3.5 元流的能量方程
3.5.1 理想液体的元流能量方程
假设我们研究的液体是重力作用下的不可压缩的理想液体。下面我们应用控制体形式的动量方程式（3.3.16）来推导元流的能量方程。
现在流场中取一如图3.5.1所示的微段元流ds。已知该元流在断面1—1和断面2—2处的位置水头分别为z和z+dz，动水压强分别为p和
，流速分别为u和
，过水断面积分别为dA和
。该微段元流与水平面的夹角为α。取该元流断面1—1和断面2—2间的空间为控制体，对于s方向应用动量定律，则有
图3.5.1
因为是理想液体，所以在元流侧壁上没有摩擦力作用。于是在s方向上作用在控制体上的外力，一为作用在两个过水断面上的动水压力，断面1—1上为pdA，当忽略过水断面面积dA的二阶微量后，断面2—2的过水断面积也可以认为是dA，这时断面2—2上的动水压力为
dA；二为重力在s方向上的分量，即-sinα·dG=-γ·sinα·dA·ds，注意到sinα·ds=dz，则得s方向的作用力为
当忽略二阶微量后可以近似的认为整个控制体内液体的流速为us=u，体积V=dsdA，于是式（3.5.2）右端的非恒定项就可写为
式（3.5.2）右端的第二项通量项，对于所取控制体可以写为
而其中
由连续方程可知：
将式（3.5.6）、式（3.5.7）和式（3.5.8）代入式（3.5.5），得
最后，将式（3.5.3）、式（3.5.4）和式（3.5.9）代入式（3.5.2），得
或者写成为
将上式的两端除以该段元流的重量γdsdA，得
此式是微分形式的能量方程，它在第11章非恒定流动中将有重要的应用。
对式（3.5.10）沿s轴从s1积分到s2，得
式中：z为单位重量液体具有的位能；
为单位重量液体具有的压能；
为单位重量液体具有的动能；
）为单位重量液体具有的惯性力；
为单位重量液体的惯性力在ds距离上做的功
为单位重量液体的惯性力在距离s=s2-s1上做的功，它也是一种能量，储存在液体中，类似于弹性势能。
式（3.5.11）是理想不可压缩液体在重力作用下非恒定元流能量方程。
对于恒定流，hi=0，于是式（3.5.11）变为
式（3.5.12）也称为伯努利方程，因为它是瑞士科学家伯努利（D.I.Bernoulli）于1738年推导出来的。它表明：恒定流时，对于理想液体，在元流的任意两个过水断面1—1和断面2—2上，单位重量液体所具有的总机械能（位能、压能、动能之和）是相等的。
3.5.2 实际恒定液体的元流能量方程
实际液体总是具有黏性的，因此实际液体在运动时就会出现内摩擦力。由于内摩擦而产生的热量耗散在液体中，它相对于机械能而言是不可逆的，就等于损失掉了机械能。因此说实际液体在运动过程中总是有能量损失的。设元流中单位重量液体由断面1—1运动到断面2—2时的能量损失为
也称为水头损失，因为在水力学中总是以水头表示单位重量液体具有的机械能，于是对于实际液体非恒定流的能量方程就变为
对于实际液体恒定流，式（3.5.13）中右端最后一项为零，能量方程为
【例3.5.1】 试建立如图3.5.2所示U形管中水面振荡方程。
图3.5.2
解：设U形管为等截面管，面积为A，则由连续方程式可知，各断面处流速相等。又假设断面内流速分布均匀，且均为u，因此流速u只是时间t的函数。最后假设管中液体为理想液体，所以没有水头损失。如图3.5.2所示取坐标轴，z轴向上为正，静水水面为基准面。初始时刻若使左管水面下降z时，则右管水面将上升z。以后管中液体在重力和惯性力作用下将来回振荡。如果存在阻力，则振荡将随时间衰减，最后达到平衡，恢复到静止水位。
对于图3.5.2中断面1—1和断面2—2，由连续方程得
u 1=u2=u=F(t)
此问题可以应用理想液体非恒定元流能量方程求解，即
写断面1—1和断面2—2的能量方程，注意到p1=p2=pa，u1=u2=u，于是上式就变为
由于u与距离s无关，所以得
式中s=s2-s1，又u=dz/dt，代入上式后得
即水体振荡的加速度与位移成正比，方向与位移方向相反，指向平衡位置。
式（3.5.15）为二阶常系数齐次常微分方程，其一般解为
设t=0时断面2—2处z=z0及dz/dt=u=0，则由上式确定积分常数C1=z0，C2=0。再将C1和C2代回上式，得水面位移公式为
式中：z0为振幅，即振幅等于t=0时自由水面偏离平衡位置的高度。
令
为角频率，则由周期定义得水体振荡的周期为
由式（3.5.16）所描绘的水面位移与时间的关系曲线如图3.5.2所示。