1.8 连续方程

渗流系统中的任何一个“局部”区域内，流体运动都必须遵守质量守恒。连续性方程是质量守恒定律的数学表达式，具体形式取决于描述运动的方法。

1.8.1 描述流体运动的方法

瑞士数学家L.欧拉（1707—1783）大约在200多年前提出了以下两种描述流体运动的方法。

1.质点法

质点描述方法是对渗流系统中每一个流体质点的位置特征参数随时间的变化进行跟踪，通过研究各个流体质点的运动来获得整个流体的运动规律。质点法的本质是对各个质点的运动轨迹进行精确描述的一种方法。

2.场方法

场方法是对某一瞬时占据渗流系统中每一确定空间的流体特征参数（不管这些质点从哪里来和到哪里去）进行描述的一种方法。流体特征参数是空间点的坐标和时间的函数，因此，场方法需要分析流体的流动方向。

法国数学家J.L.拉格朗日（1736—1813）对上述两种方法作了改进。在现代渗流力学中，一般称质点法为拉格朗日方法，场方法为欧拉方法。

欧拉方法和拉格朗日方法的着眼点不同。拉格朗日方法采用动坐标，注意于每一流体质点的运动历史；欧拉方法采用定坐标，注意于液体运动时每一空间点处流体状态的变化。场方法是我们所习惯的方法，如站在河岸上观察流水，我们注意的不是某些水滴的来龙去脉，而是从水面到水底、从河心到岸边的水流的急缓、水位的涨落等。

欧拉方法和拉格朗日方法事实上是完全等效的，在理论上这两种方法可以转换，只是拉格朗日方法在实际应用中常常会遇到数学上的困难。在渗流力学中通常会采用欧拉方法来描述流体运动过程中的质量、动量和能量等。在某些特殊情况下，例如研究二相驱界面推进过程，用拉格朗日方法可能更为有效，因为这种界面始终是由一组固定的质点所组成的物质面。

1.8.2 直角坐标系连续性方程

欧拉连续性方程是欧拉在1755年建立的。按欧拉方法，如图1.12所示，首先选取控制体元——固定在空间上的一个确定的、形状任意的封闭体积，位置保持不变。控制体元可以非常小，如小到前文所述的特征体元；或者有限大，这需要根据研究问题所确定。控制体元的形状不会影响所得到的方程。对于取定的控制体元，在不考虑流体的注入或渗失情形下，给定时间段内质量守恒定律的文字表达式为

在水平、均匀介质中，取一个长方体为控制单元，见图1.13，体元边长分别为Δx、Δy、Δz，不可压缩流体密度为ρ，流体在x、y、z方向上的流速（流速的投影）为v_x、v_y、v_z。若仅存在沿x方向的流动，在Δt时间段内流体流入单元体的流体质量

流出单元体的流体质量

在Δt时段内单元体内流体质量增量为

对于不可压缩流体，密度不随时间变化，联立式（1.75）、式（1.76）和式（1.77），有

两边同时除以(ΔxΔyΔzΔt)再取极限，根据微分的定义可以得到一维渗流连续性方程

若考虑三维流动，结果必然有

式（1.80）的左边是流体单位体积扩张速度，即流速散度。ρv也称质量速度，它是单位时间内通过单位面积的流体质量。

1.8.3 柱坐标系连续性方程

在建立连续性方程时，根据渗流系统的特点选用不同的坐标系可以更方便地解决不同的工程问题。当渗流在一定方向上占有优势并且具有轴对称性，渗流系统边界也是圆形的，那么选择柱坐标系可使连续方程的描述在数学上得到重大简化。柱坐标和直角坐标关系为

如图1.14所示，在柱坐标系（r,θ,z）中取一个小单元体，根据质量守恒定律式（1.74），有

整理并取极限得到

式（1.83）为柱坐标体系下流体连续性方程的通式，在有些情形是可以进一步简化，例如平面渗流、轴对称渗流等。

轴对称流动：以某个轴为母线，如果流体质点在通过母线做出的各个水平面上具有相同的流动，称流体的流动为轴对称流动（在平面上为圆对称）。对于轴对称渗流情形，有

1.8.4 单相流连续方程

在流场中任取一个控制体Ω，该控制体内有多孔固体介质，孔隙度为φ。多孔介质被流体所饱和。包围控制体的外表面为S，在外表面上任取一个面元dS，其外法线方向为n，通过面元dS的渗流速度为V，于是单位时间通过面元dS的流体质量为ρV·ndS。通过整个外表面的流体总质量为。

在控制体内任意取一体元dΩ进行研究。对不可压缩流体，流体密度的变化使得dΩ内的质量增加量为［∂(ρφ)/∂t］dΩ，整个控制体Ω内的质量增加量为。

当控制体内有源（汇）分布时，若其强度为q，则单位时间内体元dΩ产生（流入或流出）的流体质量为qρdΩ。单位时间内整体Ω由源（汇）分布产生（吞没）的流体质量为。

根据质量守恒定律，控制体内流体质量的增量应等于源分布产生的质量减去通过表面流出的流体质量，由此可得到积分形式的连续性方程

利用高斯公式，式（1.85）中的面积积分项可以化为ρV散度的体积分，即

将式（1.86）代入式（1.85）得到

由于控制体Ω是任意的，只要被积函数连续，则整个体积分等于零必然导致其被积函数为零，于是得到微分形式的连续性方程

式（1.88）右端项为源（汇），强度项q对源或汇分别取正值和负值。在多孔介质不变形的情况下，孔隙度φ保持恒定，则φ可从偏导数中分离出来。式（1.88）是非稳态有源流动连续性方程的一般形式。

对于无源非稳态渗流，连续性方程为

对于有源稳态渗流∂(ρφ)/∂t=0，连续性方程为

对于有源稳态渗流，且流体不可压缩，即ρ为常数，连续性方程为

对于无源的稳态渗流，连续性方程为

对于无源稳态渗流，且流体不可压缩，即ρ为常数，连续性方程为

在渗流力学中，往往对渗流速度值不是特别关心，将连续性方程与达西定律联合起来可以消去渗流速度V，得到以压力p与密度ρ表示的连续方程表达式。根据三维达西流方程，有

当域内不存在源或汇时，非稳态渗流的连续性方程转化为

对于流体不可压缩情形，连续性方程转化为

1.8.5 两相流连续方程

与单相流连续方程表达式（1.94）类似，对于气水两相不混溶渗流，气水两相流的连续性方程可表述为

式中：下标a和w分别表示气相和水相；s为饱和度。

气水两相流方程的求解，还需要补充一个毛细管吸力方程