下，式中V_p上与V_p下分别为上表面与下表面的压力体，其方向分别为铅直向下与向上。因此，作用于该物体上铅直方向的静水总压力为

式中：V_p为物体所排开液体的体积。

由以上分析可知，物体在液体中所受的静水总压力仅有铅直向上的分力，这就是浮力。其大小等于物体所排开同体积的液体的重量。作用线则通过浸没物体的形心，也称浮心。这正是著名的阿基米德（Archimedes）原理。

由上可见，浸没或漂浮在静止液体中的物体受两个力的作用，即物体的重力G与浮力P_z。它们的大小决定着物体的沉浮。

重力大于浮力的物体下沉至底部称为沉体；重力等于浮力，物体可以在液体内任意处维持平衡，称为潜体；当重力小于浮力时，物体上浮并减小浸没在液体中的体积，直至浮力与物体重力相等时才保持平衡，称为浮体，例如船舶。

2.7.2 潜体的平衡与稳定性

设一潜体，其重力与浮力分别为G与P_z；重心与浮心分别为C与D（对于均质物体二者是重合的）。潜体的平衡条件为

P_z=G

且重力与浮力对任一点的力矩代数和为零，即

ΣM_O=0

以上要求重心与浮心在同一铅直线上。

所谓潜体平衡的稳定性是指潜体遇到外界干扰而发生倾斜后，所具有恢复到原来平衡状态的能力。这种能力因重心C与浮心D的相对位置不同而不同。如图2.7.2（a）所示，如果重心C在浮心D之下，潜体发生倾斜时，重力G与浮力P_z形成一个使潜体恢复到原来平衡状态的力矩，这种状态下的平衡为稳定平衡；如果重心C在浮心D之上，见图2.7.2（b），潜体发生倾斜之后，力G与P_z组成使物体继续倾斜的力矩，这种状态下的平衡为不稳定平衡。当重心C与浮心D重合时，潜体在液体中的方位是任意的，称为随遇平衡。由此可见，要使潜体处于稳定状态，必须使其重心位于浮心之下。

图2.7.2

2.7.3 浮体的平衡与稳定性

只有部分体积浸没在液体中的物体称为浮体。浮体的平衡条件与潜体相同，但其平衡的稳定条件是不一样的。对于浮体而言，如果重心低于浮心，此时平衡是稳定的，但当重心高于浮心，浮体的平衡仍有稳定的可能。这是因为浮体倾斜之后，浸没在液体内的那部分体积形状有所改变，从而浮心从原来的D点移到D′点，如图2.7.3（a）所示，但它的重心位置C则不因为倾斜而改变（如浮体内有液体且有自由液面例外）。这样，浮力P_z和重力G在一定条件下有可能形成恢复浮体原有平衡状态的力矩。为了进一步阐明这一问题，引入下述概念。

浮面——浮体正浮时液面与浮体表面的交线所围成的平面称为浮面。

浮轴——浮体处于平衡状态时，重心C与浮心D的连线称为浮轴。

定倾中心——浮体倾斜时，浮轴与浮力作用线的交点M称为定倾中心。

定倾半径——定倾中心M与浮心D间的距离称为定倾半径，记为ρ。

偏心距——重心C与浮心D间的距离称为偏心距，记为e。

定倾高度——定倾中心M与重心C间的距离称为定倾高度，记为h_m，h_m=ρ-e。

浮体倾斜后能否恢复其原平衡位置，取决于重心C和定倾中心M的相对位置。若浮体倾斜后，ρ＞e，重力G与倾斜后的浮力构成一个使浮体恢复到原来平衡位置的力矩，那么浮体处于稳定平衡状态；反之，若ρ＜e，重力G与倾斜后的浮力构成的力矩将使浮体继续倾倒，浮体处于不稳定平衡状态。当浮体倾斜后，定倾中心M点与重心C点重合，即ρ=e，重力G与浮力P_z不会产生力矩，浮体处于随遇平衡。判断浮体在重心高于浮心情况下的平衡稳定性，可归纳为

由式（2.7.2）可见，重心、浮心和定倾中心的位置对浮体平衡的稳定性至关重要。下面推导定倾半径ρ的计算公式。

1.浮体内没有自由表面的液体时

如图2.7.3所示，设浮体倾斜微小角度θ后，浮心由D移至D′，其水平距离为l，则

为求得ρ首先要确定l的大小。浮体倾斜之后，重心的位置没变，浮力的大小亦不变，只是由于排水体积形状变化，浮心位置发生了改变。倾斜后的浮力可以看成是原浮力P_z加上三棱体BOB′引起的浮力ΔP_z再减去三棱体AOA′引起的浮力ΔP_z。由于浮体的对称性，浸入水中的BOB′和浮出水面的AOA′体积相等，即：

P′_z=P_z+ΔP_z-ΔP_z

根据合力对某轴的力矩等于各分力对该轴的力矩之和的原理，对原浮心D取力矩，得

故求得l为

下面的问题便是求出ΔP_zs。

图2.7.3

在三棱体中取出一微小体积dV，见图2.7.3（b），由于倾斜角θ很小，则tanθ≈θ。故微小体积上的浮力为

dP_z=γ·dV=γ·dx·xθL

式中：dx为微小体积的底宽；L为长度；x为距O点距离。

dP_z对O—O取矩得

式中：I_y为全部浮面对中心纵轴O—O的惯性矩。

将式（2.7.5）代入式（2.7.4）且注意到，得

将式（2.7.6）代入式（2.7.3）并注意到sinθ≈θ，得

式中：V为浮体排开液体的体积。

2.浮体内有自由液面的液体时

浮运有压舱水的沉箱、运输油的船只等都会遇到浮体内有自由液面液体的情形。为保证沉箱浮运及船舶航运的安全，必须考虑其稳定性。

如图2.7.4所示，设一具有压舱水的沉箱遇风浪倾斜时，舱内液面由正浮时的ab变为a′b′（液面始终保持水平），这时不但浮心由原来的D变为D′，而且重心也由原来的C变为C′。设倾斜后重力作用线交浮轴于N点，这样定倾高度由原来没有压舱水时的h_m变为有压舱水时的，减小了CN值，即

式中：为有效定倾高度，可用来判断有自由表面液体时浮体的稳定性

图2.7.4

下面推求CN值的大小。设沉箱浮轴顺时针转动一微小角度θ，箱中自由液面由正浮时的ab变为a′b′，箱内液体在浮轴左侧减少了三棱柱体相应的水重ΔG，右侧则增加了体积相同的三棱柱体bOb′相应的水重，故倾后浮体重量G′不变，即G′=G。根据合力对某一轴的力矩等于各分力对同一轴力矩之和，对原来重心C点取力矩，得

式中：V为沉箱排水体积；γ为沉箱外面水的容重。

由于倾斜角度θ微小，因此 sinθ≈θ，这样

将式（2.7.11）代入式（2.7.10）得

采用与不带自由表面时求ΔP_zs相同的方法可求出

将式（2.7.13）代入式（2.7.12），得

式中： γ′为沉箱内液体的容重；为沉箱内水面对该水面中心纵轴的惯性矩。

当沉箱分舱时，则

由式 （2.7.8）计算，当，则沉箱的平衡是稳定的。

图2.7.5

【例2.7.1】 一长a=8m、宽b=6m、高h=5m的钢筋混凝土沉箱，底厚d₁=0.5m，侧壁厚d₂=0.3m，如图2.7.5所示。海水容重γ=10kN/m³，钢筋混凝土容重γ′=24kN/m³，试检查沉箱内无水时的稳定性。

解：确定浮体的稳定性问题实际上就是求三心的问题，即求重心、浮心及倾斜后的定倾中心问题。沉箱的重心为

设沉箱的吃水浓度为y_D，由于浮体是平衡的，则

V _混凝土=8×6×5-7.4×5.4×4.5=60.18（m³）

从而得到浮心高度为

因此

e=h_C-h_D=1.75-1.50=0.25(m)

吃水深度

y_D=2h_D=2×1.5=3.0(m)

定倾半径ρ为

故沉箱的平衡是稳定的。